दो अविभाज्य गाऊसी के बीच केएल विचलन

मुझे दो गाऊसी लोगों के बीच केएल-विचलन का निर्धारण करने की आवश्यकता है। मैं अपने परिणामों की तुलना इनसे कर रहा हूं, लेकिन मैं उनके परिणाम को पुन: पेश नहीं कर सकता। मेरा परिणाम स्पष्ट रूप से गलत है, क्योंकि KL, KL (p, p) के लिए 0 नहीं है।

मुझे आश्चर्य है कि मैं कहां गलती कर रहा हूं और पूछ रहा हूं कि क्या कोई इसे हाजिर कर सकता है।

चलो और । बिशप के PRML से मुझे पता है $p(x) = N(\mu_1, \sigma_1)$ $q(x) = N(\mu_2, \sigma_2)$

K L (p, q) = - \int p (x) \log q (x) d x + \int p (x) \log p (x) d x

$KL(p, q) = - \int p(x) \log q(x) dx + \int p(x) \log p(x) dx$

जहां एकीकरण सभी वास्तविक रेखाओं पर किया जाता है, और यह कि

\int p (x) \log p (x) d x = - \frac{1}{2} (1 + \log 2 π σ_{1}^{2}),

$\int p(x) \log p(x) dx = -\frac{1}{2} (1 + \log 2 \pi \sigma_1^2),$

इसलिए मैं अपने आप को तक सीमित हूं, जिसे मैं बाहर लिख सकता हूं $\int p(x) \log q(x) dx$

- \int p (x) \log \frac{1}{(2 π σ_{2}^{2})^{(1 / 2)}} e^{- \frac{(x - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}}} d x,

$-\int p(x) \log \frac{1}{(2 \pi \sigma_2^2)^{(1/2)}} e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}} dx,$

जिसे अलग किया जा सकता है

\frac{1}{2} \log (2 π σ_{2}^{2}) - \int p (x) \log e^{- \frac{(x - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}}} d x .

$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) - \int p(x) \log e^{-\frac{(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}} dx.$

मुझे जो भी मिला ले रहा हूं

\frac{1}{2} \log (2 π σ_{2}^{2}) - \int p (x) (- \frac{(x - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}}) d x,

$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) - \int p(x) \bigg(-\frac{(x-\mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} \bigg) dx,$

जहाँ मैं रकम अलग करता हूँ और प्राप्त करता हूँ। $\sigma_2^2$

\frac{1}{2} \log (2 π σ_{2}^{2}) + \frac{\int p (x) x^{2} d x - \int p (x) 2 x μ_{2} d x + \int p (x) μ_{2}^{2} d x}{2 σ_{2}^{2}}

$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma^2_2) + \frac{\int p(x) x^2 dx - \int p(x) 2x\mu_2 dx + \int p(x) \mu_2^2 dx}{2 \sigma_2^2}$

Let को तहत उम्मीद संचालक को सूचित करते हैं , मैं इसे फिर से लिख सकता हूं $\langle \rangle$ $p$

\frac{1}{2} \log (2 π σ_{2}^{2}) + \frac{⟨ x^{2} ⟩ - 2 ⟨ x ⟩ μ_{2} + μ_{2}^{2}}{2 σ_{2}^{2}} .

$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) + \frac{\langle x^2 \rangle - 2 \langle x \rangle \mu_2 + \mu_2^2}{2 \sigma_2^2}.$

हम जानते हैं कि । इस प्रकार $var(x) = \langle x^2 \rangle - \langle x \rangle ^2$

⟨ x^{2} ⟩ = σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2}

$\langle x^2 \rangle = \sigma_1^2 + \mu_1^2$

और इसीलिए

\frac{1}{2} \log (2 π σ^{2}) + \frac{σ_{1}^{2} + μ_{1}^{2} - 2 μ_{1} μ_{2} + μ_{2}^{2}}{2 σ_{2}^{2}},

$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma^2) + \frac{\sigma_1^2 + \mu_1^2 - 2 \mu_1 \mu_2 + \mu_2^2}{2 \sigma_2^2},$

जो मैं के रूप में डाल सकते हैं

\frac{1}{2} \log (2 π σ_{2}^{2}) + \frac{σ_{1}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}} .

$\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}.$

सब कुछ एक साथ रखकर, मुझे मिलता है

\begin{aligned} K L (p, q) & = - \int p (x) \log q (x) d x + \int p (x) \log p (x) d x \\ = \frac{1}{2} \log (2 π σ_{2}^{2}) + \frac{σ_{1}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}} - \frac{1}{2} (1 + \log 2 π σ_{1}^{2}) \\ = \log \frac{σ_{2}}{σ_{1}} + \frac{σ_{1}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}} . \end{aligned}

$\begin{align*} KL(p, q) &= - \int p(x) \log q(x) dx + \int p(x) \log p(x) dx\\\\ &= \frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \frac{1}{2} (1 + \log 2 \pi \sigma_1^2)\\\\ &= \log \frac{\sigma_2}{\sigma_1} + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2}. \end{align*}$ जो गलत है क्योंकि यह दो समान गौसियों के लिए के बराबर है ।

1

$1$

किसी को भी मेरी त्रुटि हाजिर कर सकते हैं?

अपडेट करें

चीजों को साफ़ करने के लिए mpiktas का धन्यवाद। सही जवाब है:

$KL(p, q) = \log \frac{\sigma_2}{\sigma_1} + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \frac{1}{2}$

normal-distribution kullback-leibler

— bayerj
स्रोत

पहली बार में गलत उत्तर पोस्ट करने के लिए क्षमा करें। मैंने सिर्फ देखा और तुरंत सोचा कि इंटीग्रल ज़ीरो है। बिंदु यह है कि यह पूरी तरह से मेरे दिमाग से चूक गया था :)

x - μ_{1}

$x-\mu_1$

— mpiktas

बहु चर मामले के बारे में क्या?

मैंने अभी एक शोध पत्र में देखा है कि kld $ KL (p, q) = seen * ((μ₂-μ²) ₂ + σ₁² + σ₂²) * (((1 / σ₁²) + (1 / σ₂²) - 2 होना चाहिए।

— आकाश

मुझे लगता है कि आपके प्रश्न में एक टाइपो है, क्योंकि मैं इसे मान्य नहीं कर सकता और यह भी लगता है कि आपने अपने प्रश्न में बाद में सही संस्करण का उपयोग किया: मुझे लगता है कि यह होना चाहिए (माइनस पर ध्यान दें): मैंने आपके प्रश्न को संपादित करने की कोशिश की और इसके लिए प्रतिबंध लगा दिया, इसलिए शायद यह स्वयं करें।

\int p (x) \log p (x) d x = \frac{1}{2} (1 + \log 2 π σ_{1}^{2})

$\int p(x) \log p(x) dx = \frac{1}{2} (1 + \log 2 \pi \sigma_1^2)$

\int p (x) \log p (x) d x = - \frac{1}{2} (1 + \log 2 π σ_{1}^{2})

$\int p(x) \log p(x) dx = -\frac{1}{2} (1 + \log 2 \pi \sigma_1^2)$

— वाई-स्प्रिन

इसका उत्तर मेरे 1996 के पेपर में आंतरिक नुकसान पर भी है ।

— शीआन

जवाबों:

ठीक है, मेरा बुरा। त्रुटि अंतिम समीकरण में है:

\begin{aligned} K L (p, q) & = - \int p (x) \log q (x) d x + \int p (x) \log p (x) d x \\ = \frac{1}{2} \log (2 π σ_{2}^{2}) + \frac{σ_{1}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}} - \frac{1}{2} (1 + \log 2 π σ_{1}^{2}) \\ = \log \frac{σ_{2}}{σ_{1}} + \frac{σ_{1}^{2} + (μ_{1} - μ_{2})^{2}}{2 σ_{2}^{2}} - \frac{1}{2} \end{aligned}

$\begin{align} KL(p, q) &= - \int p(x) \log q(x) dx + \int p(x) \log p(x) dx\\\\ &=\frac{1}{2} \log (2 \pi \sigma_2^2) + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \frac{1}{2} (1 + \log 2 \pi \sigma_1^2)\\\\ &= \log \frac{\sigma_2}{\sigma_1} + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1 - \mu_2)^2}{2 \sigma_2^2} - \frac{1}{2} \end{align}$

लापता पर ध्यान दें । अंतिम पंक्ति शून्य हो जाती है जब और । $-\frac{1}{2}$ $\mu_1=\mu_2$ $\sigma_1=\sigma_2$

— mpiktas
स्रोत

@mpiktas मेरा मतलब था कि प्रश्न वास्तव में है - बेयरज एक अच्छी तरह से प्रकाशित शोधकर्ता है और मैं एक अंडरग्रेड हूं। यह देखकर अच्छा लगा कि स्मार्ट लोग भी कभी-कभी इंटरनेट पर पूछने के लिए पीछे हट जाते हैं :)

— एन। मैक।

is p या

μ_{1} σ_{1}

$\mu_1 \sigma_1$

μ_{2} σ_{2}

$\mu_2 \sigma_2$

— कोंग

@Kong p , जैसा कि प्रश्न में दिया गया है।

N (u_{1}, σ_{1})

$N(u_1, \sigma_1)$

— zplizzi

मुझे आपकी गणना पर एक नज़र नहीं थी, लेकिन यहाँ मेरा बहुत विवरण है। मान लीजिए कि एक सामान्य रैंडम वैरिएबल का घनत्व है, जिसका अर्थ है और विचरण , और यह कि सामान्य वैरिएबल का घनत्व है जिसका माध्य और विचरण । कुल्बैक-लीब्लर से दूरी है: $p$ $\mu_1$ $\sigma^2_1$ $q$ $\mu_2$ $\sigma^2_2$ $q$ $p$

$\int \left[\log( p(x)) - log( q(x)) \right] p(x) dx$

$=\int \left[ -\frac{1}{2} \log(2\pi) - \log(\sigma_1) - \frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 + \frac{1}{2}\log(2\pi) + \log(\sigma_2) + \frac{1}{2} \left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2 \right]$ $\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2\right] dx$

$=\int \left\{\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2 - \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 \right] \right\}$ $\times \frac{1}{\sqrt{2\pi}\sigma_1} \exp\left[-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2\right] dx$

$=E_{1} \left\{\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2} \left[ \left(\frac{x-\mu_2}{\sigma_2}\right)^2 - \left(\frac{x-\mu_1}{\sigma_1}\right)^2 \right]\right\}$

$=\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2\sigma_2^2} E_1 \left\{(X-\mu_2)^2\right\} - \frac{1}{2\sigma_1^2} E_1 \left\{(X-\mu_1)^2\right\}$

$=\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2\sigma_2^2} E_1 \left\{(X-\mu_2)^2\right\} - \frac{1}{2}$

(अब ध्यान दें कि ) $(X - \mu_2)^2 = (X-\mu_1+\mu_1-\mu_2)^2 = (X-\mu_1)^2 + 2(X-\mu_1)(\mu_1-\mu_2) + (\mu_1-\mu_2)^2$

$=\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{1}{2\sigma_2^2} \left[E_1\left\{(X-\mu_1)^2\right\} + 2(\mu_1-\mu_2)E_1\left\{X-\mu_1\right\} + (\mu_1-\mu_2)^2\right] - \frac{1}{2}$

$=\log\left(\frac{\sigma_2}{\sigma_1}\right) + \frac{\sigma_1^2 + (\mu_1-\mu_2)^2}{2\sigma_2^2} - \frac{1}{2}$

— ocram
स्रोत