एक नमूने के टी-टेस्ट में, क्या होगा यदि विचरण अनुमानक में नमूना माध्य को द्वारा बदल दिया ?

Question

एक-नमूना टी-परीक्षण मान लें, जहां अशक्त परिकल्पना । आँकड़ा तब नमूना मानक विचलन s का उपयोग कर रहा है । एस का आकलन करने में , एक अवलोकन की तुलना नमूना माध्य \ _ {x} के नमूने से करता है : t = ¯ x - μ $\mu=\mu_0$ रोंरों¯$t=\frac{\overline{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}}$$s$$s$$\overline{x}$

$s=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\overline{x})^2}$ ।

हालाँकि, यदि हम किसी दिए गए $\mu_0$ को सत्य मानते हैं, तो कोई मानक विचलन का अनुमान लगा सकता है ^ * नमूना के बजाय \ mu_0$s^*$ का उपयोग करके \ xline {x} :$\mu_0$$\overline{x}$

$s^*=\sqrt{\frac{1}{n-1}\sum_{i=1}^n (x_i-\mu_0)^2}$ ।

मेरे लिए, यह दृष्टिकोण अधिक स्वाभाविक दिखता है क्योंकि हम एसडी के आकलन के लिए अशक्त परिकल्पना का भी उपयोग करते हैं। क्या किसी को पता है कि परिणामी आँकड़ा परीक्षण में उपयोग किया जाता है या नहीं, पता नहीं क्यों?

Comments

मैं इस सवाल का अनुसरण करता हूं क्योंकि मैं इसे पोस्ट करने वाला था और एसई ने मुझे चेतावनी दी। मैं सोच रहा था कि क्या इस प्रश्न पर संदर्भ पत्र हैं। सहज रूप से, $s'^2=\frac{1}{n}\sum (x_i-\mu_0)^2$ निश्चित रूप से \ sigma ^ 2 का एक बेहतर अनुमान होगा $\sigma^2$, और $\frac{\bar x-\mu_0}{s'/\sqrt{n}}$ व्युत्पन्न किया जा सकता है (एक छात्र नहीं, संभवतः)। किसी भी संदर्भ की सराहना की जाएगी!

— AG

Answer 1

इस पोस्ट में मूल सिमुलेशन के साथ एक समस्या थी, जो उम्मीद है कि अब तय हो गई है।

जबकि नमूना मानक विचलन का अनुमान अंश के साथ-साथ बढ़ता जाता है क्योंकि माध्य से , इससे यह पता चलता है कि सभी पर "ठेठ" महत्व के स्तर पर शक्ति का बड़ा प्रभाव नहीं है, क्योंकि मध्यम से बड़े नमूनों में, अभी भी अस्वीकार करने के लिए काफी बड़ा हो जाता है। छोटे नमूनों में इसका कुछ प्रभाव हो सकता है, हालांकि, और बहुत छोटे महत्व के स्तरों पर यह बहुत महत्वपूर्ण हो सकता है, क्योंकि यह शक्ति पर एक ऊपरी बाध्य जगह रखेगा जो 1 से कम होगा।रों * / $\mu_0$$s^*/\sqrt n$

एक दूसरा मुद्दा, संभवतः 'सामान्य' महत्व के स्तरों पर अधिक महत्वपूर्ण है, ऐसा प्रतीत होता है कि परीक्षण सांख्यिकीय का अंश और हरक अब शून्य पर स्वतंत्र नहीं हैं ( वर्जन अनुमान के साथ का वर्ग सहसंबद्ध है) ।$\bar x-\mu$

इसका मतलब यह है कि परीक्षण में अब शून्य के तहत टी-वितरण नहीं है। यह एक घातक दोष नहीं है, लेकिन इसका मतलब है कि आप केवल तालिकाओं का उपयोग नहीं कर सकते हैं और जो आप चाहते हैं उसका महत्व स्तर प्राप्त कर सकते हैं (जैसा कि हम एक मिनट में देखेंगे)। यही है, परीक्षण रूढ़िवादी हो जाता है और यह शक्ति को प्रभावित करता है।

जैसा कि n बड़ा हो जाता है, यह निर्भरता एक मुद्दे से कम हो जाती है (कम से कम क्योंकि आप अंश के लिए CLT को आमंत्रित कर सकते हैं और Slutsky के प्रमेय का उपयोग करके यह कह सकते हैं कि संशोधित सांख्यिकीय के लिए एक असममित सामान्य वितरण है)।

यहाँ एक सामान्य दो सैंपल t (पर्पल कर्व, टू टेल्ड टेस्ट) के लिए पावर वक्र और की गणना में के शून्य मान का उपयोग करके परीक्षण के लिए (ब्लू डॉट्स, सिमुलेशन के माध्यम से प्राप्त किया गया है, और टी-टेबल का उपयोग करके) जनसंख्या का अर्थ है कि परिकल्पित मूल्य से दूर जाना, : s n = $\mu_0$$s$$n=10$

$\quad\quad\quad\quad$ n = 10

आप देख सकते हैं कि पावर कर्व कम है (यह सैंपल साइज़ में बहुत खराब हो जाता है), लेकिन ऐसा बहुत कुछ लगता है क्योंकि अंश और हर के बीच निर्भरता ने महत्व के स्तर को कम कर दिया है। यदि आप महत्वपूर्ण मानों को उचित रूप से समायोजित करते हैं, तो उनके बीच n = 10 पर भी बहुत कम होगा।

और यहाँ पावर वक्र फिर से है, लेकिन अब$n=30$

$\quad\quad\quad\quad$ n = ३०

इससे पता चलता है कि गैर-छोटे नमूना आकारों में उनके बीच इतना कुछ नहीं है, जब तक आपको बहुत छोटे महत्व के स्तरों का उपयोग करने की आवश्यकता नहीं है।

Answer 2

जब शून्य परिकल्पना सच होती है, तो आपका आँकड़ा नियमित टी-टेस्ट स्टेटिस्टिक के समान होना चाहिए (हालांकि मानक विचलन की गणना करने में आपको बजाय द्वारा विभाजित करना चाहिए क्योंकि आप मतलब का अनुमान लगाने के लिए स्वतंत्रता की एक डिग्री खर्च नहीं कर रहे हैं। )। मैं यह उम्मीद करूंगा कि जब शून्य परिकल्पना सच हो (जनसंख्या का अर्थ तो इसके समान गुण (उचित आकार, समान शक्ति) ।n - 1 μ $n$$n-1$$\mu_0$

लेकिन अब विचार करें कि क्या होता है जब शून्य परिकल्पना सच नहीं होती है। इसका मतलब है कि मानक त्रुटि की गणना में आप एक ऐसे मूल्य को घटा रहे हैं जो सही अर्थ नहीं है, या सही अर्थ का अनुमान है, वास्तव में आप एक मूल्य को घटा सकते हैं जो एक्स मानों की सीमा के भीतर भी नहीं होता है। यह आपके मानक विचलन को बड़ा बना देगा ( मानक विचलन को कम करने की गारंटी है) क्योंकि सही अर्थ से दूर है। इसलिए जब शून्य गलत होता है तो आप सांख्यकार और भाजक दोनों को बढ़ाते जा रहे हैं और सांख्यिकीय में जो कि परिकल्पना को खारिज करने की आपकी संभावना को कम कर देगा (और इसे टी-वितरण के रूप में वितरित नहीं किया जाएगा)। μ$\bar{x}$$\mu_0$

इसलिए जब शून्य सही होता है, तो संभवत: यह काम करेगा, लेकिन जब शून्य झूठा होगा, तो का उपयोग बेहतर शक्ति (और शायद अन्य गुण भी) देगा, इसलिए इसे पसंद किया जाता है। $\bar{x}$