दो गॉसियनों के बीच अर्थ मूवर की दूरी (EMD)

क्या और बीच EMD (या किसी प्रकार की बाध्यता) के लिए एक बंद-फ़ॉर्मूला फॉर्मूला है ? $x_1\sim N(\mu_1, \Sigma_1)$ $x_2 \sim N(\mu_2, \Sigma_2)$

normal-distribution distance

— ifog
स्रोत

En.wikipedia.org/wiki/Earth_mover%27s_distance के अनुसार EMD मल्लो या वासेरस्टीन की दूरी के समान है, इसलिए आप googlin को आज़मा सकते हैं।

— kjetil b halvorsen

आपको यह पेपर उपयोगी लग सकता है: vldb.org/pvldb/vol5/p205_brianeruttenberg_vldb2012.pdf

— jojer

$\DeclareMathOperator\EMD{\mathrm{EMD}} \DeclareMathOperator\E{\mathbb{E}} \DeclareMathOperator\Var{Var} \DeclareMathOperator\N{\mathcal{N}} \DeclareMathOperator\tr{\mathrm{tr}} \newcommand\R{\mathbb R}$ पृथ्वी के की दूरी को $\EMD(P, Q) = \inf \E \lVert X - Y \rVert$ रूप में लिखा जा सकता है , जहां $X$ और के सभी संयुक्त वितरणों में infimum लिया जाता है $Y$ marginals साथ $X \sim P$ , $Y \sim Q$ । इसे पहली दूरी के रूप में भी जाना जाता है , जो एक ही $W_p = \inf \left( \E \lVert X - Y \rVert^p \right)^{1/p}$ ।

चलो $X \sim P = \N(\mu_x, \Sigma_x)$ , $Y \sim Q = \N(\mu_y, \Sigma_y)$ ।

निचला बाउंड: जेन्सेन की असमानता से, चूंकि मानक उत्तल हैं,

E ‖ X - Y ‖ \geq ‖ E (X - Y) ‖ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖,

$\E \lVert X - Y \rVert \ge \lVert \E (X - Y) \rVert = \lVert \mu_x - \mu_y \rVert,$ इसलिए EMD हमेशा होता है कम से कम साधनों के बीच की दूरी (किसी भी वितरण के लिए)।

$W_2$ पर आधारित ऊपरी बाउंड : फिर से जेन्सेन की असमानता के द्वारा, $\left( \E \lVert X - Y \rVert \right)^2 \le \E \lVert X - Y \rVert^2$ । इस प्रकार $W_1 \le W_2$ । लेकिन डॉसन और लैंडौ (1982) ने स्थापित किया कि

W_{2} (P, Q)^{2} = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x} + Σ_{y} - 2 (Σ_{x} Σ_{y})^{1 / 2}),

$W_2(P, Q)^2 = \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x + \Sigma_y - 2 (\Sigma_x \Sigma_y)^{1/2} \right) ,$

E M D = W_{1}

$\EMD = W_1$ पर एक ऊपरी बाउंड

।

एक ऊपरी ऊपरी सीमा: युग्मन पर विचार करें यह नॉट और स्मिथ (1984) द्वारा व्युत्पन्न नक्शा है। , वितरण के इष्टतम मानचित्रण पर , जर्नल ऑफ़ ऑप्टिमाइज़ेशन सिद्धांत और अनुप्रयोग, 43 (1) पीपी 39-49 लिए इष्टतम मानचित्रण के रूप में ; इस ब्लॉग पोस्ट को भी देखें । ध्यान दें कि और

\begin{aligned} X & \sim N (μ_{x}, Σ_{x}) \\ Y & = μ_{y} + \underset{A}{\underset{⏟}{Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}}}} (X - μ_{x}) . \end{aligned}

$\begin{align} X &\sim \N(\mu_x, \Sigma_x) \\ Y &= \mu_y + \underbrace{\Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12}}_A (X - \mu_x) .\end{align}$

W_{2}

$W_2$

A = A^{T}

$A = A^T$

\begin{aligned} E Y & = μ_{y} + A (E X - μ_{x}) = μ_{y} \\ Var Y & = A Σ_{x} A^{T} \\ = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} Σ_{x} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} \\ = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} (Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}}) Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} \\ = Σ_{y}, \end{aligned}

$\begin{align} \E Y &= \mu_y + A (\E X - \mu_x) = \mu_y \\ \Var Y &= A \Sigma_x A^T \\&= \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} \Sigma_x \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} \\&= \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right) \Sigma_x^{-\frac12} \\&= \Sigma_y ,\end{align}$ ताकि युग्मन मान्य हो।

दूरी तब , जहां अब जो कि सामान्य रूप से साथ सामान्य है $\lVert X - Y \rVert$ $\lVert D \rVert$

\begin{aligned} D & = X - Y \\ = X - μ_{y} - A (X - μ_{x}) \\ = (I - A) X - μ_{y} + A μ_{x}, \end{aligned}

$\begin{align} D &= X - Y \\&= X - \mu_y - A (X - \mu_x) \\&= (I - A) X - \mu_y + A \mu_x ,\end{align}$

\begin{aligned} E D & = μ_{x} - μ_{y} \\ Var D & = (I - A) Σ_{x} (I - A)^{T} \\ = Σ_{x} + A Σ_{x} A - A Σ_{x} - Σ_{x} A \\ = Σ_{x} + Σ_{y} - Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{\frac{1}{2}} - Σ_{x}^{\frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} . \end{aligned}

$\begin{align} \E D &= \mu_x - \mu_y \\ \Var D &= (I - A) \Sigma_x (I - A)^T \\&= \Sigma_x + A \Sigma_x A - A \Sigma_x - \Sigma_x A \\&= \Sigma_x + \Sigma_y - \Sigma_x^{-\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{\frac12} - \Sigma_x^{\frac12} \left( \Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{-\frac12} .\end{align}$

इस प्रकार एक ऊपरी के लिए बाध्य है । दुर्भाग्य से, इस उम्मीद के लिए एक बंद रूप सामान्य बहुभिन्नरूपी मानदंडों के लिए लिखना आश्चर्यजनक रूप से अप्रिय है: इस प्रश्न को देखें , साथ ही साथ यह भी । $W_1(P, Q)$ $\E \lVert D \rVert$

यदि का विचरण गोलाकार हो रहा है (जैसे if , , तो का विचरण हो जाता है ), पूर्व प्रश्न एक सामान्यीकृत लैगुएर बहुपद के संदर्भ में उत्तर देता है। $D$ $\Sigma_x = \sigma_x^2 I$ $\Sigma_y = \sigma_y^2 I$ $D$ $(\sigma_x - \sigma_y)^2 I$

सामान्य तौर पर, हमारे पास जेन्सन की असमानता पर आधारित लिए एक सरल ऊपरी सीमा है, उदाहरण के लिए उस पहले प्रश्न में व्युत्पन्न: $\E \lVert D \rVert$

\begin{aligned} {(E ‖ D ‖)}^{2} & \leq E ‖ D ‖^{2} \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x} + Σ_{y} - A Σ_{x} - Σ_{x} A) \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x}) + t r (Σ_{y}) - 2 t r (Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} {(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}} Σ_{x}^{\frac{1}{2}}) \\ = ‖ μ_{x} - μ_{y} ‖^{2} + t r (Σ_{x}) + t r (Σ_{y}) - 2 t r ({(Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}})}^{\frac{1}{2}}) \\ = W_{2} (P, Q)^{2} . \end{aligned}

$\begin{align} \left( \E \lVert D \rVert \right)^2 &\le \E \lVert D \rVert^2 \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x + \Sigma_y - A \Sigma_x - \Sigma_x A \right) \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x \right) + \tr\left( \Sigma_y \right) - 2 \tr\left( \Sigma_x^{-\frac12} \left(\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \Sigma_x^{\frac12} \right) \\&= \lVert \mu_x - \mu_y \rVert^2 + \tr\left( \Sigma_x \right) + \tr\left( \Sigma_y \right) - 2 \tr\left( \left(\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 \right)^\frac12 \right) \\&= W_2(P, Q)^2 .\end{align}$ अंत में समानता है, क्योंकि मैट्रिक्स और समान हैं , तो वे एक ही eigenvalues है, और इस प्रकार उनकी वर्ग जड़ों में समान निशान हैं।

Σ_{x} Σ_{y}

$\Sigma_x \Sigma_y$

Σ_{x}^{\frac{1}{2}} Σ_{y} Σ_{x}^{\frac{1}{2}} = Σ_{x}^{- \frac{1}{2}} (Σ_{x} Σ_{y}) Σ_{x}^{\frac{1}{2}}

$\Sigma_x^\frac12 \Sigma_y \Sigma_x^\frac12 = \Sigma_x^{-\frac12} (\Sigma_x \Sigma_y) \Sigma_x^{\frac12}$

यह असमानता तब तक सख्त है जब तक कि नहीं होता है, जो कि ज्यादातर मामलों में होता है जब । $\lVert D \rVert$ $\Sigma_x \ne \Sigma_y$

एक अनुमान : शायद यह करीब ऊपरी बाउंड, , तंग है। फिर से, मुझे लंबे समय तक यहां एक अलग ऊपरी सीमा थी कि मैंने तंग होने के लिए अनुमान लगाया था कि वास्तव में एक की तुलना में था, इसलिए शायद आपको इस अनुमान पर बहुत अधिक भरोसा नहीं करना चाहिए। :) $\E \lVert D \rVert$ $W_2$

— Dougal
स्रोत