रैंड का वितरण () ^ रैंड () * रैंड () से अलग 2 क्यों है?

Question

लिबरे ऑफिस कैल्क में, rand()फ़ंक्शन उपलब्ध है, जो एक समान वितरण से 0 और 1 के बीच एक यादृच्छिक मूल्य चुनता है। मैं अपनी संभावना पर थोड़ा कठोर हूं, इसलिए जब मैंने निम्नलिखित व्यवहार को देखा, तो मुझे आश्चर्य हुआ:

A = 200x1 का कॉलम rand()^2

B = 200x1 का कॉलम rand()*rand()

mean(A) = 1/3

mean(B) = 1/4

क्यों ? mean(A)= है1/4

Comments

क्योंकि एक यादृच्छिक चर के वर्ग की अपेक्षा इसकी अपेक्षा के वर्ग के बराबर नहीं होती है।

— माइकल एम

यदि rand()अन्य समान ऑपरेटरों की तरह काम करता है, तो ए एक ही यादृच्छिक संख्या है और बी दो यादृच्छिक संख्या है, गुणा किया जाता है।

— पीटर Flom - को पुनः स्थापित मोनिका

मै समझता हुँ। बहुत मददगार होगा, हालांकि अगर मैं गणित को देख सकता हूं, या ऐसा करने वाले संसाधन से जुड़ा हुआ हूं।

— जेफटॉपिया

स्थिति को सरल बनाने से आपको बिंदु को देखने में मदद मिल सकती है। माना जाता है कि Rand()इसके द्वारा प्रतिस्थापित किया गया था Int(2*Rand()): यह समान संभावनाओं वाले मान और 1 को लेता है। इसके वर्ग के लिए दो संभावनाएं हैं और दो (स्वतंत्र) मूल्यों के उत्पाद के लिए चार संभावनाएं हैं: क्या होता है जब आप उनकी उम्मीदों पर काम करते हैं? $0$$1$

— व्हिबर

Answer 1

आयतों के बारे में सोचना मददगार हो सकता है। कल्पना कीजिए कि आपके पास मुफ्त में जमीन पाने का मौका है। भूमि के आकार का निर्धारण (a) यादृच्छिक चर के एक बोध या (b) एक ही यादृच्छिक चर के दो बोध से होगा। पहले मामले में (ए), क्षेत्र एक वर्ग होगा, जिसकी लंबाई लंबाई नमूना मूल्य के बराबर होगी। दूसरे मामले में (बी), दो नमूना मूल्य आयत की चौड़ाई और लंबाई का प्रतिनिधित्व करेंगे। आप कौन सा विकल्प चुनते हैं?

चलो एक सकारात्मक यादृच्छिक चर का एक अहसास हो।$\mathbf{U}$

a) एक बोध का अपेक्षित मान उस वर्ग का क्षेत्रफल निर्धारित करता है जो U 2 के बराबर है । औसतन, क्षेत्र का आकार E [ U 2$\mathbf{U}$$\mathbf{U}^2$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$$

ख) यदि दो स्वतंत्र प्रतीति हैं और यू 2 , क्षेत्र हो जाएगा यू 1 ⋅ यू 2 । औसत पर, आकार के बराबर होती है ई [ यू 1 ⋅ यू 2 ] = ई 2 [ यू$\mathbf{U}_1$$\mathbf{U}_2$$\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}_1 \cdot \mathbf{U}_2] = \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$ के बाद से दोनों प्रतीति ही वितरण और स्वतंत्र से हैं।

जब हम क्षेत्रों के आकार ए और बी) के बीच अंतर की गणना करते हैं, तो हम प्राप्त करते हैं

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$$

ऊपर अवधि के समान है जो स्वाभाविक अधिक है या इसके बराबर$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}]$$0$ ।

यह सामान्य मामले के लिए है।

अपने उदाहरण में, आपने वर्दी वितरण से नमूना लिया । इसलिये,$\mathcal{U}(0,1)$

ई2[यू]=

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{2}$$ वीएआर[यू]= $$\mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}] = \frac{1}{4}$$ $$\mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] = \frac{1}{12}$$

$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \mathop{\mathbb{Var}}[\mathbf{U}] + \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$

$$\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] = \frac{1}{12} + \frac{1}{4} = \frac{1}{3}$$

इन मूल्यों को विश्लेषणात्मक रूप से प्राप्त किया गया था, लेकिन वे उन लोगों से मेल खाते हैं जो आपने यादृच्छिक संख्या जनरेटर के साथ प्राप्त किए थे।

Comments

एक मनमानी के लिए $a$ तथा $b$, मुझे मिला $\frac{a^{2}+ab+b^{2}}{3}$

— जॉन

यह विचरण का एक चतुर उपयोग है। और यहाँ मैं सीधे गणित को धमाका करने वाला था।

— 21

मुझे यह अर्थपूर्ण लग रहा है। यह सब विचरण गैर-नकारात्मक होने पर टिका है। मैं भी उत्सुक हूं कि जॉन को उसका जवाब कैसे मिला।

— जेफटॉपिया

मूल रूप से सिर्फ स्वेन ने जो किया था, लेकिन उन्हें सामान्य सामान्य वितरण के लिए सूत्रों के साथ बदल दिया।

— जॉन

नहीं करना चाहिए $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2]$ पढ़ना $\mathop{\mathbb{E}}[\mathbf{U}^2] - \mathop{\mathbb{E}^2}[\mathbf{U}]$?

— बोपप्रेह

Answer 2

यह सुझाव देने के लिए नहीं कि स्वेन के उत्कृष्ट उत्तर में कोई कमी है, लेकिन मैं इस सवाल पर एक अपेक्षाकृत प्रारंभिक प्रस्तुत करना चाहता था।

संयुक्त वितरण बहुत अलग है यह देखने के लिए प्रत्येक उत्पाद के दो घटकों की साजिश रचने पर विचार करें।

ध्यान दें कि दोनों घटक बड़े होने पर उत्पाद केवल बड़ा (1 के पास) हो जाता है, जो तब और अधिक आसानी से होता है जब दोनों घटक स्वतंत्र होने के बजाय पूरी तरह से सहसंबद्ध होते हैं।

इसलिए, उदाहरण के लिए, संभावना है कि उत्पाद से अधिक है $1-\epsilon$ (छोटे के लिए $\epsilon$) के बारे में है $\epsilon/2$ के लिए $U^2$ ('ए') संस्करण, लेकिन के लिए $U_1\times U_2$ ('बी') संस्करण इसके बारे में है $\epsilon^2/2$।

काफी फर्क!

यह ऊपर के लोगों की तरह ग्राफ पर आइसो-उत्पाद आकृति को आकर्षित करने में मदद कर सकता है - अर्थात, वक्र जहां xy = 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, 0.9 जैसे मूल्यों के लिए स्थिर है। जैसा कि आप बड़े और बड़े मूल्यों पर जाते हैं, ऊपर के बिंदुओं और समोच्च के दाईं ओर का अनुपात स्वतंत्र मामले के लिए अधिक तेज़ी से नीचे जाता है।