क्षण नहीं होने पर CLT का उदाहरण

पर विचार करें $X_n = \begin{cases} 1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ -1 & \text{w.p. } (1 - 2^{-n})/2\\ 2^k & \text{w.p. } 2^{-k} \text{ for } k > n\\ \end{cases}$

मुझे यह दिखाने की आवश्यकता है कि भले ही इसके अनंत क्षण हों,

\sqrt{n} ({\bar{X}}_{n}) \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\sqrt{n}(\bar{X}_n) \overset{d}{\to} N(0,1)$

मैंने लेवी की निरंतरता प्रमेय का उपयोग करके यह दिखाने की कोशिश की है, अर्थात, यह दिखाने की कोशिश की है कि बाईं ओर की विशेषता फ़ंक्शन मानक सामान्य की विशेषता फ़ंक्शन में परिवर्तित होती है। हालाँकि, यह दिखाना असंभव लग रहा था।

इस समस्या के लिए प्रदान किया गया एक संकेत प्रत्येक को काट , अर्थात और लिंडबर्ग स्थिति का उपयोग करके उस को दिखाने के लिए । $X_i$ $Y_{ni} = X_i I\{X_i \leq n\}$ $\sqrt{n} \bar{Y}_n \overset{d}{\to} N(0,1)$

हालांकि, मैं यह दिखाने में सक्षम नहीं हूं कि लायपुनोव की स्थिति संतुष्ट है। यह मुख्य रूप से है क्योंकि ऐसा व्यवहार नहीं करता है जैसा मैं चाहता हूं। मैं केवल मान -1 और 1 लेना , हालांकि, जिस तरह से इसका निर्माण किया गया है, यह मान $Y_{ni}$ $Y_{ni}$ $-1, 1, 2^{i+1}, 2^{i+2}, \dots, 2^{\lfloor\log_2 n\rfloor}$

— Greenparker
स्रोत

यदि आप पर truncating कर रहे हैं , तो जाँचें कि अंतिम पैराग्राफ मानों के लिए सावधानीपूर्वक अंतिम पैराग्राफ ले सकता है। किसी भी दर पर, पर ट्रंकटिंग करने का प्रयास करें, परिणाम प्राप्त करने के लिए बोरेल-कैंटेली और फिर स्लटस्की का उपयोग करें। आप टुकड़े टुकड़े में लिंडेबर्ग या ल्यपुनोव का उपयोग करने में सक्षम होना चाहिए (हालांकि मैं वास्तव में यह जाँच नहीं किया था)।

n

$n$

1

$1$

— कार्डिनल

उसके लिए माफ़ करना। इसे "अनंत" क्षणों में बदल दिया

— ग्रीनपार्क

@कार्डिनल मैं संभावित मूल्यों पर चला गया फिर से ले सकता है, और लॉग टर्म में एक मंजिल जोड़ा। अन्यथा, मान सही लगते हैं। यदि मैं 1 से कम करता हूं, तो मुझे वे मान मिलेंगे जो मुझे लिए चाहिए और सामान्य के लिए अभिसरण प्राप्त करने के लिए लिंडबर्ग स्थिति को लागू करने में सक्षम होंगे। हालाँकि, मैं यह नहीं देखता कि यह लिए सामान्य रूप से कैसे अभिसरण करेगा

Y_{n i}

$Y_{ni}$

Y_{n i}

$Y_{ni}$

\sqrt{n} {\bar{X}}_{n}

$\sqrt{n} \bar{X}_n$

— ग्रीनपार्क

" " क्या है? आपने एक संदर्भ का वर्णन नहीं किया है जिसमें प्रत्येक नमूने या कई उदाहरण हैं

{\bar{X}}_{n}

$\bar{X}_n$

X_{n}

$X_n$ , जहां - जो प्रश्न में कहा गया है - इस संकेतन के केवल संभावित पठन के बारे में यह बताया गया है कि इसका मतलब क्या है

X_{n}

$X_n$ , जो हमेशा अनंत है और एक संख्या है, एक वितरण नहीं है। इसलिए हमें कल्पना करना होगा कि आप आईआईडी के नमूनों पर विचार कर रहे हैं

X_{n}

$X_n$ , लेकिन आपको हमें यह बताने की आवश्यकता है और आपको विशेष रूप से यह निर्धारित करने की आवश्यकता है कि नमूना आकार क्या हैं।

— whuber

यहाँ एक उत्तर @ कार्डिनल की टिप्पणी पर आधारित है:

नमूना स्थान को स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं के पथ के होने दें $(X_i)_{i=0}^{\infty}$ तथा $(Y_i)_{i=0}^{\infty}$ , जहां हमने जाने दिया $Y_i=X_i \mathbb{1}_{\{X_i\leq 1\}}$ । लिंडबर्ग स्थिति ( विकिपीडिया के संकेतन के अनुरूप ) संतुष्ट है, के लिए:

\frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} E (Y_{i}^{2} 1_{{| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}}}) \leq \frac{1}{s_{n}^{2}} \sum_{i = 0}^{n} P (| Y_{i} | > ϵ s_{n}^{2}) \to 0,

$\frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n \mathbb E (Y_i^2 \mathbb{1}_{\{|Y_i|> \epsilon s_n^2\}})\leq \frac{1}{s_n^2} \sum_{i=0}^n P(|Y_i|> \epsilon s_n^2)\to0,$ किसी के लिए

ϵ

$\epsilon$ जैसा

s_{n}^{2} \to \infty

$s_n^2\to \infty$ जब कभी

n \to \infty .

$n\to \infty.$

हमारे पास वह भी है $P(X_i\neq Y_i, i.o.) = 0$ बोरेल-कैंटेली के बाद से $P(X_i \neq Y_i)=2^{-i}$ ताकि $\sum_{i=0}^{\infty} P(X_i \neq Y_i) = 2<\infty$ । अलग से कहा, $X_i$ तथा $Y_i$ केवल लगभग अक्सर निश्चित रूप से भिन्न।

परिभाषित करें $S_{X,n}=\sum_{i=0}^{n} X_i$ और समान रूप से के लिए $S_{Y,n}$ । का एक नमूना पथ चुनें $(X_i)_{i=1}^{\infty}$ ऐसा है कि $X_i > 1$ केवल बहुत से लोगों के लिए $i$ । इन शब्दों को अनुक्रमित करें $\mathcal{J}$ । इस पथ से भी आवश्यकता है कि $X_j,j\in \mathcal{J}$ परिमित हैं। ऐसे रास्ते के लिए,

\frac{S_{J}}{\sqrt{n}} \to 0, as n \to \infty

$\frac{S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}} \to 0,\text{ as }n\to \infty$ कहाँ पे

S_{J} := \sum_{j \in J} X_{j}

$S_{\mathcal{J}}:=\sum_{j\in \mathcal{J}}X_j$ । इसके अलावा, काफी बड़े के लिए

n

$n$ ,

S_{X, n} - S_{Y, n} = S_{J} .

$S_{X,n}-S_{Y,n}=S_{\mathcal{J}}.$

बोरेल-कैंटेली परिणाम का उपयोग करके इस तथ्य के साथ कि $X_i$ लगभग निश्चित रूप से परिमित है, हम देखते हैं कि हमारी आवश्यकताओं का पालन करते हुए एक नमूना पथ की संभावना एक है। दूसरे शब्दों में, अलग-अलग शब्द लगभग निश्चित रूप से शून्य हो जाते हैं। इस प्रकार हमारे पास स्लटस्की के प्रमेय हैं जो कि काफी बड़े हैं $n$ ,

\frac{1}{\sqrt{n}} S_{X, n} = \frac{S_{Y, n} + S_{J}}{\sqrt{n}} \overset{d}{\to} ξ + 0,

$\frac{1}{\sqrt{n}}S_{X,n}=\frac{S_{Y,n}+S_{\mathcal{J}}}{\sqrt{n}}\overset{d}{\to}\xi+0,$ कहाँ पे

ξ \sim N (0, 1)

$\xi\sim N(0,1)$ ।

— ekvall
स्रोत