क्या संभावना है कि 1 और 100 के बीच 25 यादृच्छिक संख्याओं में से, एक से अधिक बार दिखाई देता है?

कई ऑनलाइन गेमों में, जब खिलाड़ी किसी कठिन काम को पूरा करते हैं, तो कभी-कभी एक विशेष इनाम दिया जाता है, जिसे पूरा करने वाला हर व्यक्ति उपयोग कर सकता है। यह आम तौर पर एक माउंट (परिवहन की विधि) या अन्य वैनिटी आइटम (आइटम जो चरित्र के प्रदर्शन में सुधार नहीं करते हैं और मुख्य रूप से अनुकूलन के लिए उपयोग किए जाते हैं)।

जब इस तरह का इनाम दिया जाता है, तो यह निर्धारित करने का सबसे आम तरीका है कि इनाम पाने वाले यादृच्छिक संख्याओं के माध्यम से होते हैं। खेल में आम तौर पर एक विशेष कमांड होता है जो 1 और 100 के बीच एक यादृच्छिक (संभावित क्रूसोर्डेनेमिक, क्रिप्टो सुरक्षित यादृच्छिक नहीं) संख्या उत्पन्न करता है (कभी-कभी खिलाड़ी एक और प्रसार चुन सकता है, लेकिन 100 सबसे आम है)। प्रत्येक खिलाड़ी इस कमांड का उपयोग करता है, सभी खिलाड़ी यह देख सकते हैं कि किसने क्या रोल किया है, और आइटम उस व्यक्ति को प्रदान किया जाता है जो सबसे अधिक रोल करता है। अधिकांश गेम में आ बिल्ट-इन सिस्टम होता है, जहां खिलाड़ी सिर्फ एक बटन दबाते हैं और एक बार सभी ने अपना बटन दबाया, तो खेल बाकी काम अपने आप हो जाता है।

कभी-कभी, कुछ खिलाड़ी एक ही उच्च संख्या उत्पन्न करते हैं और कोई भी उनकी पिटाई नहीं करता है। यह आमतौर पर उन खिलाड़ियों द्वारा हल किया जाता है जो अपनी संख्या को फिर से प्राप्त कर रहे हैं, जब तक कि एक अद्वितीय उच्चतम संख्या नहीं है।

मेरा प्रश्न निम्नलिखित है: एक यादृच्छिक संख्या जनरेटर मान लें जो समान संभावना के साथ 1 और 100 के बीच किसी भी संख्या को उत्पन्न कर सकता है। मान लें कि आपके पास 25 खिलाड़ियों का एक समूह है जो प्रत्येक ऐसे यादृच्छिक संख्या जनरेटर के साथ 1 नंबर उत्पन्न करते हैं (प्रत्येक अपने स्वयं के बीज के साथ)। आपके पास 1 और 100 के बीच 25 नंबर होंगे, जिसमें कोई भी सीमा नहीं होगी कि कितने खिलाड़ी एक विशिष्ट संख्या में रोल करते हैं और संख्याओं के बीच कोई संबंध नहीं है। क्या मौका है कि सबसे अधिक उत्पन्न संख्या 1 से अधिक खिलाड़ी द्वारा उत्पन्न की जाती है? दूसरे शब्दों में, एक टाई की संभावना क्या है?

probability random-generation

— Nzall
स्रोत

Warcraft की दुनिया एह?

— 12 अक्टूबर को बेहकाद

हां, यह एकसमान यादृच्छिक है, जैसा कि प्रश्न में कहा गया है (1 और 100 के बीच की कोई भी संख्या में एक ही संभावना है

— Nzall

अच्छा सवाल है, लेकिन यह मुझे विजेता चुनने के बुरे तरीके के रूप में प्रभावित करता है। बस खिलाड़ियों को किसी तरह से सूचीबद्ध करें (आप कह सकते हैं, "वर्णानुक्रम में नाम" या इसे फेरबदल कर सकते हैं और सभी को सूची दिखा सकते हैं, या किसी अन्य तरीके से सॉर्ट कर सकते हैं), और 1 और 25 के बीच एक यादृच्छिक संख्या चुन सकते हैं। खिलाड़ी जीत के अनुरूप संख्या।

— टिम एस।

Noobs, DKP का उपयोग करें!

— डावोर

सुझाव: एक यादृच्छिक नमूना दिया गया से , हमें गणना करने की आवश्यकता है हम ऑर्डर के आंकड़ों के सिद्धांत से जो जानते हैं उसका उपयोग करते हुए।

X_{1}, \dots, X_{25}

$X_1,\dots,X_{25}$

U {1, \dots, 100}

$\textrm{U}\{1,\dots,100\}$

P (X_{(24)} < X_{(25)})

$P(X_{(24)}<X_{(25)})$

— झेन

जवाबों:

चलो

आपकी सीमा का शीर्ष अंत है, आपके मामले में। $x$ $x=100$
ड्रॉ की कुल संख्या हो, आपके मामले में। $n$ $n=25$

किसी भी संख्या के लिए , के दृश्यों की संख्या क्रम में प्रत्येक संख्या के साथ संख्या है । इन अनुक्रम में से, संख्या वाले कोई रों है , और नंबर एक युक्त है । अतः दो या दो से अधिक s वाले अनुक्रमों की संख्या $y\le x$ $n$ $\le y$ $y^n$ $y$ $(y-1)^n$ $y$ $n(y-1)^{n-1}$ $y$ कुल के दृश्यों की संख्या उच्चतम संख्या के साथ संख्या युक्त कम से कम दो s है

y^{n} - (y - 1)^{n} - n (y - 1)^{n - 1}

$y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}$

n

$n$

y

$y$

y

$y$

\begin{aligned} Σ_{y = 1}^{एक्स} (y^{n} - (y - 1)^{n} - n (y - 1)^{n - 1}) & = Σ_{y = 1}^{एक्स} y^{n} - Σ_{y = 1}^{एक्स} (y - 1)^{n} - Σ_{y = 1}^{एक्स} n (y - 1)^{n - 1} \\ = {एक्स}^{n} - n Σ_{y = 1}^{एक्स} (y - 1)^{n - 1} \\ = {एक्स}^{n} - n Σ_{y = 1}^{एक्स - 1} y^{n - 1} \end{aligned}

$\begin{align} \sum_{y=1}^x \left(y^n - (y-1)^n - n(y-1)^{n-1}\right) &= \sum_{y=1}^x y^n - \sum_{y=1}^x(y-1)^n - \sum_{y=1}^xn(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^x(y-1)^{n-1}\\ &= x^n - n\sum_{y=1}^{x-1}y^{n-1}\\ \end{align}$

अनुक्रमों की कुल संख्या बस । सभी दृश्यों की संभावना समान रूप से कर रहे हैं और इसलिए संभावना है $x^n$

\frac{{एक्स}^{n} - n Σ_{y = 1}^{y = एक्स - 1} y^{n - 1}}{{एक्स}^{n}}

$\frac{x^n - n\sum_{y=1}^{y=x-1}y^{n-1}}{x^n}$

साथ मैं संभावना ०.१२०००४२१२४५४ बनाते हैं। $x=100,n=25$

$x,n$

import itertools
import numpy.random as np

def countinlist(x, n):
    count = 0
    total = 0
    for perm in itertools.product(range(1, x+1), repeat=n):
        total += 1
        if perm.count(max(perm)) > 1:
            count += 1

    print "Counting: x", x, "n", n, "total", total, "count", count

def simulate(x,n,N):
    count = 0
    for i in range(N):
        perm = np.randint(x, size=n)
        m = max(perm)
        if sum(perm==m) > 1:
            count += 1
    print "Simulation: x", x, "n", n, "total", N, "count", count, "prob", count/float(N)

x=100
n=25
N = 1000000 # number of trials in simulation

#countinlist(x,n) # only call this for reasonably small x and n!!!!
simulate(x,n,N)
formula = x**n - n*sum([i**(n-1) for i in range(x)])
print "Formula count", formula, "out of", x**n, "probability", float(formula) / x**n

यह कार्यक्रम आउटपुट हुआ

Simulation: x 100 n 25 total 1000000 count 120071 prob 0.120071
Formula count 12000421245360277498241319178764675560017783666750 out of 100000000000000000000000000000000000000000000000000 probability 0.120004212454

— TooTone
स्रोत

200000

$200000$

0.11957

$0.11957$

x

$x$

n

$n$

मैंने पर्ल का उपयोग करके अनुकरण किया और एक बहुत सुसंगत 0.005 मिला । pastebin.com/gb7JMLt6

— अग्वेबर

x

$x$

n

$n$

x = 20, n = 5

$x=20,n=5$

15600 / 160000 = 0.0975

$15600/160000=0.0975$

x, n

$x,n$ , और मेरे द्वारा निकाले गए सूत्र से संभावना। मुझे यह जानने की उत्सुकता है कि हमारे कोड के बीच असहमति का स्रोत क्या है।

— टीओटॉन

10^{7}

$10^7$

0.119983,

$0.119983,$ n = 10^7; Total[Boole[Equal @@ (#[[Ordering[#, -2]]])] & /@ x = RandomInteger[{1, 100}, {n, 25}]] / n

मैं पहले एक अद्वितीय विजेता होने की संभावना खोजने पर विचार करूंगा

$x$ $\frac{{25\choose1} (x-1)^{24}}{{100}^{25} }$ $y-1$

विजेता अपनी संख्या के साथ 2 से 100 के बराबर जीत सकता है इसलिए कुल संभावना है

\begin{aligned} Σ_{मैं = 2}^{100} \frac{25 (मैं - 1)^{24}}{100^{25}} \\ = & 25 Σ_{मैं = 1}^{99} \frac{{मैं}^{24}}{100^{25}} \\ = & - \frac{1}{4} + 25 Σ_{मैं = 1}^{100} \frac{{मैं}^{24}}{100^{25}} \\ \approx & - \frac{1}{4} + 25 \frac{\frac{1}{24 + 1} 100^{24 + 1} + \frac{1}{2} 100^{24} + \frac{24}{2} \frac{1}{6} 100^{23}}{100^{25}} \\ = & 0.88 \end{aligned}

$\begin{align} &\sum_{i=2}^{100} \frac {25(i-1)^{24}}{{100}^{25}}\\ =& 25\sum_{i=1}^{99} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\ =& -{1 \over 4}+25\sum_{i=1}^{100} \frac{i^{24}}{{100}^{25}}\\\approx&-{1 \over 4}+25 {{1\over24+1}{100}^{24+1}+{{1\over2}{100}^{24}+{{{24\over2} {1\over6}}{100}^{23} }}\over{100}^{25}}\\ =&0.88 \end{align}$

$100^{23}$

$1-0.88=0.12$

— गैरी
स्रोत

-3

$p$ $1-p$ $p=1*(1-1/100)*(1-1/100)......*(1-1/10)=(1-1/100)^{24}$ $P=1-p=1-(1-1/100)^{24} = 0.214$

— मिशेल जी
स्रोत

क्या इसका मतलब यह है कि संभावना 21.4% है? बहुत अधिक लगता है, लेकिन फिर, जन्मदिन के विरोधाभास का एक समान आश्चर्यजनक जवाब है। धन्यवाद।

— नजल्ल

-1 यह खड़ा है, यह जवाब सही नहीं है। सही उत्तर @TooTone द्वारा प्रदान किया गया था।

— COOLSerdash