क्या पूर्ण सशर्त संयुक्त वितरण का निर्धारण कर सकते हैं?

मैंने सुना है कि सभी पूर्ण सशर्त (जैसा कि गिब्स नमूना में इस्तेमाल किया गया है) संयुक्त वितरण को निर्धारित कर सकते हैं। लेकिन मुझे समझ नहीं आता कि क्यों और कैसे। या मैंने गलत सुना? धन्यवाद!

distributions

— टिम
स्रोत

यह प्रतीत होता है कि यह सामान्य प्रश्न गहरा है, यह हम्मर्सले-क्लिफोर्ड प्रमेय के लिए सभी तरह से अग्रणी है। तथ्य यह है कि हम पूर्ण सशर्त से संयुक्त वितरण को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं जो गिब्स के नमूने को संभव बनाता है। इसे आश्चर्यजनक परिणाम के रूप में देखा जा सकता है, अगर हमें याद है कि मार्जिन संयुक्त वितरण का निर्धारण नहीं करते हैं ।

आइए देखें कि क्या होता है अगर हम संयुक्त, सशर्त और सीमांत घनत्व की अच्छी तरह से ज्ञात परिभाषाओं के साथ औपचारिक रूप से गणना करते हैं। जबसे

f_{X, Y} (x, y) = f_{X ∣ Y} (x ∣ y) f_{Y} (y) = f_{Y ∣ X} (y ∣ x) f_{X} (x),

$f_{X,Y}(x,y)=f_{X\mid Y}(x\mid y)\,f_Y(y)=f_{Y\mid X}(y\mid x)\,f_X(x) \, ,$ हमारे पास है

\int \frac{f_{Y ∣ X} (y ∣ x)}{f_{X ∣ Y} (x ∣ y)} d y = \int \frac{f_{Y} (y)}{f_{X} (x)} d y = \frac{1}{f_{X} (x)},

$\int \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{f_{X\mid Y}(x\mid y)}dy = \int \frac{f_Y(y)}{f_X(x)}dy = \frac{1}{f_X(x)} \, ,$ और हम पूरी तरह से सशर्त बनाने से संयुक्त घनत्व को औपचारिक रूप से पुनर्प्राप्त कर सकते हैं

f_{X, Y} (x, y) = \frac{f_{Y ∣ X} (y ∣ x)}{\int f_{Y ∣ X} (y ∣ x) / f_{X ∣ Y} (x ∣ y) d y} . (*)

$f_{X,Y}(x,y) = \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{\int f_{Y\mid X}(y\mid x)/f_{X\mid Y}(x\mid y)\,dy} \, . \qquad (*)$

इस औपचारिक संगणना के साथ समस्या यह है कि यह मानती है कि इसमें शामिल सभी वस्तुएं मौजूद हैं।

उदाहरण के लिए, विचार करें कि क्या होगा अगर हमें वह दिया जाए

X ∣ Y = y \sim Exp (y) and Y ∣ X = x \sim Exp (x) .

$X\mid Y=y\sim\text{Exp}(y) \qquad \text{and} \qquad Y\mid X=x\sim\text{Exp}(x) \, .$ यह इस प्रकार है कि

f_{Y ∣ X} (y ∣ x) / f_{X ∣ Y} (x ∣ y) = x / y

$f_{Y\mid X}(y\mid x)/f_{X\mid Y}(x\mid y) = x /y$ , और के भाजक में अभिन्न

(*)

$(*)$ diverges।

यह सुनिश्चित करने के लिए कि हम पूर्ण सशर्त का उपयोग करके संयुक्त घनत्व को पुनर्प्राप्त कर सकते हैं $(*)$ हमें इस पत्र में चर्चा की गई अनुकूलता शर्तों की आवश्यकता है:

"संगत सशर्त वितरण", बैरी सी। अर्नोल्ड और एस। जेम्स प्रेस, जर्नल ऑफ़ द अमेरिकन स्टेटिस्टिकल एसोसिएशन, वॉल्यूम। 84, नंबर 405 (1989), पीपी। 152-156।

अंत में, रॉबर्ट और कैसला की किताब में हैमर्सली-क्लिफोर्ड थ्योरम पर चर्चा पढ़ें

— जेन
स्रोत

क्या आप स्पष्ट कर सकते हैं कि "अभिन्न .... मौजूद है" का क्या मतलब है? यहाँ दो अलग-अलग मुद्दे प्रतीत होते हैं, अर्थात। (i) अभिन्न करता है

\int \frac{f_{Y ∣ X} (y ∣ x)}{f_{X ∣ Y} (x ∣ y)} d y

$\int \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{f_{X\mid Y}(x\mid y)}dy$ मौजूद है या नहीं? और (ii) यदि अभिन्न मौजूद है, तो इसका मूल्य है

\frac{1}{f_{X} (x)}

$\frac{1}{f_X(x)}$ ? या आप कह रहे हैं कि जब भी

X

$X$ तथा

Y

$Y$ सशर्त घनत्व ऐसे हैं

\int \frac{f_{Y ∣ X} (y ∣ x)}{f_{X ∣ Y} (x ∣ y)} d y

$\int \frac{f_{Y\mid X}(y\mid x)}{f_{X\mid Y}(x\mid y)}dy$ मौजूद है, तो यह होना चाहिए कि अभिन्न का मूल्य है

\frac{1}{f_{X} (x)}

$\frac{1}{f_X(x)}$ ?

— दिलीप सरवटे

धन्यवाद, @Zen!

f_{Y}

$f_Y$ तथा

f_{X | Y}

$f_{X|Y}$ निर्धारित कर सकते हैं

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$ , तथा

f_{Y | X}

$f_{Y|X}$ तथा

f_{X | Y}

$f_{X|Y}$ भी निर्धारित कर सकते हैं

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$ । (1) कौन सा अधिक जानकारी प्रदान करता है,

f_{Y}

$f_Y$ या

f_{Y | X}

$f_{Y|X}$ ? (२) कौन-सी जानकारी निरर्थक / अतिव्यापी जानकारी प्रदान करती है

f_{X | Y}

$f_{X|Y}$ ,

f_{Y}

$f_Y$ या

f_{Y | X}

$f_{Y|X}$ ? (३) का

f_{Y}

$f_Y$ तथा

f_{Y | X}

$f_{Y|X}$ , उनमें से एक पहले से ही दूसरे की जानकारी प्रदान करता है (जो मुझे संदेह है, क्योंकि इससे एक दूसरे की ओर बढ़ेगा)? मुझे लगता है कि यह "चौराहे" की जानकारी के बीच है

f_{Y}

$f_Y$ और का

f_{Y | X}

$f_{Y|X}$ , जो एक साथ

f_{X | Y}

$f_{X|Y}$ निर्धारित करता है

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$ ।

— टिम

हाय @ टिम।

f_{Y}

$f_Y$ आप के बारे में अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है

Y

$Y$ , जबकि

f_{Y ∣ X}

$f_{Y\mid X}$ के बारे में आपकी अनिश्चितता का प्रतिनिधित्व करता है

Y

$Y$ , कि आप का मूल्य पता है

X

$X$ । "किसमें अधिक जानकारी है?" एक आसान सवाल नहीं है। अगर

f_{X ∣ Y}

$f_{X\mid Y}$ तथा

f_{Y ∣ X}

$f_{Y\mid X}$ संगत हैं (अर्नोल्ड और प्रेस के अर्थ में), फिर वे निर्धारित करते हैं

f_{X, Y}

$f_{X,Y}$ के माध्यम से

(*)

$(*)$ ।

— झेन

मैं वर्तमान में उसी समस्या से जूझ रहा हूं। मैं संगत सशर्त वितरणों की आवश्यकता से थोड़ा भ्रमित हूं, क्योंकि इनका उल्लेख कभी भी नहीं किया गया है (कम से कम जिन्हें मैंने पढ़ा है) गिब्स नमूनाकरण के लिए परिचय। या संगत सशर्त वितरण की आवश्यकता केवल तभी होती है, यदि कोई संयुक्त वितरण को औपचारिक रूप से पुनर्प्राप्त करने का प्रयास करता है, जैसे (*)। -> गिब्स सैंपलिंग द्वारा संयुक्त वितरण का अनुमान नहीं लगाया जा रहा है?

— 12

एक नियमित गिब्स नमूना सेटिंग में एक सांख्यिकीय समस्या पर लागू होता है जो आप मानते हैं कि संयुक्त संभावना (पीछे) वितरण मौजूद है, इसलिए इस संयुक्त वितरण से प्राप्त पूर्ण सशर्त संगत हैं। इस मामले के बाहर, गिब्स का नमूना निरर्थक है।

— शीआन