ज्यामितीय वितरण और हाइपरजोमेट्रिक वितरण को ऐसे क्यों कहा जाता है?

Question

क्यों कर रहे हैं ज्यामितीय वितरण और hypergeometric वितरण "ज्यामितीय" और "hypergoemetric" कहा जाता है क्रमशः?

क्या इसलिए कि उनके pmfs कुछ विशेष रूप लेते हैं? धन्यवाद!

Answer 1

हां, शब्द संभावना जन कार्यों (pmfs) को संदर्भित करते हैं।

2,500 साल पहले, यूक्लिड (पुस्तकों में VIII और उसके तत्वों के IV ) में लंबाई के अनुक्रमों का अध्ययन किया गया था जिसमें सामान्य अनुपात होते हैं। । कुछ बिंदुओं पर इस तरह के दृश्यों को "ज्यामितीय प्रगति" के रूप में जाना जाता है (हालांकि "ज्यामितीय" शब्द एक समान कारण के लिए आसानी से कई अन्य नियमित श्रृंखलाओं पर लागू किया जा सकता है, जिनमें अब "अंकगणितीय" भी शामिल हैं)।

पैरामीटर साथ एक ज्यामितीय वितरण की संभावना जन कार्य $p$एक ज्यामितीय प्रगति बनाता है

$$p, p(1-p), p(1-p)^2, \ldots, p(1-p)^n, \ldots.$$

$1-p$

$k$$k+1$$k$$\grave\upsilon^\prime\pi\varepsilon\rho$ ( "अति")।

$N, K,$$n$

$$p(k) = \frac{\binom{K}{k}\binom{N-K}{n-k}}{\binom{N}{n}}$$

उपयुक्त । लगातार संभावनाओं का अनुपात बराबर होता है$k$

$$\frac{p(k+1)}{p(k)} = \frac{(K-k)(n-k)}{(k+1)(N-K-n+k+1)},$$

डिग्री के का एक तर्कसंगत कार्य । यह संभाव्यता को एक (विशेष प्रकार की) हाइपरजोमेट्रिक प्रगति में रखता है।$k$$(2,2)$

Comments

धन्यवाद! क्या अन्य वितरण हैं जिनके पीएमएफ भी ज्यामितीय या हाइपरजोमेट्रिक प्रगति बनाते हैं?

— टिम

यदि कोई pmf एक ज्यामितीय प्रगति बनाता है तो उसे स्थानांतरित, पुनर्विकसित और / या छोटी ज्यामितीय वितरण होना चाहिए। यदि यह डिग्री (2,2) की एक हाइपरजोमेट्रिक प्रगति बनाता है तो एक समान निष्कर्ष रखता है। किसी भी श्रृंखला से जुड़े वितरण हैं जो एक समरूप मूल्य के लिए बोते हैं, और इसलिए हाइपरजोमेट्रिक वितरण कई अन्य वितरणों (विभिन्न तर्कसंगत कार्यों का उपयोग करके) को सामान्य करता है। इनमें से ज्यादातर के नाम नहीं हैं। एक अपवाद नकारात्मक द्विपद वितरण है जिसका pmf डिग्री (1,1) के हाइपरजोमेट्रिक है।

— whuber

धन्यवाद! क्या Pisson वितरण का pmf कुछ विशेष श्रृंखला / प्रगति बनाता है? दर पैरामीटर साथ एक पोषाहार वितरण को देखते हुए , फिर । क्या pmf कुछ विशेष श्रृंखला या प्रगति बनाता है? $\lambda$$p(k+1)/p(k) = \lambda/(k+1)$

— टिम

हां, यह डिग्री का एक तर्कसंगत कार्य है (0,1), इसलिए यह एक हाइपरजोमेट्रिक प्रगति की सामान्य परिभाषा को दर्शाता है।

— whuber

Answer 2

एक स्रोत के अनुसार , यह इसलिए है क्योंकि ज्यामितीय वितरण pmf (k) pmf (k-1) और pmf (k + 1) का ज्यामितीय माध्य है। दो नंबर A और B का ज्यामितीय माध्य । शास्त्रीय रूप से इस समस्या की व्याख्या एक वर्ग के पक्षों की लंबाई को खोजने के लिए की गई थी, जो क्षेत्रफल ए और बी के साथ आयताकार के बराबर क्षेत्रफल के साथ एक ज्यामितीय समस्या थी। $\sqrt{A B}$

Comments

आपका स्रोत इस तरह की अटकलों का समर्थन करता है, जिनका मैं अपने उत्तर की शुरुआत में (कुछ हद तक अण्डाकार) जिक्र कर रहा था। इंटरनेट उन लोगों से भरा हुआ है जो समान अभिक्रिया करते हैं, लेकिन क्योंकि ज्यामितीय माध्य के रूप में अंकगणितीय माध्य खोजना समान रूप से आसान होता है, अंत में यह गुण ("ज्यामितीय" निर्माण) कुछ भी स्पष्ट नहीं करता है। एक ऐसा प्राधिकरण खोजना बहुत दिलचस्प होगा जो "ज्यामितीय" और "अंकगणित" के वास्तविक ऐतिहासिक उपयोगों को ट्रैक करने में मदद कर सकता है ताकि हमें यह समझने में मदद मिल सके कि ये शब्द वास्तव में कैसे उत्पन्न हुए थे।

— whuber