Dirichlet वितरण में त्रिकोण सतह के रूप में सिंप्लेक्स का प्रतिनिधित्व करने का अर्थ है?

Question

मैं एक किताब से पढ़ रहा हूं, जो डर्कटाइल वितरण का परिचय देती है और फिर इसके बारे में आंकड़े प्रस्तुत करती है। लेकिन मैं वास्तव में उन आंकड़ों को समझ नहीं पा रहा था। मैंने सबसे नीचे आंकड़ा यहां संलग्न किया है। जो मुझे समझ में नहीं आ रहा है वह त्रिभुजों का अर्थ है।

आम तौर पर जब कोई 2 वेरिएबल्स के फ़ंक्शन को प्लॉट करना चाहता है, तो आप var1 और va2 का मान लेते हैं और फिर उन दो वेरिएबल्स के फ़ंक्शन मान का प्लॉट करते हैं ... जो एक 3D आयाम में एक विज़ुअलाइज़ेशन देता है। लेकिन यहां फ़ंक्शन मान के लिए 3 आयाम और एक अन्य मूल्य है, इसलिए यह 4 डी अंतरिक्ष में एक दृश्य बनाता है। मैं उन आंकड़ों को समझ नहीं सकता!

मुझे आशा है कि कोई उन्हें कृपया स्पष्ट कर सकता है!

संपादित करें: यहाँ है जो मैं आंकड़ा 2.14a से समझ में नहीं आता है। तो हमने K = 3 dirichlet से एक नमूना थीटा (जो मूल रूप से एक वेक्टर है) खींचा है: वह थीटा = [थीटा 1, थीटा 2, थीटा 3]। त्रिभुज भूखंड [थीटा 1, थीटा 2, थीटा 3]। मूल से प्रत्येक थीटा_आई की दूरी थीटा_आई का मान है। फिर प्रत्येक थीटा_ के लिए इसने एक शीर्ष रखा और सभी तीन लंबवत को जोड़ा और एक त्रिकोण बनाया। मुझे पता है कि अगर मैं [थीटा 1, थीटा 2, थीटा] को डीआईआर (थीटा | ए) में प्लग करता हूं, तो मुझे एक नंबर मिलेगा, जो वेक्टर थीटा की संयुक्त संभावना है। मैं यह भी समझता हूं कि निरंतर यादृच्छिक चर के लिए संभावना एक क्षेत्र का एक उपाय है। लेकिन यहां हमारे पास 3 आयाम हैं, इसलिए संयुक्त संभावना गुलाबी विमान से अंतरिक्ष के आयतन की माप होगी और उसके नीचे ... यानी पिरामिड। अब मुझे समझ में नहीं आ रहा है कि यहाँ त्रिकोण की क्या भूमिका है।

Comments

मेरा सुझाव है कि आप बीटा वितरण से शुरू करें और वहां से काम करें। 3 के लिए

— डिरिचलेट

: एक उदाहरण के लिए इस सूत्र की जाँच करें stats.stackexchange.com/questions/244917/...

— टिम

यह सोचने में मदद मिल सकती है कि 2 डी में बीटा वितरण दिखाया गया है (x- अक्ष {0,1} द्विआधारी परिणाम और संभाव्यता का प्रतिनिधित्व करने वाला y- अक्ष), इसलिए एक टर्नरी परिणाम को अतिरिक्त आयाम की आवश्यकता है, सही?

— जॉर्ज

Answer 1

मुझे समझ नहीं आ रहा है कि यहाँ त्रिकोण की क्या भूमिका है। यह क्या संवाद या कल्पना करने की कोशिश कर रहा है?

त्रिकोण के सभी बिंदुओं को दो बाधाओं को पूरा करना चाहिए: प्रत्येक आयाम में शून्य और एक के बीच ($0 \leq \theta \leq 1$) और सभी को एक राशि तक ()$\theta_0 + \theta_1 + \theta_2 = 1$)।

जिस तरह से मैंने आखिरकार समझा कि यह निम्नलिखित है:

तो (ए) के साथ एक 3-डी स्थान दिखाता है $\theta_{1, 2, 3}$निर्देशांक के रूप में। वे केवल 0 और 1 के बीच होते हैं।

(बी) में, एक त्रिकोण दिखाया गया है, यह हमारा सिम्प्लेक्स है।

(सी) दो उदाहरण दिखाता है कि सिम्प्लेक्स पर "लेट" जो दूसरे मानदंड (एक तक की रकम) को भी पूरा करता है।

(d) सिम्प्लेक्स पर एक और उदाहरण बिंदु दिखाता है, वही अड़चन रखती है

(ई) में, मैंने पहले के दिखाए गए सभी उदाहरण बिंदुओं के साथ सिम्प्लेक्स के 2-डी त्रिकोण के प्रक्षेपण को दिखाने की कोशिश की।

आशा है कि यह अब अधिक समझ में आता है :)

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अच्छा चित्र। क्या यह तुम्हारा है? यदि नहीं, तो क्या आप कृपया एक संदर्भ प्रदान कर सकते हैं और यह स्रोत है?

— टिम

धन्यवाद। यह मेरा है (Inkscape का उपयोग करके तैयार), मैं ज़रूरत पड़ने पर SVG प्रदान कर सकता हूँ ...

— John Doe

Answer 2

ग्राफ 2.14 (ए) प्रत्येक अक्ष पर तीन कोने से बना एक विमान दिखाता है। मूल से एक शीर्ष की दूरी है$\theta_i$, इसी में से एक है $k=3$कक्षाएं। गुलाबी विमान और कुल्हाड़ियों के विमानों से घिरा क्षेत्र (वेक्टर) की संभावना है$\theta$। अब मान लीजिए कि आपने उस प्लेन को झुका दिया है, ताकि आपके पास पिंक प्लेन के साथ पिरामिड हो, पाठक के सबसे नजदीक का चेहरा, पेज पर फ्लैट रखा जा सके। फिर पृष्ठ के तीसरे आयाम "पॉपिंग आउट" को दबाएं, और इसके बजाय त्रिकोण को रंग दें ताकि उच्च घनत्व क्षेत्र, आधार से सतह तक लंबी दूरी के साथ, अधिक लाल हो। यही ग्राफ़ 2.14 (बी) और 2.14 (सी) शो है। जितना अधिक लाल एक शीर्ष के पास केंद्रित होता है, उतना ही उस वर्ग से जुड़ा वर्ग संभावित होता है। इसी तरह, अगर लाल क्षेत्र किसी भी शीर्ष के पास नहीं है, तो यह विशेष रूप से संभावना नहीं है कि किसी भी वर्ग में किसी घटना की सदस्यता की संभावना अधिक है।

यह पिरामिड, हालांकि, केवल डिरिचलेट वितरण के एक ही एहसास के रूप में समझ में आता है। समान वितरण से फिर से आकर्षित होने पर अलग लंबाई के साथ एक अलग पिरामिड मिल सकता है$\theta$प्रत्येक कोने के लिए। (ए) और (बी) / (सी) के बीच महत्वपूर्ण अंतर यह है कि (ए) रेखांकन वेक्टर के एक ड्रा की संभावना को प्रदर्शित करता है$\theta$। ग्राफ़ (b) और (c) मानों के लिए संभाव्यता घनत्व दिखाते हैं$\theta$ में $k=3$ सिंप्लेक्स, यानी, वे सभी मूल्यों के लिए प्रायिकता घनत्व फ़ंक्शन पेश करने का प्रयास कर रहे हैं $\theta$समर्थन में। (बी) और (सी) के बारे में सोचने का एक तरीका यह है कि फ्लैट गुलाबी विमान और पिरामिड की सतह के बीच की औसत ऊंचाई के अनुसार अतिरिक्त लाल रंग का होना, जो कि कई ड्रॉ से अधिक है$\theta\sim\text{Dir}(\alpha)$।

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कुछ बिंदु अभी भी स्पष्ट नहीं हैं। शायद मेरी कमज़ोर अंग्रेजी का क्यूज़। "गुलाबी विमान और कुल्हाड़ियों के विमानों से घिरा क्षेत्र घनत्व है।" क्या वह पिंक प्लेन के नीचे पिरामिड का खाली स्थान है? इसके अलावा "घनत्व"? क्या मतलब? जैसे मैं जो समझता हूं कि dir (X1, x2, x3) एक मान है, यहाँ घनत्व ग्राफ में कैसे आता है?

— जैक ट्वेन

हां, गुलाबी विमान और 2.14 (ए) में काली रेखाओं द्वारा निर्मित विमानों के बीच पिरामिड का स्थान है जिसे मैं वर्णन करने की कोशिश कर रहा था। गलतफहमी के लिए खेद है!

— साइकोरैक्स का कहना है कि मोनिका

मैं अपनी पोस्ट को आगे समझाने के लिए संपादित करूँगा जो अभी भी स्पष्ट नहीं है

— जैक ट्वेन

बात यह है कि गुलाबी क्षेत्र पुस्तक में वर्णित समर्थन है। चूंकि थीटा_के <= 1 और सम (थीटा_के) = 1। एक बार जब आप चित्र बनाते हैं, user777 पूरी तरह से सही है।

— स्क्रैच

@ user777 मैंने अभी पोस्ट को एडिट किया

— जैक ट्वैन