क्या माध्य और विचरण हमेशा घातीय पारिवारिक वितरण के लिए मौजूद है?

मान लें कि एक स्केलर यादृच्छिक चर पीडीएफ के साथ एक वेक्टर-पैरामीटर घातीय परिवार से संबंधित है $X$

f_{X} (x | θ) = h (x) \exp (\sum_{i = 1}^{s} η_{i} (θ) T_{i} (x) - A (θ))

$f_X(x|\boldsymbol \theta) = h(x) \exp\left(\sum_{i=1}^s \eta_i({\boldsymbol \theta}) T_i(x) - A({\boldsymbol \theta}) \right)$

जहाँ ${\boldsymbol \theta} = \left(\theta_1, \theta_2, \cdots, \theta_s \right )^T$ पैरामीटर वेक्टर है और $\mathbf{T}(x)= \left(T_1(x), T_2(x), \cdots,T_s(x) \right)^T$ संयुक्त पर्याप्त आँकड़ा है।

यह दिखाया जा सकता है कि प्रत्येक लिए माध्य और विचरण $T_i(x)$ मौजूद है। हालांकि, क्या माध्य और $X$ (यानी $E(X)$ और लिए विचरण $Var(X)$ हमेशा मौजूद रहते हैं? यदि नहीं, तो क्या इस रूप के घातीय पारिवारिक वितरण का एक उदाहरण है जिसका माध्य और चर मौजूद नहीं है?

धन्यवाद।

— वी
स्रोत

, , , और को लेते हुए प्रदान की , उत्पादन $s=1$ $h(x)=1$ $\eta_1(\theta)=\theta$ $T_1(x)=\log(|x|+1)$ $A(\theta)=\log\left(-2/(1+\theta)\right)$ $\theta \lt -1$

f_{X} (x | θ) = \exp (θ \log (| x | + 1) - \log (\frac{- 2}{1 + θ})) = - \frac{1 + θ}{2} (1 + | x |)^{θ} .

$f_X(x|\theta) = \exp\left(\theta\log(|x|+1) - \log\left(\frac{-2}{1+\theta}\right)\right) = -\frac{1+\theta}{2}(1+|x|)^\theta.$

आकृति

ग्राफ़ को (नीले, लाल और सोने में लिए दिखाया गया है । $f_X(\ |\theta)$ $\theta=-3/2, -2, -3$

स्पष्ट रूप से वजन के पूर्ण क्षण या अधिक से अधिक मौजूद नहीं हैं, क्योंकि , जो कि रूप से आनुपातिक है , सीमा पर एक संसृत अभिन्न उत्पादन करेगा यदि और केवल यदि । विशेष रूप से, जब इस वितरण का एक मतलब भी नहीं है (और निश्चित रूप से एक विचरण नहीं)। $\alpha=-1-\theta$ $|x|^\alpha f_X(x|\theta)$ $|x|^{\alpha+\theta}$ $\pm\infty$ $\alpha+\theta\lt -1$ $-2 \le \theta \lt -1,$

— व्हीबर
स्रोत

मुझे समझ नहीं आ रहा है कि शर्त । क्या आप का मतलब है ? जब , को परिभाषित नहीं किया जाता है और नकारात्मक है और एक पीडीएफ नहीं हो सकता है तो कृपया मुझे बताएं कि मैंने क्या याद किया। धन्यवाद।

θ < - 1

$\theta < -1$

θ > - 1

$\theta > -1$

θ < - 1

$\theta < -1$

A (θ)

$A(\theta)$

f_{X} (x | θ)

$f_X(x|\theta)$

— वी।

मैं माफी मांगता हूं, क्योंकि की गणना में माइनस साइन छोड़ा गया था । मैंने इसे सूत्रों में बदल दिया है। मैं वास्तव में मतलब है ।

A

$A$

θ < - 1

$\theta\lt -1$

— whuber

उदाहरण के लिए धन्यवाद। मैं क्षणों के बारे में सहमत हूँ। के क्षणों के बारे में कैसे ? उदाहरण के लिए, जब ऊपर आपके उदाहरण में है, क्या मौजूद है?

| x |

$|x|$

x

$x$

- 2 < θ < - 1

$-2<\theta <-1$

E (x)

$E(x)$

— वी।

क्योंकि Lebesgue इंटीग्रल को इंटीग्रैंड के सकारात्मक और नकारात्मक भागों के संदर्भ में परिभाषित किया गया है, के क्षण मौजूद हैं यदि और केवल अगर के क्षण हैं तोमौजूद।

x

$x$

| x |

$|x|$

— whuber

@Wei: केवल मौजूद है अगर । इस प्रतिबंध के बिना, उम्मीद कुछ सीडीएफ के लिए विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है।

E {g (X)}

$\mathrm{E}\{g(X)\}$

E {| g (X) |} < \infty

$\mathrm{E}\{\, \left| g(X)\, \right| \} < \infty$

— डेनिस