एक चर के पारस्परिक की उम्मीद

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मैं भाजक में अपेक्षा को लागू करने में उलझन में हूं।

$E(1/X)=\,?$

क्या यह ? $1/E(X)\,$

expected-value

— शान
स्रोत

संबंधित पोस्ट: आंकड़े ।stackexchange.com / questions / 305713/… ।

— स्टबबोर्नटॉम

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क्या यह 1 / E (X) हो सकता है?

नहीं, सामान्य तौर पर यह नहीं हो सकता; जेन्सेन की असमानता हमें बताता है कि अगर $X$ एक यादृच्छिक चर रहा है और $\varphi$ एक उत्तल समारोह है, तो है $\varphi(\text{E}[X]) \leq \text{E}\left[\varphi(X)\right]$ । यदि $X$ कड़ाई से सकारात्मक है, तो $1/X$ उत्तल है, इसलिए , और कड़ाई से उत्तल कार्य के लिए, समानता केवल तब होती है यदि है शून्य भिन्नता ... इसलिए ऐसे मामलों में जिनमें हम रुचि रखते हैं, दोनों आम तौर पर असमान हैं। $\text{E}[1/X]\geq 1/\text{E}[X]$ $X$

मान लें कि हम एक सकारात्मक चर के साथ काम कर रहे हैं, यदि यह आपके लिए स्पष्ट है कि और विपरीत रूप से संबंधित होंगे ( ) तो यह जिसका अर्थ है , इसलिए । $X$ $1/X$ $\text{Cov}(X,1/X)\leq 0$ $E(X \cdot 1/X) - E(X) E(1/X) \leq 0$ $E(X) E(1/X) \geq 1$ $E(1/X) \geq 1/E(X)$

मैं भाजक में अपेक्षा को लागू करने में उलझन में हूं।

बेहोश सांख्यिकीविद् के कानून का उपयोग करें

E [g (X)] = \int_{- \infty}^{\infty} g (x) f_{X} (x) d x

$\text{E}[g(X)] = \int_{-\infty}^\infty g(x) f_X(x) dx$

(निरंतर मामले में)

इसलिए जब , $g(X) = \frac{1}{X}$ $\text{E}[\frac{1}{X}]=\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x} dx$

कुछ मामलों में उम्मीद का मूल्यांकन निरीक्षण द्वारा किया जा सकता है (जैसे गामा यादृच्छिक चर के साथ), या व्युत्क्रम के वितरण को प्राप्त करके, या अन्य माध्यमों से।

— Glen_b -Reinstate मोनिका
स्रोत

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जैसा कि ग्लेन_ बी कहते हैं कि यह शायद गलत है, क्योंकि पारस्परिक एक गैर-रैखिक कार्य है। यदि आप लिए एक सन्निकटन चाहते हैं, तो शायद आप आसपास एक टेलर विस्तार का उपयोग कर सकते हैं : $E(1/X)$ $E(X)$

E (\frac{1}{X}) \approx E (\frac{1}{E (X)} - \frac{1}{E (X)^{2}} (X - E (X)) + \frac{1}{E (X)^{3}} (X - E (X))^{2}) = = \frac{1}{E (X)} + \frac{1}{E (X)^{3}} V a r (X)

$E \bigg( \frac{1}{X} \bigg) \approx E\bigg( \frac{1}{E(X)} - \frac{1}{E(X)^2}(X-E(X)) + \frac{1}{E(X)^3}(X - E(X))^2 \bigg) = \\ = \frac{1}{E(X)} + \frac{1}{E(X)^3}Var(X)$ तो आपको सिर्फ माध्य और विचरण की आवश्यकता है, और यदि का वितरण सममित है तो यह सन्निकटन बहुत सटीक हो सकता है।

X

$X$

संपादित करें: शायद ऊपर काफी महत्वपूर्ण है, नीचे BioXX से टिप्पणी देखें।

— माटेतो फ़ासिओलो
स्रोत

ओह हाँ हाँ ... मुझे बहुत खेद है कि मैं इस तथ्य को स्वीकार नहीं कर सका ... मेरे पास एक और क्ष है ... क्या यह किसी भी प्रकार के फ़ंक्शन के लिए लागू है ??? वास्तव में मैं के साथ फंस गया हूँ... कैसे उम्मीद कर सकते हैं और संदर्भ में घटाया जा सकता है

| x |

$|x|$

| x |

$|x|$

E (x)

$E(x)$

V (x)

$V(x)$

— संदीपन कर्मकार

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मुझे नहीं लगता कि आप इसका उपयोग कर सकते हैंक्योंकि यह फ़ंक्शन अलग नहीं है। मैं समस्या को मामलों में विभाजित करूंगा और कहूंगा कि , I लगता है।

| X |

$|X|$

E (| X |) = E (X | X > 0) p (X > 0) + E (- X | X < 0) p (X < 0)

$E(|X|) = E(X|X > 0)p(X>0) + E(-X|X < 0)p(X<0)$

— माटेयो फ़ासियोलो

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@MatteoFasiolo क्या आप बता सकते हैं कि के वितरण की समरूपता (या इसकी कमी) टेलर सन्निकटन की सटीकता पर प्रभाव क्यों डालती है? क्या आपके पास कोई स्रोत है जो आप मुझे बता सकते हैं कि यह क्यों है?

X

$X$

— आरोन हेंड्रिकसन

1

@AaronHendrickson मेरा तर्क बस इतना है कि विस्तार में अगला शब्द समानुपाती है जो के वितरण के तिरछापन से संबंधित है । तिरछापन एक विषमता उपाय है। हालांकि, शून्य तिरछापन समरूपता की गारंटी नहीं देता है और मुझे यकीन नहीं है कि समरूपता शून्य तिरछापन की गारंटी देती है। इसलिए, यह सभी हेयुरिस्टिक है और बहुत सारे प्रतिपक्ष हो सकते हैं।

E {(X - E (X))^{3}}

$E\{(X-E(X))^3\}$

X

$X$

— मैटेयो फासिओलो

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मुझे समझ नहीं आ रहा है कि इस समाधान को कितने उत्थान मिले। एकल यादृच्छिक चर के लिए इस सन्निकटन की गुणवत्ता के बारे में कोई औचित्य नहीं है। तीसरा व्युत्पन्न बाध्य नहीं है। इसके अलावा लगभग शेष है। है जहां खुद के बीच एक यादृच्छिक चर रहा है और । शेष सामान्य रूप से गायब नहीं होगा और बहुत विशाल हो सकता है। टेलर लगभग। केवल तभी उपयोगी हो सकता है जब किसी के पास यादृच्छिक चर जहां । इसके बाद भी यदि अपेक्षा में रुचि हो तो समान रूप से एकरूपता की आवश्यकता होती है।

X

$X$

f (x) = 1 / x

$f(x)=1/x$

1 / 6 f^{‴} (ξ) (X - μ)^{3}

$1/6f'''(\xi)(X-\mu)^3$

ξ

$\xi$

X

$X$

μ

$\mu$

X_{n} - μ = O_{p} (a_{n})

$X_n -\mu = O_p(a_n)$

a_{n} \to 0

$a_n \to 0$

— ब्लॉक्स

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दूसरों ने पहले ही समझाया है कि प्रश्न का उत्तर तुच्छ मामलों को छोड़कर नहीं है। नीचे हम खोजने के लिए एक दृष्टिकोण देते हैं जबप्रायिकता के साथ एक, और पल उत्पन्न करने वाला फ़ंक्शनकरते हैं। इस पद्धति का एक आवेदन (और एक सामान्यीकरण)अपेक्षित मूल्यमें दिया जाता हैजब एक बीटा वितरण का अनुसरण करता है, हम यहां एक सरल उदाहरण भी देंगे। $\DeclareMathOperator{\E}{\mathbb{E}} \E \frac1{X}$ $X>0$ $M_X(t) = \E e^{tX}$ $1/x$ $x$

सबसे पहले, ध्यान दें कि (सरल पथरी व्यायाम)। फिर,लिखें $\int_0^\infty e^{-t x}\; dt = \frac1{x}$ एक साधारण अनुप्रयोग: चलो में घातांक वितरण 1 है, जो कि घनत्व और पल के साथ फंक्शन

E (\frac{1}{X}) = \int_{0}^{\infty} x^{- 1} f (x) d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} e^{- t x} d t) f (x) d x = \int_{0}^{\infty} (\int_{0}^{\infty} e^{- t x} f (x) d x) d t = \int_{0}^{\infty} M_{X} (- t) d t

$\E \left(\frac1{X}\right) = \int_0^\infty x^{-1} f(x)\; dx = \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-tx}\; dt \right) f(x)\; dx =\\ \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-tx} f(x) \; dx \right) \; dt = \int_0^\infty M_X(-t) \; dt$

X

$X$

e^{- x}, x > 0

$e^{-x}, x>0$

। तब

M_{X} (t) = \frac{1}{1 - t}, t < 1

$M_X(t)=\frac1{1-t}, t<1$

, इसलिए निश्चित रूप से अभिसरण न करें, और

से बहुत अलग है

\int_{0}^{\infty} M_{X} (- t) d t = \int_{0}^{\infty} \frac{1}{1 + t} d t = \ln (1 + t) |_{0}^{\infty} = \infty

$\int_0^\infty M_X(-t)\; dt = \int_0^\infty \frac1{1+t} \; dt= \ln(1+t) \bigg\rvert_0^\infty = \infty$

।

\frac{1}{E X} = \frac{1}{1} = 1

$\frac1{\E X}=\frac11=1$

— kjetil b halvorsen
स्रोत

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की गणना करने के लिए एक वैकल्पिक दृष्टिकोण जानते हुए भी एक्स एक सकारात्मक यादृच्छिक चर इसकी पल पैदा समारोह के माध्यम से है । प्राथमिक calculas द्वारा के बाद से $E(1/X)$ $E[e^{-\lambda X}]$

\int_{0}^{\infty} e^{- λ x} d λ = \frac{1}{x}

$\int_0^\infty e^{-\lambda x} d\lambda =\frac{1}{x}$ we have, by Fubini's theorem

\int_{0}^{\infty} E [e^{- λ X}] d λ = E [\frac{1}{X}] .

$\int_0^\infty E[e^{-\lambda X}] d\lambda =E[\frac{1}{X}].$

— user172761
स्रोत

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The idea here is right, but the details wrong. Pleasecheck

— kjetil b halvorsen

1

@Kjetil I don't see what the problem is: apart from the inconsequential differences of using

t X

$t X$ instead of

- t X

$-t X$ in the definition of the MGF and naming the variable

t

$t$ instead of

λ

$\lambda$ , the answer you just posted is identical to this one.

— whuber

1

You are right, the problems was less than I thought. Still this answer would be better withm some more details. I will upvote this tomorrow ( when I have new votes)

— kjetil b halvorsen

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$\text{E}(1/X)\neq 1/\text{E}(X)$ $\text{E}(X)=0$

परिमित नमूने में, अपेक्षा के लिए औसत शब्द का उपयोग करना अपमानजनक नहीं है, इस प्रकार यदि एक तरफ एक है

$\text{E}(X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N X_i$

and one has on the other hand

$\text{E}(1/X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N 1/X_i$

it becomes obvious that, with $N>1$ ,

$\text{E}(1/X) = \frac{1}{N}\sum_{i=1}^N 1/X_i \neq \frac{N}{\sum_{i=1}^N X_i} = 1/\text{E}(X)$

Which leads to say that, basically, $\text{E}(1/X)\neq 1/\text{E}(X)$ since the inverse of the (discrete) sum is not the (discrete) sum of inverses.

Analogously in the asymptotic $0$ -centered continuous case, one has

$\text{E}(1/X)=\int_{-\infty}^\infty \frac{f(x)}{x} dx \neq 1/\int_{-\infty}^\infty xf(x) dx = 1/\text{E}(X)$ .

— keepAlive
स्रोत