टी-वितरित यादृच्छिक चर के वर्गों के योग का वितरण

Question

मैं टेल एक्सपोनेंट साथ टी-वितरित यादृच्छिक चर के वर्गों के वितरण को देख रहा हूं । जहाँ X rv है, Fourier लिए रूपांतरित होता है , मुझे कनवल्शनफ़िल्टिंग से पहले वर्ग के लिए एक समाधान देता है । $\alpha$$X^2$$\mathscr{F}(t)$$\mathscr{F}(t)^n$

$$\mathscr{F}(t)=\int_0^{\infty } \exp \left(i\, t\, x^2\right)\left(\frac{\left(\frac{\alpha }{\alpha +x^2}\right)^{\frac{\alpha +1}{2}} }{\sqrt{\alpha }\ B\left(\frac{\alpha }{2},\frac{1}{2}\right)}\right) \, \mathrm{d}x$$

साथ , समाधान के लिए फूरियर उलटा एक ऐसा करने के लिए उलटा करने के लिए संभव है, लेकिन बोझल और असंभव है । तो सवाल यह है: टी-वितरित यादृच्छिक चर के नमूना विचलन या मानक विचलन के वितरण पर काम किया गया है? (यह स्टूडेंट के लिए होगा कि ची-स्क्वायर गॉसियन के लिए क्या है)। धन्यवाद।$\alpha=3$$\mathscr{F}(t)^n$

(संभव समाधान) मुझे लगा कि फिशर वितरित है, इसलिए फिशर वितरित चर के योग को देखेंगे।$X^2$$F(1,\alpha)$

(संभव समाधान) विशेषता से सम्‍मिलित के औसत में वितरण के पहले दो क्षण होते हैं जब ये मौजूद होते हैं। इसलिए यू के साथ वर्गमूल और एक संभावना वितरण के अंदर परिवर्तनशील परिवर्तन करते हुए, n-नमूना T चर के मानक विचलन का घनत्व: साथ अनुमानित किया जा सकता है $n-$$X^2$$F(n,\alpha)$

$$g(u)=\frac{2 \alpha ^{\alpha /2} n^{n/2} u^{n-1} \left(\alpha +n u^2\right)^{-\frac{\alpha }{2}-\frac{n}{2}}}{B\left(\frac{n}{2},\frac{\alpha }{2}\right)}$$

Comments

$T^2$ है -distributed। स्वतंत्र की राशि का मतलब और भिन्नता आसानी से व्युत्पन्न चर है, लेकिन वितरण बंद रूप में उपलब्ध नहीं है। देखें इस सवाल का कुछ विवरण के लिए। आप लिंक किए गए पेपर को उपयोगी पा सकते हैं। एफ के लिए विकिपीडिया पृष्ठ पर भी विशेषता फ़ंक्शन दिया गया है। [टी-वितरित चर का नमूना प्रसरण एक अलग सवाल है।]$F$$F(1,\alpha)$

— Glen_b -Reinstate Monica

Answer 1

आपके प्रश्न का स्पष्टीकरण (मुझे दो संबंधित, लेकिन अलग-अलग, कुछ भाग प्रतीत होते हैं): आप स्वतंत्र वर्ग यादृच्छिक चर, और (2) नमूने की राशि के (1) वितरण की तलाश कर रहे हैं वितरण से खींचे गए एक यादृच्छिक नमूने के विचरण (या संबंधित मानक विचलन) का वितरण (संभवतः आपके कारण के बारे में (1)) पूछने के लिए।$n$ $t_{\alpha }$$t_{\alpha }$

स्वतंत्र वर्ग के योग का वितरण चर$t_{\alpha }$

यदि हैं (स्वतंत्र) df के साथ यादृच्छिक चर , तो यह गलत है कि (कौन सा ऐसा लगता है कि आप अपने दूसरे "संभावित समाधान" में दावा कर रहे हैं)। प्रत्येक के पहले क्षण (बाद का पहला क्षण के पहले का समय है ) पर विचार करके इसे आसानी से सत्यापित किया जाता है । $T_i\sim t_{\alpha }$$t$$\alpha$$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim F(n,\alpha )$$n$

आपके पहले "संभावित समाधान" में दावा सही है: । विशेषता कार्यों का सहारा लेने के बजाय, मुझे लगता है कि यह परिणाम वितरण के लक्षण वर्णन पर विचार करते समय अधिक पारदर्शी होता है, क्योंकि अनुपात का वितरण जहां एक मानक सामान्य चर है और स्वतंत्रता के लिए एक -वर्ग चर है , जो स्वतंत्र है । इस अनुपात का वर्ग तब दो स्वतंत्र ची-वर्गीय चर का अनुपात होता है, जो उनकी स्वतंत्रता की संबंधित डिग्री यानी साथ के अनुपात में होता है।$T_i^2\sim F(1,\alpha)$$t$$\frac{Z}{\sqrt{U/\alpha}}$$Z$$U$$\alpha$$Z$$\frac{V/1}{U/\alpha}$$V=Z^2$, जो एक वितरण का एक मानक लक्षण वर्णन है बराबर अंश डीएफ और बराबर भाजक डीएफ )।$F(1,\alpha)$$\alpha$

ऊपर दिए गए पहले पैराग्राफ में मैंने पहले क्षणों पर किए गए नोट पर विचार करते हुए, ऐसा लग सकता है कि एक बेहतर दावा हो सकता है कि [मेरे पास है वितरण के लिए समान अभिव्यक्ति के साथ-साथ उस वितरण वाले एक यादृच्छिक चर का उपयोग करके यहां थोड़ी गाली दी गई है।]] जब भी पहले क्षणों का मिलान होता है, दूसरे केंद्रीय क्षणों (for पहली अभिव्यक्ति का विचरण बाद की अभिव्यक्ति के विचरण से कम नहीं होता है) - इसलिए यह दावा भी झूठा है। [ऐसा कहा जा रहा है, यह दिलचस्प है कि उस का निरीक्षण करना दिलचस्प है , जिसका परिणाम यह है कि जब हम उम्मीद करते हैं कि समिट स्क्वायर्ड (मानक) सामान्य संस्करण।]$\sum _{i=1}^n T_i^2\sim n F(n,\alpha )$$\alpha>4$$\lim_{\alpha \to \infty } \, n F(n,\alpha)= \chi _n^2$

एक वितरण से नमूना लेने पर विचरण का नमूना वितरण$t_{\alpha }$

ऊपर मैंने जो लिखा है, उसे देखते हुए, "एन-सैंपल टी चर के मानक विचलन के घनत्व" के लिए आपके द्वारा प्राप्त की गई अभिव्यक्ति गलत है। हालांकि, भले ही सही वितरण थे, मानक विचलन केवल वर्गों के योग का वर्गमूल नहीं है (जैसा कि आपको लगता है कि आपके घनत्व पर आने के लिए उपयोग किया गया है )। आप इसके बजाय (स्केल)) नमूना वितरण । सामान्य स्थिति में, इस अभिव्यक्ति के LHS को चुकता सामान्य चर के योग के रूप में फिर से लिखा जा सकता है (वर्ग के अंदर शब्द को सामान्य चर के एक रैखिक संयोजन के रूप में फिर से लिखा जा सकता है जो फिर से वितरित किया जाता है) जो आगे बढ़ता है परिचित$F(n,\alpha)$$g(u)$$\sum _{i=1}^n \left(T_i-\bar{T}\right){}^2=\sum _{i=1}^n T_i^2-n \bar{T}^2$$\chi^2$ वितरण। दुर्भाग्य से, चर का एक रैखिक संयोजन (स्वतंत्रता की समान डिग्री के साथ भी) रूप में वितरित नहीं किया जाता , इसलिए एक समान दृष्टिकोण का फायदा नहीं उठाया जा सकता है।$t$$t$

शायद आपको फिर से विचार करना चाहिए कि आप क्या प्रदर्शित करना चाहते हैं? उदाहरण के लिए, कुछ सिमुलेशन का उपयोग करके उद्देश्य को प्राप्त करना संभव हो सकता है। हालाँकि, आप एक उदाहरण को साथ इंगित करते हैं , एक ऐसी स्थिति जहाँ केवल का पहला क्षण परिमित होता है, इसलिए ऐसे क्षणों की गणना से अनुकार मदद नहीं करेगा। $\alpha=3$$F(1,\alpha)$

Comments

धन्यवाद मार्क; वास्तव में सजा टूट जाती है, हालांकि पहले दो क्षण संरक्षित रहते हैं। ची-स्क्वायर की कोशिश करेंगे और वापस लौटेंगे।

— नीरो

मैंने अपना प्रश्न फिर से व्यक्त किया। या मुझे पृष्ठ पर कहीं और संशोधन पोस्ट करने चाहिए?

— नीरो

नीरो - आपके प्रश्न में परिवर्तन प्रश्न में दिखाई देना चाहिए। आप हमेशा संकेत दे सकते हैं कि प्रश्न में प्रश्न कैसे बदल गया अगर वह मदद करता है (हालांकि ध्यान रखें कि यदि आवश्यक हो तो प्रश्न और उत्तर का संपूर्ण संपादन-इतिहास उपलब्ध है)।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 2

आप हॉटेलिंग के टी-वितरण ( http://en.wikipedia.org/wiki/Hotelling -_T-squared_distribution) की जांच कर सकते हैं । वहाँ के साथ संबंधों का है एक जा रहा है -distribution ( http://en.wikipedia.org/wiki/F-distribution#Related_distributions_and_properties ), लेकिन मुझे यकीन नहीं है तो यह आपके लिए वास्तव में क्या पूछ रहे हैं है। $T^2$$F$