वितरण \ सीएलटी में रूपांतरण

यह देखते हुए कि , सशर्त जिले। के है । पास सीमांत जिले हैं। पोइसन ( ), एक सकारात्मक स्थिरांक है। $N = n$ $Y$ $\chi ^2(2n)$ $N$ $\theta$ $\theta$

दिखाएँ कि, रूप में , । $\theta \rightarrow \infty$ $\space \space (Y - E(Y))/ \sqrt{\operatorname{Var}(Y)} \rightarrow N(0,1)$

क्या कोई इसे सुलझाने के लिए रणनीति सुझा सकता है। ऐसा लगता है कि हमें CLT (Central Limit Theorem) का उपयोग करने की आवश्यकता है, लेकिन इसके बारे में पर कोई भी जानकारी प्राप्त करना कठिन है । क्या कोई आरवी है जिसे का उत्पादन करने के लिए, का एक नमूना लेने के लिए पेश किया जा सकता है ? $Y$ $Y$

यह होमवर्क है इसलिए संकेत की सराहना की।

— user42102
स्रोत

मेरे लिए भी एक clt बात की तरह लग रहा है। शायद यह आपके लिए पहले से ही स्पष्ट है, लेकिन थीटा के रूप में-> इन्फिनिटी एन का क्या होता है?

— पीटर आरए

क्या मुझे एन के वितरण को देखना चाहिए? अगर मैं इसके साथ खेलता हूं, तो ऐसा लगता है कि यह पीडीएफ हमेशा रहेगा। 0. मैं इससे क्या अनुमान लगा सकता हूं?

— user42102

एक कविता (थीटा) यादृच्छिक चर का मतलब क्या है?

— पीटरआर

मैंने इस प्रश्न में एन और सीएलटी की परिभाषा में नमूना आकार एन को मिलाया। इसलिए

E (N) = θ

$E(N) = \theta$ । इसलिए हम देखते हैं कि एन का अनुमानित मूल्य अनंतता के करीब पहुंचता है। मुझे यकीन नहीं है कि हालांकि यहाँ से कहाँ जाना है।

— user42102

आपको गैर-केंद्रीय ची चुकता वितरण में देखना चाहिए। सीमा को सामान्य करना सीएलटी के एक सरल अनुप्रयोग की तुलना में अधिक जटिल होने जा रहा है, हालांकि मुझे डर है।

— कैबर्के

जवाबों:

मैं विशेषता कार्यों के गुणों के आधार पर एक समाधान प्रदान करता हूं, जिसे निम्नानुसार परिभाषित किया गया है

ψ_{X} (t) = E \exp (i t X) .

$\psi_X(t)=E\exp{(itX)}.$ हम जानते हैं कि वितरण विशिष्ट कार्य द्वारा परिभाषित विशिष्ट है, इसलिए मैं यह साबित करूंगा

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} \to ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty,

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}\rightarrow \psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty,$ और उस से वांछित अभिसरण का अनुसरण करता है।

उसके लिए मुझे माध्य और विचरण की गणना करनी होगी $Y$ , जिसके लिए मैं कुल अपेक्षाओं / विचरण के कानून का उपयोग करता हूं - http://en.wikipedia.org/wiki/Law_of_total_expectation ।

E Y = E {E (Y | N)} = E {2 N} = 2 θ

$EY=E\{E(Y|N)\}=E\{2N\}=2\theta$

V a r (Y) = E {V a r (Y | N)} + V a r {E (Y | N)} = E {4 N} + V a r (2 N) = 4 θ + 4 V a r (N) = 8 θ

$Var(Y)=E\{Var(Y|N)\}+Var\{E(Y|N)\}=E\{4N\}+Var(2N)=4\theta+4Var(N)=8\theta$ मैंने उपयोग किया कि पोइसन वितरण का मतलब और विचरण है

E N = V a r (N) = θ

$EN=Var(N)=\theta$ और माध्य और विचरण

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$ कर रहे हैं

E (Y | N = n) = 2 n

$E(Y|N=n)=2n$ तथा

V a r (Y | N = n) = 4 n

$Var(Y|N=n)=4n$ । अब विशेषता कार्यों के साथ पथरी आती है। सबसे पहले मैं की परिभाषा को फिर से लिखता हूं

Y

$Y$ जैसा

Y = \sum_{n = 1}^{\infty} Z_{2 n} I_{[N = n]}, where Z_{2 n} \sim χ_{2 n}^{2}

$Y=\sum_{n=1}^{\infty}Z_{2n}I_{[N=n]}, \text{ where } Z_{2n}\sim \chi^2_{2n}$ अब मैं प्रमेय का उपयोग करता हूं जो बताता है

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n)

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)$ की विशेषता समारोह

χ_{2 n}^{2}

$\chi^2_{2n}$ है

ψ_{Z_{2 n} (t)} = (1 - 2 i t)^{- n}

$\psi_{Z_{2n}(t)}=(1-2it)^{-n}$ , जो यहां से लिया गया है: http://en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_function_(probability_theory)

तो अब हम इसके लिए विशेषता फ़ंक्शन की गणना करते हैं $Y$ के लिए टेलर विस्तार का उपयोग कर $\exp(x)$

ψ_{Y} (t) = \sum_{n = 1}^{\infty} ψ_{Z_{2 n} (t)} P (N = n) = \sum_{n = 1}^{\infty} (1 - 2 i t)^{- n} \frac{θ^{n}}{n!} \exp (- θ) = \sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{θ}{(1 - 2 i t)})}^{n} \frac{1}{n!} \exp (- θ) = \exp (\frac{θ}{1 - 2 i t}) \exp (- θ) = \exp (\frac{2 i t θ}{1 - 2 i t})

$\psi_Y(t)=\sum_{n=1}^{\infty}\psi_{Z_{2n}(t)}P(N=n)=\sum_{n=1}^{\infty}(1-2it)^{-n}\frac{\theta^n}{n!}\exp{(-\theta)}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{\theta}{(1-2it)}\right)^n\frac{1}{n!}\exp{(-\theta)}=\exp(\frac{\theta}{1-2it})\exp(-\theta)=\exp(\frac{2it\theta}{1-2it})$ अंत में हम विशेषता कार्यों के गुणों का उपयोग करते हैं

ψ_{(Y - E Y) / \sqrt{V a r (Y)}} (t) = \exp (- i \frac{E Y}{\sqrt{V a r Y}}) ψ_{Y} (t / \sqrt{V a r Y}) = \exp (- \frac{t^{2}}{2}) \exp (- 1 + 2 i \frac{t}{\sqrt{8 θ}}) \to \exp (- \frac{t^{2}}{2}) = ψ_{N (0, 1)} (t), when θ \to \infty

$\psi_{(Y-EY)/\sqrt{Var(Y)}}(t)=\exp(-i\frac{EY}{\sqrt{VarY}})\psi_Y(t/\sqrt{VarY})= \\\exp(-\frac{t^2}{2})\exp{(-1+2i\frac{t}{\sqrt{8\theta}})}\rightarrow \exp(-\frac{t^2}{2})=\psi_{N(0,1)}(t), \text{ when } \theta \rightarrow \infty$ मैं कलन पर कूद गया क्योंकि यह अब तक बहुत लंबा है ...

— Fimba
स्रोत

यह गैर-केंद्रित छीज वितरण के लिए संबंध के माध्यम से दिखाया जा सकता है। उस पर एक अच्छा विकिपीडिया लेख है जो मैं स्वतंत्र रूप से संदर्भित करूंगा! https://en.wikipedia.org/wiki/Noncentral_chi-squared_distribution

आपने वह दिया है $Y|N=n$ के साथ छेनी वितरित की जाती है $2 n$ स्वतंत्रता की डिग्री, के लिए $n=0,1,\dots, \infty$ । यहाँ $N$ उम्मीद के साथ पॉइसन वितरण है $\theta$ ।

तब हमारे पास घनत्व का कार्य होता है $Y$ (बिना शर्त) कुल संभावना के कानून का उपयोग करते हुए लिखा जा सकता है, जैसा कि

f_{Y} (y; 0, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i}} (y)

$f_Y(y; 0, \theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i}}(y)$ कौन सा है लगभग एक गैर केंद्रीय chisquared चर का घनत्व, को छोड़कर स्वतंत्रता पैरामीटर की डिग्री है

k = 0

$k=0$ , जो वास्तव में अपरिभाषित है। (यह विकिपीडिया लेख की परिभाषा अनुभाग में दिया गया है)।

तो कुछ अच्छी तरह से परिभाषित करने के लिए, हम उपरोक्त सूत्र को बदलते हैं

f_{Y} (y; k, θ) = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{e^{- θ} θ^{i}}{i!} f_{{χ^{2}}_{2 i + k}} (y)

$f_Y(y; k,\theta) = \sum_{i=0}^\infty \frac{e^{-\theta} \theta^i}{i!} f_{{\chi^2}_{2i+k}}(y)$ जो है के साथ एक noncentral chisquared चर का घनत्व

k

$k$ स्वतंत्रता और गैर-केंद्रीयता पैरामीटर की डिग्री

2 θ

$2\theta$ । इसलिए, हमारे विश्लेषण में, हमें यह याद रखना चाहिए कि कब क्या करना है

k \to 0

$k \rightarrow 0$ सीमा लेने के बाद

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$ । यह अप्रमाणिक है, क्योंकि की सीमा में है

θ \to \infty

$\theta \rightarrow \infty$ की संभावना

N = 0

$N=0$ शून्य पर जाता है, इसलिए शून्य पर बिंदु द्रव्यमान गायब हो जाता है (स्वतंत्रता की शून्य डिग्री के साथ विचित्र चर को शून्य पर एक बिंदु के रूप में व्याख्या किया जाना चाहिए, इसलिए, कोई घनत्व फ़ंक्शन नहीं है)।

अब, प्रत्येक तय के लिए $k$ , विकी, खंड से संबंधित वितरण, सामान्य सन्निकटन में परिणाम का उपयोग करें, जो प्रत्येक के लिए मांगी गई सामान्य सामान्य सीमा देता है $k$ । फिर, जब सीमा ले लो $k$ शून्य पर जाता है, जो परिणाम देता है।

— kjetil b halvorsen
स्रोत