उदाहरण जहां क्षणों की विधि छोटे नमूनों में अधिकतम संभावना को हरा सकती है?

57

अधिकतम संभावना अनुमानक (एमएलई) एसिम्पोटिक रूप से कुशल हैं; हम व्यावहारिक उत्थान को देखते हैं कि वे अक्सर छोटे तरीकों के आकार पर भी क्षणों की विधि (MoM) के अनुमानों (जब वे भिन्न होते हैं) से बेहतर करते हैं

यहाँ 'से बेहतर' का अर्थ आम तौर पर छोटे रूपांतर में होता है जब दोनों निष्पक्ष होते हैं, और आमतौर पर छोटे का मतलब वर्ग त्रुटि (एमएसई) अधिक होता है।

प्रश्न, तब होता है:

क्या ऐसे मामले हैं जहां एमओएम एमईएल को हरा सकता है - एमएसई पर , कह सकता है - छोटे नमूनों में?

(जहां यह कुछ विषम / पतित स्थिति नहीं है - अर्थात एमएल के लिए ऐसी स्थितियाँ होना / विषमतापूर्वक कुशल पकड़ होना)

एक फॉलोअप सवाल 'फिर कितना बड़ा हो सकता है?' - अर्थात्, यदि उदाहरण हैं, तो क्या कुछ ऐसे हैं जो अभी भी अपेक्षाकृत बड़े नमूना आकारों पर पकड़ रखते हैं, शायद सभी परिमित नमूना आकार भी?

[मैं एक पक्षपाती आकलनकर्ता का एक उदाहरण पा सकता हूं जो एमएल को परिमित नमूनों में हरा सकता है, लेकिन यह MoM नहीं है।]

नोट को पूर्वव्यापी रूप से जोड़ा गया है: मेरा ध्यान यहां मुख्य रूप से एकतरफा मामले पर है (जो वास्तव में मेरी अंतर्निहित जिज्ञासा है)। मैं बहुभिन्नरूपी मामलों को खारिज नहीं करना चाहता, लेकिन मैं विशेष रूप से जेम्स-स्टीन आकलन की विस्तारित चर्चा में भी नहीं फंसना चाहता।

— Glen_b
स्रोत

कोई दिक्कत नहीं है; यह हम सभी के लिए होता है, और मेरे लिए आपसे अधिक बार होता है। मुझे शायद इसे सही शीर्षक में रखना चाहिए था, लेकिन यह पहले से ही बहुत लंबा था।

— ग्लेन_ बी

@ कार्डिनल मैंने मानदंड स्पष्ट कर दिया है।

— Glen_b

3

ऐसे अन्य तरीके हैं जिनमें क्षणों की विधि अधिकतम संभावना को "हरा" सकती है। उदाहरण के लिए, सामान्य मिश्रण अनुमानों में एमएलई नहीं है, जबकि MLE को गणना करने के लिए कुख्यात मुश्किल है।

— vqv

@vqv निश्चित रूप से यह एक ऐसी भावना है जिसमें MoM बेहतर हो सकता है।

— Glen_b

2

जब से मैं plebeians के साथ सहानुभूति के लिए करते हैं, मैं बताती है कि आईआईडी वर्दी का एक नमूना में , के लिए MoM आकलनकर्ता ही एमएसई कुलीन (MLE) अगर नमूने का आकार है के साथ है , या ... लेकिन अफसोस, बड़े नमूने के आकारों के लिए, संरक्षक ने अपनी संप्रभुता को फिर से बताया ...

U (0, θ)

$U(0,\theta)$

θ

$\theta$

1

$1$

2

$2$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

36

यह माना जा सकता है ... धोखा, लेकिन OLS अनुमानक एक MoM अनुमानक है। एक मानक रैखिक प्रतिगमन विनिर्देशन पर विचार करें ( स्टोचस्टिक रजिस्टरों के साथ, इसलिए मैग्नीट्यूड प्रतिगामी मैट्रिक्स पर सशर्त हैं), और आकार का एक नमूना । निरूपित विचरण के OLS आकलनकर्ता त्रुटि अवधि की। यह निष्पक्ष है $K$ $n$ $s^2$ $\sigma^2$

M S E (s^{2}) = Var (s^{2}) = \frac{2 σ^{4}}{n - K}

$MSE(s^2) = \operatorname {Var}(s^2) = \frac {2\sigma^4}{n-K}$

अब MLE of पर विचार करें । यह है $\sigma^2$

{\hat{σ}}_{M L}^{2} = \frac{n - K}{n} s^{2}

$\hat \sigma^2_{ML} = \frac {n-K}{n}s^2$ क्या यह पक्षपातपूर्ण है। इसका एमएसई है

M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) = Var ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) + [E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) - σ^{2}]^{2}

$MSE (\hat \sigma^2_{ML}) = \operatorname {Var}(\hat \sigma^2_{ML}) + \Big[E(\hat \sigma^2_{ML})-\sigma^2\Big]^2$ OLS के संदर्भ में MLE व्यक्त करना और हम प्राप्त OLS आकलनकर्ता प्रसरण के लिए अभिव्यक्ति का उपयोग करना

M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) = {(\frac{n - K}{n})}^{2} \frac{2 σ^{4}}{n - K} + {(\frac{K}{n})}^{2} σ^{4}

$MSE (\hat \sigma^2_{ML}) = \left(\frac {n-K}{n}\right)^2\frac {2\sigma^4}{n-K} + \left(\frac {K}{n}\right)^2\sigma^4$

\Rightarrow M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) = \frac{2 (n - K) + K^{2}}{n^{2}} σ^{4}

$\Rightarrow MSE (\hat \sigma^2_{ML}) = \frac {2(n-K)+K^2}{n^2}\sigma^4$

हम ऐसी परिस्थितियाँ चाहते हैं (यदि वे मौजूद हैं) जिसके तहत

M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) > M S E (s^{2}) \Rightarrow \frac{2 (n - K) + K^{2}}{n^{2}} > \frac{2}{n - K}

$MSE (\hat \sigma^2_{ML}) > MSE (s^2) \Rightarrow \frac {2(n-K)+K^2}{n^2} > \frac {2}{n-K}$

\Rightarrow 2 (n - K)^{2} + K^{2} (n - K) > 2 n^{2}

$\Rightarrow 2(n-K)^2+K^2(n-K)> 2n^2$

2 n^{2} - 4 n K + 2 K^{2} + n K^{2} - K^{3} > 2 n^{2}

$2n^2 -4nK + 2K^2 +nK^2 - K^3 > 2n^2$ हम क्या यह नकारात्मक मान प्राप्त करने के लिए में इस द्विघात के लिए संभव है ? हमें इसके विवेकशील को सकारात्मक होने की आवश्यकता है। हमारे पास जो इस समय में एक और द्विघात है । यह विभेदक है so इस तथ्य पर ध्यान देने के लिए कि एक पूर्णांक है। यदि

- 4 n + 2 K + n K - K^{2} > 0 \Rightarrow K^{2} - (n + 2) K + 4 n < 0

$-4n + 2K +nK - K^2 > 0 \Rightarrow K^2 - (n+2)K + 4n < 0$

K

$K$

Δ_{K} = (n + 2)^{2} - 16 n = n^{2} + 4 n + 4 - 16 n = n^{2} - 12 n + 4

$\Delta_K = (n+2)^2 -16n = n^2 + 4n + 4 - 16n = n^2 -12n + 4$

n

$n$

Δ_{n} = 12^{2} - 4^{2} = 8 \cdot 16

$\Delta_n = 12^2 - 4^2 = 8\cdot 16$

n_{1}, n_{2} = \frac{12 \pm \sqrt{8 \cdot 16}}{2} = 6 \pm 4 \sqrt{2} \Rightarrow n_{1}, n_{2} = {1, 12}

$n_1,n_2 = \frac {12\pm \sqrt{8\cdot 16}}{2} = 6 \pm 4\sqrt2 \Rightarrow n_1,n_2 = \{1, 12\}$

n

$n$

n

$n$ इस अंतराल के अंदर हमारे पास वह और में द्विघात हमेशा सकारात्मक मान लेता है, इसलिए हम आवश्यक असमानता प्राप्त नहीं कर सकते हैं। तो: हम 12 से बड़ा एक नमूना आकार की जरूरत है।

Δ_{K} < 0

$\Delta_K <0$

K

$K$

यह देखते हुए -adadratic के लिए जड़ें हैं $K$

K_{1}, K_{2} = \frac{(n + 2) \pm \sqrt{n^{2} - 12 n + 4}}{2} = \frac{n}{2} + 1 \pm \sqrt{{(\frac{n}{2})}^{2} + 1 - 3 n}

$K_1, K_2 = \frac {(n+2)\pm \sqrt{n^2 -12n + 4}}{2} = \frac n2 +1 \pm \sqrt{\left(\frac n2\right)^2 +1 -3n}$

कुल मिलाकर: नमूना आकार के लिए और regressors की संख्या ऐसी है कि हमारे पास के लिए उदाहरण, यदि तो कोई पाता है कि असमानता धारण करने के लिए रजिस्टरों की संख्या होनी चाहिए । यह दिलचस्प है कि कम संख्या में रजिस्टरों के लिए MLE MSE अर्थों में बेहतर है। $n>12$ $K$ $\lceil K_1\rceil <K<\lfloor K_2\rfloor$

M S E ({\hat{σ}}_{M L}^{2}) > M S E (s^{2})

$MSE (\hat \sigma^2_{ML}) > MSE (s^2)$

n = 50

$n=50$

5 < K < 47

$5<K<47$

ADDENDUM -quadratic
की जड़ों के लिए समीकरण लिखा जा सकता है $K$

K_{1}, K_{2} = (\frac{n}{2} + 1) \pm \sqrt{{(\frac{n}{2} + 1)}^{2} - 4 n}

$K_1, K_2 = \left(\frac n2 +1\right) \pm \sqrt{\left(\frac n2 +1\right)^2 -4n}$ जो एक त्वरित नज़र से मुझे लगता है कि निचली जड़ हमेशा होती है जा जब regressors अप करने के लिए कर रहे हैं, ताकि MLE (खाता "पूर्णांक मान" प्रतिबंध को ध्यान में रखकर) एमएसई कुशल हो जाएगा किसी भी (परिमित) नमूने का आकार के लिए।

5

$5$

5

$5$

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

1

खैर, विनिर्देशन के साथ आने वाली सैद्धांतिक क्षण स्थिति । डिग्री के लिए हम के नमूने एनालॉग का उपयोग करते हैं लिए एक अनुमानक के रूप में , मैं कहूंगा कि यह है।

E (u^{'} u ∣ X) = σ^{2}

$E(u'u\mid X) = \sigma^2$

E (u^{'} u ∣ X)

$E(u'u \mid X)$

σ^{2}

$\sigma^2$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

1

@AlecosPapadopoulos "नमूना एनालॉग", मैं तर्क देता हूं, हर के लिए लेगा , अर्थात यह MLE के समान होगा। यदि आप अनुभवजन्य अपेक्षा के साथ सैद्धांतिक अपेक्षा की जगह ले रहे हैं तो आप हर में साथ कैसे समाप्त हो सकते हैं ? प्राकृतिक पल की स्थिति और होनी चाहिए और अनुभवजन्य अपेक्षाओं के साथ प्रतिस्थापित करने से आपको में मिलेगा ।

n

$n$

n - K

$n - K$

E [X_{k} (Y - X β)] = 0

$E[X_k(Y - X \beta)] = 0$

E [(Y - X β)^{2}] = σ^{2}

$E[(Y - X\beta)^2] = \sigma^2$

n

$n$

— लड़का

2

@ गुजी यह एक मान्य टिप्पणी है। स्वतंत्रता-सुधार सुधार हमेशा मेरे लिए रहा है, विधि के साथ एक वैचारिक मुद्दा। सब के बाद "नमूना एनालॉग" एक सख्त अवधारणा नहीं है, और यह "नमूना का मतलब है" की अवधारणा के साथ जुड़ा हुआ है उत्तरार्द्ध के एसिम्प्टोटिक पत्राचार के माध्यम से एक विषमता के साथ अपेक्षित , बजाय विभाजित करता है। कोई फर्क नहीं पड़ता। मेरे लिए यह एक अनसुलझा मामला बना हुआ है। दूसरी ओर, अधिकतम संभावना आकलनकर्ता वस्तुतः संभावना समीकरणों से निर्धारित होता है, और यह या माँ के साथ मेल खाना नहीं हो सकता है (contd)।

n - K

$n-K$

n

$n$

— Alecos पापाडोपौलोस

1

@ गुय (CONTD)। तो क्या आप कह रहे हैं कि इस मामले में त्रुटि विचरण के MoM आकलनकर्ता है है अधिकतम संभावना आकलनकर्ता, और इसलिए परिणाम मैं व्युत्पन्न एमएल के साथ MoM नहीं तुलना, लेकिन OLS साथ एमएल (उत्तरार्द्ध अपने आप ही एक वर्ग जा रहा है)। .. हाँ, यह तर्क दिया जा सकता है कि यह (भी) मामला है।

— एलेकोस पापाडोपोलोस

1

क्या "एमओएम अनुमानक" जैसी कोई चीज है? यह "एक" MoM अनुमानक है, है ना? यदि आप बेतरतीब ढंग से चयनित OLS अवशिष्ट, लेते हैं , तो । यह एक पूरी तरह से अच्छा पल की स्थिति है, है ना? और यह पूरी तरह से अच्छा sMma , नहीं के लिए MoM देता है ? अर्थात्, सामान्य OLS अनुमानक, ।

e

$e$

E (e^{2}) = \frac{n - k}{n} σ^{2}

$E(e^2)=\frac{n-k}{n}\sigma^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

s^{2}

$s^2$

— बिल

17

"इस लेख में, हम दो-पैरामीटर उलटा गौसियन वितरण के एक नए पैरामीरिजेशन पर विचार करते हैं। हम क्षणों की विधि और अधिकतम संभावना की विधि द्वारा व्युत्क्रम गौसियन वितरण के मापदंडों के लिए अनुमानक पाते हैं। फिर, हम की दक्षता की तुलना करते हैं। उनके पूर्वाग्रह और माध्य वर्ग त्रुटि (MSE) के आधार पर दो तरीकों के लिए अनुमानक। इसके लिए हम मापदंडों के मूल्यों को ठीक करते हैं, सिमुलेशन चलाते हैं, और दोनों तरीकों द्वारा प्राप्त अनुमानों के लिए MSE और पूर्वाग्रह की रिपोर्ट करते हैं। निष्कर्ष यह है कि जब नमूना आकार 10 होते हैं। क्षणों की विधि दोनों मापदंडों (लंबो और थीटा) के अनुमानों के लिए अधिकतम संभावना विधि की तुलना में अधिक कुशल हो जाती है .... और पढ़ें

आजकल कोई भी प्रकाशित सभी चीज़ों पर विश्वास नहीं कर सकता (या नहीं करना चाहिए), लेकिन कागज का अंतिम पृष्ठ आशाजनक प्रतीत होता है। मुझे आशा है कि यह पता आपके नोट को पूर्वव्यापी रूप से जोड़ा गया है।

— सुप्तावस्था
स्रोत

1

अगर मैं उस लेख की तालिकाओं को सही ढंग से समझता हूं, तो मेरा मानना है कि आप सही हैं - कुछ नमूना आकारों में, क्षणों की विधि (कागज में MME) MLE से आगे निकलती हुई लगती है, कम से कम अनुमान लगाने पर । (हालाँकि, कुछ अनुकार परिणाम थोड़े से अधिक अजीब लगते हैं - उदाहरण के लिए p49 पर सबसे दाहिने स्तंभ की प्रगति।) - यह मेरे लिए एक बहुत ही दिलचस्प परिणाम है क्योंकि व्युत्क्रम गौसियन अपेक्षाकृत व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है।

θ

$\theta$

— Glen_b

अच्छा खोजो! यदि परिणाम बंद हैं, तो भी दावा स्पष्ट रूप से कहीं न कहीं देखने के लिए अच्छा है।

— बेन ओगोरक

मैंने अपने उत्तर में जो पेपर जोड़ा है, वह एक एमएससी थीसिस से उत्पन्न हुआ है, जो यहां इसकी संपूर्णता में उपलब्ध है: संबंधित विवरण के लिए digi.library.tu.ac.th/thesis/st/0415 देखें। एक पूर्ण प्रोफेसर सहित छह लोगों ने इस परिणाम पर हस्ताक्षर किए।

— हाइबरनेटिंग

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हॉसिंग और वालिस (1987) द्वारा "सामान्यीकृत पर्टो डिस्ट्रीब्यूशन के लिए पैरामीटर और क्वांटाइल एस्टीमेशन" में चलाए गए सिमुलेशन के अनुसार, दो पैरामीटर सामान्यीकृत पारेटो वितरण के मापदंडों को सीएफडी द्वारा दिया गया है।

$G(y)= \begin{cases} 1-\left(1+ \frac{\xi y}{\beta} \right)^{-\frac{1}{\xi}} & \xi \neq 0 \\ 1-\exp\left(-\frac{y}{\beta}\right) & \xi=0 \end{cases}$

या घनत्व

$g(y)= \begin{cases} \frac{1}{\beta} \left( 1+\frac{\xi y}{\beta} \right)^{-1-\frac{1}{\xi}} & \xi \neq 0 \\ \frac{1}{\beta} \exp\left(-\frac{y}{\beta} \right) & \xi=0 \end{cases}$

और अधिक विश्वसनीय हैं अगर वे एमओएम के माध्यम से अनुमान लगाए जाते हैं जैसा कि एमएल के विपरीत है। यह 500 के आकार तक के नमूनों के लिए है। एमओएम अनुमान द्वारा दिए गए हैं

$\widehat\beta = \frac{\overline y \overline{y^2}}{2(\overline{y^2} - (\overline y)^2)}$

तथा

$\widehat\xi = \frac{1}{2} - \frac{(\overline y)^2}{2(\overline{y^2} - (\overline y)^2)}$

साथ में

$\overline{y^2} = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n y_i^2$

कागज में काफी कुछ टाइपो (कम से कम मेरा संस्करण होता है) होता है। ऊपर दिए गए MOM आकलनकर्ताओं के लिए परिणाम कृपया "थ्रूपअप" इस धागे में प्रदान किए गए थे ।

— Joz
स्रोत

इसके लिए धन्यवाद। यह सबसे सरल उदाहरणों में से एक है जो मैं अब तक चाह रहा था।

— ग्लेन_ बी

13

मुझे एक मिला:

असममित घातीय विद्युत वितरण के लिए

f (x) = \frac{α}{σ Γ (\frac{1}{α})} \frac{κ}{1 + κ^{2}} \exp (- \frac{κ^{α}}{σ^{α}} [(x - θ)^{+}]^{α} - \frac{1}{κ^{α} σ^{α}} [(x - θ)^{-}]^{α}), α, σ, κ > 0, and x, θ \in R

$f(x) = \frac{\alpha}{\sigma\Gamma(\frac{1}{\alpha})} \frac{\kappa}{1+\kappa^2}\exp\left(-\frac{\kappa^\alpha}{\sigma^\alpha}[(x-\theta)^+]^\alpha -\frac{1}{\kappa^\alpha \sigma^\alpha}[(x-\theta)^-]^\alpha\right)\,,\quad \alpha,\sigma,\kappa>0, \text{ and } x,\theta\in \mathbb R$

डेलिकैडो और गोरिया (2008) के सिमुलेशन परिणाम बताते हैं कि छोटे नमूने के आकार में कुछ मापदंडों के लिए, क्षणों की विधि MLE को बेहतर बना सकती है; उदाहरण के लिए ज्ञात- ata मामले में नमूना आकार 10 पर, जब अनुमान लगाया जाता है, तो MoM का MSE एमएल से छोटा होता है। $\theta$ $\sigma$

डेलिकैडो और गोरिया (2008),
एसिमेट्रिक एक्सपोनेंशियल पावर डिस्ट्रीब्यूशन,
जर्नल कम्प्यूटेशनल स्टैटिस्टिक्स एंड डेटा एनालिसिस
वॉल्यूम 52 इश्यू 3, जनवरी, पीपी 16-16-1673 के लिए अधिकतम संभावना, क्षणों और एल-क्षण विधियों की एक छोटी नमूना तुलना।

(यह भी देखें http://www-eio.upc.es/~delicado/my-public-files/LmomAEP.pdf )

— Glen_b
स्रोत

13

क्षणों की विधि (MM) अधिकतम संभावना (एमएल) दृष्टिकोण को हरा सकती है जब केवल कुछ जनसंख्या क्षणों को निर्दिष्ट करना संभव हो। यदि वितरण गैर-परिभाषित है, तो एमएल अनुमानक सुसंगत नहीं होंगे।

परिमित क्षणों और आईआईडी टिप्पणियों को मानते हुए, एमएम अच्छे एसिम्प्टोटिक गुणों के साथ अच्छे अनुमानक प्रदान कर सकता है।

उदाहरण: चलो के आईआईडी नमूना हो , जहां एक अज्ञात प्रायिकता घनत्व समारोह है। परिभाषित करें वें पल और विचार है कि ब्याज आगे पल अनुमान लगाने के लिए है । $X_1, \ldots, X_n$ $X \sim f$ $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}_+$ $\nu_k = \int_{\mathbb{R}} x^k f(x)dx$ $k$ $\nu_4$

Let , फिर मानकर कि , केंद्रीय सीमा प्रमेय गारंटी देता है कि जहां " " का अर्थ है "वितरण में अभिसरण" । इसके अलावा, स्लटस्की के प्रमेय द्वारा, $\bar{X_k} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i^k$ $\nu_8 < \infty$

\sqrt{n} (\bar{X_{4}} - ν_{4}) \overset{d}{\to} N (0, ν_{8} - ν_{4}^{2}),

$\sqrt{n}(\bar{X_4} - \nu_4) \stackrel{d}{\to} N(0, \nu_8 - \nu_4^2),$

\overset{d}{\to}

$\stackrel{d}{\to}$

\frac{\sqrt{n} (\bar{X_{4}} - ν_{4})}{\sqrt{\bar{X_{8}} - {\bar{X_{4}}}^{2}}} \overset{d}{\to} N (0, 1)

$\frac{\sqrt{n}(\bar{X_4} - \nu_4)}{\sqrt{\bar{X_8} - \bar{X_4}^2}} \stackrel{d}{\to} N(0, 1)$ बाद से (संभावना में अभिसरण)।

\bar{X_{8}} - {\bar{X_{4}}}^{2} \overset{P}{\to} ν_{8} - ν_{4}^{2}

$\bar{X_8} - \bar{X_4}^2 \stackrel{P}{\to} \nu_8 - \nu_4^2$

यही है, हम पल दृष्टिकोण (बड़े नमूनों के लिए) का उपयोग करके लिए (लगभग) आकर्षित कर सकते हैं , हमें बस ब्याज की आबादी के क्षणों पर कुछ धारणाएं । यहां, अधिकतम संभावना अनुमानकों को के आकार को जाने बिना परिभाषित नहीं किया जा सकता है । $\nu_4$ $f$

एक सिमुलेशन अध्ययन:

पैट्रियोटा एट अल। (2009) ने एक त्रुटि-चर चर मॉडल में परिकल्पना परीक्षण की अस्वीकृति दर को सत्यापित करने के लिए कुछ सिमुलेशन अध्ययन किए। परिणाम बताते हैं कि MM दृष्टिकोण छोटे नमूनों के लिए एमएल एक की तुलना में नाममात्र स्तर के करीब अशक्त परिकल्पना के तहत त्रुटि दर पैदा करता है।

ऐतिहासिक नोट:

के। पियर्सन द्वारा 1894 में क्षणों की विधि प्रस्तावित की गई थी "विकास के गणितीय सिद्धांत में योगदान"। आरए फिशर द्वारा 1922 में "सैद्धांतिक सांख्यिकी के गणितीय नींव पर" अधिकतम संभावना की विधि प्रस्तावित की गई थी। दोनों कागजात जहां रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन के दार्शनिक लेन-देन में प्रकाशित हुए, श्रृंखला ए।

संदर्भ:

फिशर, आरए (1922)। सैद्धांतिक सांख्यिकी के गणितीय आधार पर, रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन, सीरीज ए, 222, 309-368 के दार्शनिक लेनदेन।

पैट्रियोटा, एजी, बोल्फाराइन, एच, डी कास्त्रो, एम (2009)। समीकरण त्रुटि के साथ एक heteroscedastic संरचनात्मक त्रुटियों में चर मॉडल, सांख्यिकीय पद्धति 6 (4), 408-423 ( पीडीएफ )

पियर्सन, के (1894)। रॉयल सोसाइटी ऑफ लंदन, सीरीज ए, 185, 71-110 के विकास के गणितीय सिद्धांत, दार्शनिक लेनदेन के योगदान।

— अलेक्जेंड्रे पैट्रियोटा
स्रोत

1

आपका उत्तर संभावित रूप से दिलचस्प लगता है। क्या आप इस पर थोड़ा विस्तार कर पा रहे हैं? मुझे यकीन नहीं है कि मैं काफी देख रहा हूं।

— Glen_b

@Glen_b कृपया, सत्यापित करें कि मेरा अंतिम जोड़ आपकी मदद करता है।

— अलेक्जेंड्रे पैट्रियोटा

उसके लिए धन्यवाद; मुझे विश्वास है कि मैं देख रहा हूँ कि तुम क्या कर रहे हो।

— ग्लेन_ब

ठीक है, यह एक सामान्य टिप्पणी है लेकिन मुझे लगता है कि यह आपके प्रश्न का उत्तर देती है। यदि आप डेटा व्यवहार के बारे में कुल जानकारी प्रदान करते हैं तो यह काफी स्वाभाविक है कि एमएल दृष्टिकोण एमएम दृष्टिकोण को बेहतर बनाता है। कागज में [1] हम एक त्रुटि-चर चर मॉडल में परिकल्पना परीक्षण की अस्वीकृति दर को सत्यापित करने के लिए कुछ सिमुलेशन अध्ययन करते हैं। परिणाम बताते हैं कि MM दृष्टिकोण छोटे नमूनों के लिए एमएल एक की तुलना में नाममात्र स्तर के करीब अशक्त परिकल्पना के तहत त्रुटि दर पैदा करता है। [१] ime.usp.br/~patriota/STAMET-D-08-00113-revised-v2.pdf

— अलेक्जेंड्रे पैट्रियोटा

यह क्षणों की विधि (एमओएम) का एक atypical उदाहरण है। एमओएम आमतौर पर पैरामीट्रिक अनुमान समस्याओं में तैनात किया जाता है, जहां वितरण का एक अच्छी तरह से परिभाषित पैरामीट्रिक परिवार होता है। दूसरी ओर, आप यहां एक गैर- अधिकतम अधिकतम संभावना अनुमान लगा सकते हैं। अनुभवजन्य वितरण समारोह, एफ-हैट कहते हैं, अज्ञात वितरण फ़ंक्शन का गैर-अधिकतम अधिकतम संभावना अनुमान है। एफ के 4 वें क्षण को एफ के कार्यात्मक होने पर विचार करते हुए, 4 वें क्षण का गैर-पैरामीटर MLE F- टोपी का 4 वां क्षण है। । यह नमूना 4 वें क्षण के समान है।

— vqv

5

MOM के पक्ष में अतिरिक्त स्रोत:

हाँग, एचपी, और डब्ल्यू। वाई। 2014. कनाडा में बर्फ की गहराई के रिकॉर्ड का उपयोग करते हुए अत्यधिक जमीनी बर्फ भार का विश्लेषण । प्राकृतिक खतरे 73 (2): 355-371।

एमएमएल का उपयोग अवास्तविक भविष्यवाणियां दे सकता है यदि नमूना आकार छोटा है (होकिंग एट अल। 1985; मार्टिन और स्टिंगिंगर)।

मार्टिंस, ईएस, और जेआर स्टिंगिंगर। 2000. हाइड्रोलॉजिक डेटा के लिए सामान्य रूप से अधिकतम-संभावना वाले सामान्यीकृत अति-मूल्य वाले क्वांटाइल अनुमानक । जल संसाधन अनुसंधान 36 (3): 737-744।

सार:

तीन-पैरामीटर सामान्यीकृत अति-मूल्य (GEV) वितरण में वार्षिक बाढ़, वर्षा, हवा की गति, लहर की ऊंचाई, बर्फ की गहराई और अन्य मैक्सिमा का वर्णन करने के लिए व्यापक आवेदन मिला है। पिछले अध्ययनों से पता चलता है कि मापदंडों का लघु-नमूना अधिकतम-संभावित अनुमानक (MLE) अस्थिर हैं और L क्षण अनुमानकों की अनुशंसा करते हैं। अधिक हाल के शोध से पता चलता है कि मात्रात्मक अनुमान लगाने वाले क्षणों की विधि κ0.25 <smaller <0.30 एल क्षणों और MLEs की तुलना में छोटे रूट-माध्य-वर्ग त्रुटि है। छोटे नमूनों में MLE के व्यवहार की जांच दर्शाती है कि GEV- आकार पैरामीटर of के बेतुके मूल्यों को उत्पन्न किया जा सकता है। एक सामान्य अधिकतम संभावना (GML) विश्लेषण में सांख्यिकीय / शारीरिक रूप से उचित सीमा के लिए a मूल्यों को प्रतिबंधित करने के लिए एक बायेसियन पूर्व वितरण का उपयोग इस समस्या को समाप्त करता है।

परिचय और साहित्य समीक्षा अनुभागों में, वे अतिरिक्त पत्रों का हवाला देते हैं, जो यह निष्कर्ष निकालता है कि कुछ मामलों में MOM ने MLE (फिर चरम मूल्य मॉडलिंग) को बेहतर बनाया है, जैसे

होसकिंग एट अल। [१ ९ [५]] दिखाते हैं कि छोटे-नमूने वाले MLE पैरामीटर अनुमानक बहुत अस्थिर होते हैं और प्रायिकता-भारित क्षण (PWM) के अनुमानकों की अनुशंसा करते हैं जो L क्षण आकलनकर्ताओं [होकिंग, १ ९९ ०] के बराबर होते हैं। [...]

होसकिंग एट अल। [१ ९ [५ ए] ने दिखाया कि GEV वितरण के लिए संभाव्यता-भारित क्षण (PM) या समतुल्य L क्षण (LM) अनुमानक अधिकतम १-संभावना अनुमानक (MLE) की तुलना में बेहतर हैं। नमूना आकार के लिए पक्षपात और विचरण १५ से भिन्न होते हैं। हाल ही में, मैडसेन एट अल। [१ ९९ [] ने दिखाया कि क्षणों (एमओएम) की मात्रात्मक अनुमानकों में ०-२५ के लिए छोटे आरएमएसई (रूट-मीन-स्क्वेर रोर) होते हैं, १०-५० के नमूने के आकार के लिए १०० साल की घटना का आकलन करते समय एलएम और एमएलई की तुलना में ०.३० <केएल ०.३०। । MLE केवल तभी बेहतर होते हैं जब K> 0.3 और नमूना आकार मामूली हो (n> = 50)।

K (kappa) GEV का आकार पैरामीटर है।

कागजात जो उद्धरण में दिखाई देते हैं:

होकिंग जे, वालिस जे, वुड ई (1985) संभावना-भारित क्षणों की विधि द्वारा सामान्यीकृत अति-मूल्य वितरण का अनुमान । टेक्नोमेट्रिक्स 27: 251-261।

मैडसेन, एच।, पीएफ रासमुसेन और डी। रोसबर्ज (1997) चरम जल विज्ञान संबंधी घटनाओं , 1, एट-साइट मॉडलिंग, वाटर रिसौर मॉडलिंग के लिए वार्षिक अधिकतम श्रृंखला और आंशिक अवधि श्रृंखला विधियों की तुलना । रेस।, 33 (4), 747-758।

होकिंग, जेआरएम, एल-मोमेंट्स: ऑर्डर आंकड़ों , जेआर स्टेट के रैखिक संयोजनों का उपयोग करके वितरण का विश्लेषण और अनुमान । समाज।, सेर। बी, 52, 105-124, 1990।

इसके अतिरिक्त, मेरे पास उपरोक्त कागजात में अनुभव के रूप में एक ही अनुभव है, छोटे और मध्यम नमूना आकार के साथ चरम घटनाओं के मॉडलिंग के मामले में (<50-100 जो विशिष्ट है) एमएलई अवास्तविक परिणाम दे सकता है, सिमुलेशन से पता चलता है कि एमओएम अधिक मजबूत है और है छोटा RMSE।

— Arpi
स्रोत

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इसका उत्तर देने की प्रक्रिया में: एक द्विपद के लिए मापदंडों का अनुमान लगाना मैं इस कागज पर ठोकर खा गया:

इनग्राम ओल्किन, ए जॉन पेटाकु, जेम्स वी ज़िडक: बिनोमियल डिस्ट्रिब्यूशन के लिए एन अनुमानकों की तुलना। जासा 1981।

जो एक उदाहरण देता है जहां क्षणों की विधि, कम से कम कुछ मामलों में, अधिकतम संभावना को धड़कता है। समस्या द्विपद वितरण में का अनुमान है जहां दोनों पैरामीटर अज्ञात हैं। यह उदाहरण के लिए प्रकट होता है कि जब आप सभी जानवरों को नहीं देख सकते हैं, तो पशु बहुतायत का अनुमान लगाने की कोशिश करते हैं, और देखने की संभावना भी अज्ञात है। $N$ $\text{Bin}(N,p)$ $p$

— kjetil b halvorsen
स्रोत

इस उदाहरण के बारे में एक बात बहुत अच्छी है कि यह स्थिति को व्यक्त करने के लिए बहुत सरल है - बहुत से लोग द्विपद (कम से कम अवधारणा में, यदि हमेशा नाम के साथ नहीं) से परिचित हैं।

— Glen_b