अधिकतम संभावना अनुमान की ज्यामितीय व्याख्या

Question

मैं फ्रेंकलिन एम। फिशर द्वारा द आइडेंटिफिकेशन प्रॉब्लम इन इकोनोमेट्रिक्स की किताब पढ़ रहा था , और इस भाग से भ्रमित था कि वह संभावना फ़ंक्शन की कल्पना करके पहचान का प्रदर्शन करता है।

समस्या को सरल बनाया जा सकता है:

एक प्रतिगमन , जहां , और पैरामीटर हैं। मान लीजिए कि में एक गुणांक जो एकता के बराबर है। फिर के अंतरिक्ष में संभावना कार्य किरण के साथ एक किरण होगा जो वास्तविक मापदंडों के वेक्टर के अनुरूप होता है और इसका स्केलर गुणक होता है । जब केवल द्वारा दी गई जगह पर विचार किया जाता है , तो संभावना समारोह में उस बिंदु पर एक अद्वितीय अधिकतम होगा जहां किरण ने उस विमान को लगाया।यू ~ मैं । मैं । d । एन ( 0 , σ 2 मैं ) $Y=a+Xb+u$$u \sim i.i.d. N(0,\sigma^2I)$$a$वाई सी सी , एक , $b$$Y$$c$$c, a,b$$c=1$

मेरे प्रश्न हैं:

1. प्रदर्शन में उल्लिखित रिज और किरण के बारे में किसी को कैसे समझना चाहिए।
2. चूँकि किरण ही सच्चे पैरामीटर और मापक हैं, इसलिए किरण द्वारा दिए गए तल पर नहीं है क्योंकि पैरामीटर का मान 1 है।$c=1$$c$

Answer 1

संदर्भ से बाहर यह मार्ग थोड़ा अस्पष्ट है लेकिन यहां बताया गया है कि मैंने इसकी व्याख्या कैसे की।

मान लीजिए कि मैं पर एक रैखिक प्रतिगमन प्रदर्शन करना चाहता था । मैं लिखते थे ग Y = एक ' + एक्स ख ' + यू जहां यू ~ एन ( 0 , सी 2 σ 2 ) । तो Y = एक 0 + एक्स ख 0 तो स्पष्ट रूप से सही मापदंड हैं ग Y = ग एक 0 + एक्स सी बी 0 की सच्ची मापदंड हैं ग $cY$$cY = a' +Xb' + u$$u \sim N(0, c^2 \sigma^2)$$Y=a_0+Xb_0$$cY = c a_0 + Xcb_0$$cY$।

तय लिए पर इस प्रतिगमन के लिए संभावना समारोह ग Y बिंदु पर एक अनन्य अधिकतम है एक ' = ग एक 0 और ख ' = ग ख 0 । इस प्रकार, सामान्य सी के लिए, स्केलर की किरण सच्चे पैरामीटर की तीन प्रकारों के फ़ंक्शन के रूप में संभावना फ़ंक्शन के रिज बनाती है। अब ले ग = 1 के साथ एक दूसरे को काटना करने के लिए ग = 1 विमान।$c$$cY$$a'=ca_0$$b' = cb_0$$c$$c=1$$c=1$