क्या संभावना है कि अनंत विचरण के साथ एक सामान्य वितरण का इसके मतलब से अधिक मूल्य है?

Question

मुझे आज साक्षात्कार में कुछ इसी तरह से पूछा गया।

साक्षात्कारकर्ता यह जानना चाहता था कि क्या संभावना है कि जब एक अस्थिरता अनंतता में आ जाती है तो एक पैसे का विकल्प पैसा खत्म हो जाएगा।

मैंने कहा 0% क्योंकि सामान्य वितरण जो कि ब्लैक-स्कोल्स मॉडल से गुजरते हैं और रैंडम वॉक परिकल्पना में अनंत विचरण होगा। और इसलिए मुझे लगा कि सभी मूल्यों की संभावना शून्य होगी।

मेरे साक्षात्कारकर्ता ने कहा कि सही उत्तर 50% है क्योंकि सामान्य वितरण अभी भी सममित और लगभग समान होगा। इसलिए जब आप औसत से अनंत तक एकीकृत करते हैं तो आपको 50% मिलता है।

मैं अभी भी उनके तर्क से आश्वस्त नहीं हूं।

कौन सही है?

Comments

वास्तव में सामान्य वितरण की एक (कमजोर) सीमा होती है क्योंकि विचरण से अनंत तक वृद्धि होती है। इसमें एक निषिद्ध शिशु 1 / Aleph (0) शामिल है। आप रिसर्च गेट या एकेडेमिया में शिशुओं के बारे में मेरा लेख पढ़ सकते हैं। Google में "H. Tomasz Grzybowski" टाइप करें, मेरे लेखों के साथ रिसर्च गेट पृष्ठ पर जाएं, "योगदान" पर क्लिक करें और इसे खोजें।

— एच। टॉमाज़ ग्रेज़ीबोस्की

हमारी साइट पर आपका स्वागत है, @ H.TomaszGrzybowski। मैंने आपकी पोस्ट को एक टिप्पणी में बदल दिया है क्योंकि मुझे पता था कि आपने अभी तक एक टिप्पणी बनाने के लिए प्रतिष्ठा अर्जित नहीं की है, लेकिन यह वास्तव में सवाल का जवाब नहीं देता है और इसलिए उत्तर के रूप में नहीं रह सकता है। इस समस्या के समाधान को पढ़ना दिलचस्प होगा, जो कि आपके विचारों पर आधारित है और यह एक कमजोर सीमा है। क्या आप अभी भी के मूल्य पर आते हैं या क्या आप पाते हैं कि मान अपरिभाषित है? $1/2$

— whuber

Answer 1

तर्क का न तो रूप गणितीय रूप से कठोर है - अनंत विचरण के साथ एक सामान्य वितरण जैसी कोई चीज नहीं है, और न ही एक सीमित वितरण है क्योंकि विचरण बड़ा होता है - तो चलो थोड़ा सावधान रहें।

ब्लैक-स्कोल्स मॉडल में, अंतर्निहित परिसंपत्ति की लॉग कीमत को एक यादृच्छिक चलना माना जाता है। समस्या यह पूछने के समतुल्य है कि "क्या मौका है कि समाप्ति तिथि पर संपत्ति (लॉग) का मूल्य उसके वर्तमान (लॉग) मूल्य से अधिक होगा?" सीमा के बिना अस्थिरता को बढ़ने देना सीमा के बिना समाप्ति तिथि को बढ़ने देने के बराबर है। इस प्रकार, इसका उत्तर यह पूछने के समान होना चाहिए कि "सीमा क्या है, जैसा कि , कि समय पर एक यादृच्छिक चलना का मूल्य समय पर इसके मूल्य से अधिक है ?" समरूपता (अपटिक्स और डाउनटिक्स का आदान-प्रदान), (और यह देखते हुए कि निरंतर मॉडल में धन होने का अवसर ) उन संभावितों के बराबर किसी के लिए$t \to \infty$$t$$0$$0$$1/2$$t \gt 0$ , उनकी सीमा वास्तव में मौजूद है और बराबर है ।$1/2$

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+1 संक्षेप में, भौतिक तर्क: दो संभावित परिणाम, पूरी तरह से सममित, और सभी संभावित परिणामों की संभावनाओं का योग 1 तक होना चाहिए - एकमात्र उत्तर 1/2 हो सकता है (-;

Answer 2

सामान्य यादृच्छिक चर का एक अनुक्रम पर विचार करें मतलब के साथ और एसडी ।$X_1, X_2,\ldots, X_n$$\mu$$\sigma_n$

अनिवार्य रूप से आपका साक्षात्कारकर्ता लिए पूछ रहा है , यह देखते हुए कि हम जानते हैं ।$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)$$\sigma_n\to \infty$

स्पष्ट रूप से हम को , जो से स्वतंत्र है , जो हमें उत्तर देता है।$\lim_{n\to\infty} P(X_n>\mu)=\frac{1}{2}$$\sigma_n$

सहज रूप से, एक अनंत-विचरण सामान्य वितरण की कल्पना करने के बजाय, आपको परिमित-विचरण वितरण की कल्पना करनी चाहिए और उसकी सीमाओं के साथ काम करना चाहिए।

Answer 3

आपको लॉग नॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन के आधार पर अपना विश्लेषण करना चाहिए, न कि सामान्य तरीके से। आप साक्षात्कारकर्ता गलत है जब वह कहता है कि वितरण सममित है। यह विचरण की परवाह किए बिना कभी नहीं होगा। आपको अस्थिरता और जिसे आप अनंत विचरण कह रहे हैं, के बीच अंतर करने की आवश्यकता है। एक शेयर की कीमत, उदाहरण के लिए, कोई ऊपरी सीमा नहीं है, इस प्रकार इसमें "अनंत विचरण" है।

Comments

यह सही है कि लॉगऑनॉर्मल डिस्ट्रीब्यूशन शामिल है, लेकिन मेरा जवाब दिखाने के लिए इसे लागू करना अनावश्यक है। अंतर्निहित सामान्य वितरण निश्चित रूप से सममित है। तथ्य यह है कि एक शेयर की कीमत (या कुछ और) की कोई ऊपरी सीमा नहीं है इसका मतलब यह नहीं है कि इसके वितरण में अनंत विचरण है। ब्लैक-स्कोल्स सिद्धांत में, वैसे, अस्थिरता वास्तव में विचरण पैरामीटर (लघुगणक के वितरण के लिए) है।

— whuber

हम विकल्प पर विचार करते हैं, स्टॉक पर नहीं।

— वोक

@ सच है, लेकिन सिद्धांत संपत्ति (शेयर) की कीमतों के वितरण पर निर्भर करता है । विकल्प मानों का वितरण न तो सामान्य है और न ही लॉगऑनॉर्मल है।

— whuber