बिखरने वाली मैट्रिक्स में कुल (वर्ग के भीतर + वर्ग के भीतर)

Question

मैं पीसीए और एलडीए विधियों के साथ काम कर रहा था और मैं एक बिंदु पर अटक गया हूं, मुझे लगता है कि यह इतना सरल है कि मैं इसे नहीं कर सकता।

वर्ग के भीतर ( ) और बीच-वर्ग ( एस बी ) तितर बितर मैट्रिस को इस प्रकार परिभाषित किया गया है:$S_W$$S_B$

$$S_W = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i)(x_t^i - \mu_i)^T$$

$$S_B = \sum_{i=1}^CN(\mu_i-\mu)(\mu_i-\mu)^T$$

कुल तितर बितर मैट्रिक्स रूप में दिया जाता है:$S_T$

$$S_T = \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T = S_W + S_B$$

जहाँ C कक्षाओं की संख्या है और N नमूनों की संख्या है नमूने हैं, μ मैं ith वर्ग माध्य है, μ समग्र माध्य है।$x$$\mu_i$$\mu$

प्राप्त करने की कोशिश करते हुए मैं एक ऐसे बिंदु पर आया जहाँ मेरे पास था:$S_T$

$$(x-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T + (\mu_i-\mu)(x-\mu_i)^T$$

एक शब्द के रूप में। यह शून्य होना चाहिए, लेकिन क्यों?

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वास्तव में:

$$\begin{align} S_T &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu)(x_t^i - \mu)^T \\ &= \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i + \mu_i - \mu)^T \\ &= S_W + S_B + \sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N\big[(x_t^i - \mu_i)(\mu_i - \mu)^T + (\mu_i - \mu)(x_t^i - \mu_i)^T\big] \end{align}$$

Comments

$x$$m$$m_i$$m$$m_i$$\mu$$\mu_i$

@ शुभकर्ता: आप पूरी तरह से सही हैं, मैंने अपने प्रश्न को संशोधित किया।

— nimcap

Answer 1

यदि आप मान लेते हैं

$$\frac{1}{N}\sum_{t=1}^Nx_t^{i}=\mu_i$$

फिर

$$\sum_{i=1}^C\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)(\mu_i-\mu)^T=\sum_{i=1}^C\left(\sum_{t=1}^N(x_t^i-\mu_i)\right)(\mu_i-\mu)^T=0$$

और सूत्र रखता है। आप इसी तरह से दूसरे कार्यकाल से निपटते हैं।

Comments

(+1) दूसरा शब्द, पहले का परिवर्तन होने के नाते, यह भी शून्य होना चाहिए :-)।

— whuber

@whuber, हाँ, वह भी :)

— mpiktas

नमस्ते, मुझे नहीं लगता कि धारणा क्यों है? क्या कोई समझा सकता है?

— मवक्त

$\mu_i$$\mu_i$$i$$\mu_i$