क्या कोई संभावना दूरी है जो मीट्रिक के सभी गुणों को संरक्षित करती है?

Question

कुल्बैक-लीब्लर दूरी का अध्ययन करने में, दो चीजें हैं जो हम बहुत जल्दी सीखते हैं, यह है कि यह न तो त्रिकोण असमानता और न ही समरूपता, मीट्रिक के आवश्यक गुणों का सम्मान करता है।

मेरा सवाल यह है कि क्या कोई संभावना घनत्व कार्यों का कोई मीट्रिक है जो किसी मीट्रिक की सभी बाधाओं को पूरा करता है ।

Comments

संभावना घनत्व पर ध्यान केंद्रित करने के लिए "गलत" ऑब्जेक्ट पर ध्यान केंद्रित करना है। मेट्रिक्स के लिए, "शास्त्रीय" वाले हैं, उदाहरण के लिए, लेवी (और यादृच्छिक चर पर संबंधित क्यू फैन मीट्रिक), केसर के साथ आत्मा के करीब के साथ वासेरस्टीन, जैसे, जेन्सेन-शैनन विचलन । हालांकि ज्यादातर ऐतिहासिक रूप से अनदेखी की गई, ध्यान दें कि मूल केएल कागज में , केएल विचलन वास्तव में सममित था (हालांकि अभी भी मीट्रिक नहीं है)।

— कार्डिनल

@ कार्डिनल, ठीक है, मैं इस क्षेत्र में बहुत अधिक नहीं हूं, क्या आप कृपया "सही" ऑब्जेक्ट का सुझाव दे सकते हैं?

— जॉर्ज लेइताओ

JC: क्षमा करें, टिप्पणी बॉक्स बहुत छोटा हो गया, जिसमें मैं वहां फिट होने की कोशिश कर रहा था। मुझे विस्तार से बताना चाहिए था। संचयी वितरण फ़ंक्शन अध्ययन का एक अधिक सामान्य और प्राकृतिक उद्देश्य बन जाता है। :-)

— कार्डिनल

@ कार्डिनल क्यों? ;)

— जॉर्ज लेइताओ

Answer 1

इस पेपर पर एक नज़र डालें जो संभावना माप के स्थान पर लोकप्रिय मैट्रिक्स की एक विस्तृत श्रृंखला को कवर करता है । मेरा व्यक्तिगत पसंदीदा कुल भिन्नता दूरी और वासेरस्टीन दूरी (पृथ्वी मूवर दूरी) हैं।$L^2$

Comments

यह एक अच्छा पेपर है - विशेष रूप से आंकड़ा 1. मैं भविष्य के संदर्भ के लिए इसकी एक प्रति सहेज रहा हूं।

— पैट

Answer 2

मेरा मानना ​​है कि अर्थ मूवर की दूरी , जिसे वासेरस्टीन मीट्रिक भी कहा जाता है , एक उदाहरण है जो आपकी आवश्यकताओं को पूरा करता है।

Answer 3

केएल विचलन के लिए कुछ संशोधन हैं जो इसे मीट्रिक गुणों में से कुछ का अधिग्रहण करते हैं (हालांकि सभी नहीं)।

उदाहरण के लिए, जेफरी का विचलन , केएल विचलन को सममित बनाने के लिए संशोधित करता है।

कुछ विशेष मामले हैं [1] देखें: "दुर्भाग्य से, कुल्बैक-लीब्लर (केएल) विचलन और भट्टाचार्य दूरी पर आधारित पारंपरिक उपाय कई एल्गोरिदम के लिए आवश्यक सभी मीट्रिक स्वयंसिद्धों को संतुष्ट नहीं करते हैं। इस पेपर में हम केएल के लिए संशोधन का प्रस्ताव रखते हैं। विचलन और भट्टाचार्य दूरी, बहुभिन्नरूपी गौसियन घनत्व के लिए, जो दो उपायों को दूरी के मैट्रिक्स में बदल देता है। "

[१] के। अबू-मोवेस्तफा और एफ। फेरी, "ए नोट ऑन मेट्रिक प्रॉपर्टीज़ फॉर दी डाइवरेज मीजर्स: द गौसियन केस," जेएमएलआर: वर्कशॉप एंड कॉन्फ्रेंस प्रोसीडिंग्स २५: १-१५, २०१२।

Answer 4

मुझे लगता है कि प्रश्न का उत्तर संभव है। क्योंकि, हाल ही में 2017 में आर। फरहादियन ने दिखाया कि पूर्णांकों के हेयोरिस्टिक सब सेट पर संभावना है कि यह एक मीट्रिक है। उनके काम के लिए, निम्न लिंक देखें: http://journals.univ-danubius.ro/index.php/oeconomica/article/view/4010