गैर-घटक क्लस्टरिंग के लिए PyMC: गाऊसी मिश्रण के मापदंडों का अनुमान लगाने के लिए Dirichlet प्रक्रिया क्लस्टर में विफल रहती है

Question

समस्या सेटअप

पहले खिलौने की समस्याओं में से एक मैं PyMC को लागू करना चाहता था गैर-घटक क्लस्टरिंग है: कुछ डेटा दिए गए, इसे गॉसियन मिश्रण के रूप में मॉडल करें, और क्लस्टर्स की संख्या और प्रत्येक क्लस्टर के माध्य और सहसंयोजक जानें। इस विधि के बारे में जो मैं जानता हूं, उनमें से अधिकांश माइकल जॉर्डन और यी व्हे तेह के वीडियो व्याख्यान से आता है, लगभग 2007 (स्पार्सिटी से पहले क्रोध हो गया), और डॉ। फोन्नेसबेक और ई। चेन के ट्यूटोरियल [fn1], को पढ़ने के कुछ दिनों के बाद। fn2]। लेकिन समस्या का अच्छी तरह से अध्ययन किया गया है और कुछ विश्वसनीय कार्यान्वयन हैं [fn3]।

इस खिलौना समस्या में, मैं एक आयामी गौसियन से दस ड्रॉ उत्पन्न करता हूं और से चालीस ड्रा । जैसा कि आप नीचे देख सकते हैं, मैंने ड्रॉ में फेरबदल नहीं किया, जिससे यह बताना आसान हो गया कि कौन से मिश्रण किस घटक से आए हैं।$\mathcal{N}(\mu=0, \sigma=1)$$\mathcal{N}(\mu=4, \sigma=2)$

मैं प्रत्येक डेटा का नमूना देता हूँ , के लिए और जहाँ इस वें डेटा बिंदु के लिए क्लस्टर इंगित करता है : । यहां उपयोग की जाने वाली छंटनी की गई प्रक्रिया की लंबाई है: मेरे लिए, ।मैं = 1 , । । । , 50 जेड मैं मैं जेड मैं ∈ [ 1 , । । । , एन डी पी ] एन डी पी एन डी पी = $y_i \sim \mathcal{N}(\mu_{z_i}, \sigma_{z_i})$$i=1,...,50$$z_i$$i$$z_i \in [1,...,N_{DP}]$$N_{DP}$$N_{DP}=50$

प्रक्रिया के बुनियादी ढांचे का विस्तार करते हुए, प्रत्येक क्लस्टर आईडी एक स्पष्ट यादृच्छिक चर से एक ड्रॉ है, जिसकी प्रायिकता बड़े पैमाने पर होती है जिसे स्टिक-ब्रेकिंग निर्माण द्वारा दिया जाता है: with a एकाग्रता पैरामीटर । स्टिक-ब्रेकिंग वेक्टर निर्माण करता है , जिसे 1 से योग करना चाहिए, पहले iid बीटा-डिस्ट्रिब्यूटेड ड्रॉ जो कि पर निर्भर करता है , प्राप्त [fn1] देखें। और चूंकि मैं डेटा करना चाहते हैं मेरी अज्ञानता को सूचित करने के , मैं [fn1] का अनुसरण करते हैं और मान लेते ।z i । $z_i$पी ~ एस टी मैं c k ( अल्फा ) अल्फा एन डी पी पी एन डी पी अल्फा अल्फा अल्फा ~ यू एन मैं च ओ आर मीटर ( 0.3 , 100 $z_i \sim Categorical(p)$$p \sim Stick(\alpha)$$\alpha$$N_{DP}$$p$$N_{DP}$$\alpha$$\alpha$$\alpha \sim Uniform(0.3, 100)$

यह निर्दिष्ट करता है कि प्रत्येक डेटा सैंपल की क्लस्टर आईडी कैसे बनाई जाती है। समूहों में से प्रत्येक में एक संबद्ध माध्य और मानक विचलन है, और । फिर, और । μ z मैं σ z मैं μ z मैं ~ एन ( μ = 0 , σ = 50 ) σ z मैं ~ यू एन मैं च ओ आर एम ( 0 , 100 $N_{DP}$$\mu_{z_i}$$\sigma_{z_i}$$\mu_{z_i} \sim \mathcal{N}(\mu=0, \sigma=50)$$\sigma_{z_i} \sim Uniform(0, 100)$

(मैं पहले [fn1] का अनथक रूप से अनुसरण कर रहा था और एक हाइपरपेयर को , जो कि, साथ ही ड्रॉ से होता है। निश्चित पैरामीटर सामान्य वितरण, और एक वर्दी से । लेकिन प्रति https://stats.stackexchange.com/a/71932/31187 , मेरा डेटा इस तरह के पदानुक्रमित हाइपरपियर का समर्थन नहीं करता है।) μ z मैं ~ एन ( μ 0 , σ 0 ) μ 0 σ $\mu_{z_i}$$\mu_{z_i} \sim \mathcal{N}(\mu_0, \sigma_0)$$\mu_0$$\sigma_0$

सारांश में, मेरा मॉडल है:

$y_i \sim \mathcal{N}(\mu_{z_i}, \sigma_{z_i})$ जहां 1 से 50 (डेटा नमूनों की संख्या चलाता है।$i$

एन डी पी - 1 = 49 पी ~ एस टी मैं c k ( α ) एन डी पी α ~ यू एन मैं च ओ आर मीटर ( 0.3 , 100 $z_i \sim Categorical(p)$ और 0 और बीच मान ले सकता है ; , एक वेक्टर; और , एक अदिश। (अब मैं पहले से ड्यूरिचलेट की छंटनी की लंबाई के बराबर डेटा नमूनों की संख्या बनाने पर थोड़ा अफसोस करता हूं, लेकिन मुझे उम्मीद है कि यह स्पष्ट है।)$N_{DP}-1=49$$p \sim Stick(\alpha)$$N_{DP}$$\alpha \sim Uniform(0.3, 100)$

σ z मैं ~ यू एन मैं च ओ आर एम ( 0 , 100 ) एन डी पी एन डी $\mu_{z_i} \sim \mathcal{N}(\mu=0, \sigma=50)$ और । इन साधनों के और मानक विचलन ( संभावित समूहों में से प्रत्येक के लिए एक ) है।)$\sigma_{z_i} \sim Uniform(0, 100)$$N_{DP}$$N_{DP}$

यहां आलेखीय मॉडल है: नाम चर नाम हैं, नीचे दिए गए कोड अनुभाग देखें।

समस्या का विवरण

कई ट्वीक और विफल फिक्स होने के बावजूद, सीखे गए पैरामीटर डेटा को उत्पन्न करने वाले सच्चे मूल्यों के समान नहीं हैं।

वर्तमान में, मैं अधिकांश रैंडम वैरिएबल्स को निश्चित मानों के साथ आरंभ कर रहा हूं। माध्य और मानक विचलन चर उनके अपेक्षित मूल्यों (यानी, सामान्य लोगों के लिए 0, वर्दी वालों के लिए उनके समर्थन के मध्य) के लिए प्रारंभ होते हैं। मैं सभी क्लस्टर आईडी को 0. प्रारंभ करता हूं और मैं एकाग्रता पैरामीटर प्रारंभ करता हूं । α = $z_i$$\alpha=5$

इस तरह की इनिशियलाइज़ेशन के साथ, 100'000 MCMC पुनरावृत्तियों को बस दूसरा क्लस्टर नहीं मिल सकता है। का पहला तत्व 1 के करीब है, और सभी डेटा नमूनों के लिए लगभग सभी ड्रा समान हैं, लगभग 3.5। मैं पहले बीस डेटा नमूनों के लिए हर 100 वाँ ड्रा यहाँ दिखाता हूँ, अर्थात, लिए :μ z मैं मैं μ z मैं मैं = 1 , । । । , $p$$\mu_{z_i}$$i$$\mu_{z_i}$$i=1,...,20$

यह याद करते हुए कि पहले दस डेटा नमूने एक मोड से थे और बाकी दूसरे से थे, उपरोक्त परिणाम स्पष्ट रूप से उस पर कब्जा करने में विफल रहता है।

यदि मैं क्लस्टर आईडी के यादृच्छिक आरंभ की अनुमति देता हूं, तो मुझे एक से अधिक क्लस्टर प्राप्त होते हैं, लेकिन क्लस्टर का अर्थ है कि सभी समान 3.5 मीटर के आसपास घूमते हैं:

इससे मुझे पता चलता है कि यह MCMC के साथ सामान्य समस्या है, कि यह जिस पर है, उससे पीछे के किसी अन्य मोड तक नहीं पहुंच सकता है: याद रखें कि ये अलग-अलग परिणाम क्लस्टर IDs के आरंभिक परिवर्तन के बाद , न कि उनके या और कुछ।$z_i$

क्या मैं मॉडलिंग की कोई गलती कर रहा हूँ? इसी तरह का प्रश्न: https://stackoverflow.com/q/19114790/500207 एक ड्यूरिचलेट वितरण का उपयोग करना चाहता है और 3-तत्व गाऊसी मिश्रण को फिट करना और कुछ इसी तरह की समस्याओं में चल रहा है। क्या मुझे एक पूरी तरह से संयुग्म मॉडल स्थापित करने और इस तरह के क्लस्टरिंग के लिए गिब्स नमूने का उपयोग करने पर विचार करना चाहिए? (मैं दिन में वापस एक निश्चित एकाग्रता का उपयोग करने के अलावा, पैरामीट्रिक डिरिचलेट वितरण मामले के लिए एक गिब्स नमूना लागू किया, और यह अच्छी तरह से काम किया है, इसलिए PyMC से कम से कम उस समस्या को हल करने में सक्षम होने की उम्मीद है।)$\alpha$

परिशिष्ट: कोड

import pymc
import numpy as np

### Data generation

# Means and standard deviations of the Gaussian mixture model. The inference
# engine doesn't know these.
means = [0, 4.0]
stdevs = [1, 2.0]

# Rather than randomizing between the mixands, just specify how many
# to draw from each. This makes it really easy to know which draws
# came from which mixands (the first N1 from the first, the rest from
# the secon). The inference engine doesn't know about N1 and N2, only Ndata
N1 = 10
N2 = 40
Ndata = N1+N2

# Seed both the data generator RNG  as well as the global seed (for PyMC)
RNGseed = 123
np.random.seed(RNGseed)

def generate_data(draws_per_mixand):
    """Draw samples from a two-element Gaussian mixture reproducibly.

    Input sequence indicates the number of draws from each mixand. Resulting
    draws are concantenated together.

    """
    RNG = np.random.RandomState(RNGseed)
    values = np.hstack([RNG.normal(means[i], stdevs[i], ndraws)
                        for (i,ndraws) in enumerate(draws_per_mixand)])
    return values

observed_data = generate_data([N1, N2])


### PyMC model setup, step 1: the Dirichlet process and stick-breaking

# Truncation level of the Dirichlet process
Ndp = 50

# "alpha", or the concentration of the stick-breaking construction. There exists
# some interplay between choice of Ndp and concentration: a high concentration
# value implies many clusters, in turn implying low values for the leading
# elements of the probability mass function built by stick-breaking. Since we
# enforce the resulting PMF to sum to one, the probability of the last cluster
# might be then be set artificially high. This may interfere with the Dirichlet
# process' clustering ability.
#
# An example: if Ndp===4, and concentration high enough, stick-breaking might
# yield p===[.1, .1, .1, .7], which isn't desireable. You want to initialize
# concentration so that the last element of the PMF is less than or not much
# more than the a few of the previous ones. So you'd want to initialize at a
# smaller concentration to get something more like, say, p===[.35, .3, .25, .1].
#
# A thought: maybe we can avoid this interdependency by, rather than setting the
# final value of the PMF vector, scale the entire PMF vector to sum to 1? FIXME,
# TODO.
concinit = 5.0
conclo = 0.3
conchi = 100.0
concentration = pymc.Uniform('concentration', lower=conclo, upper=conchi,
                             value=concinit)

# The stick-breaking construction: requires Ndp beta draws dependent on the
# concentration, before the probability mass function is actually constructed.
betas = pymc.Beta('betas', alpha=1, beta=concentration, size=Ndp)

@pymc.deterministic
def pmf(betas=betas):
    "Construct a probability mass function for the truncated Dirichlet process"
    # prod = lambda x: np.exp(np.sum(np.log(x))) # Slow but more accurate(?)
    prod = np.prod
    value = map(lambda (i,u): u * prod(1.0 - betas[:i]), enumerate(betas))
    value[-1] = 1.0 - sum(value[:-1]) # force value to sum to 1
    return value

# The cluster assignments: each data point's estimated cluster ID.
# Remove idinit to allow clusterid to be randomly initialized:
idinit = np.zeros(Ndata, dtype=np.int64)
clusterid = pymc.Categorical('clusterid', p=pmf, size=Ndata, value=idinit)

### PyMC model setup, step 2: clusters' means and stdevs

# An individual data sample is drawn from a Gaussian, whose mean and stdev is
# what we're seeking.

# Hyperprior on clusters' means
mu0_mean = 0.0
mu0_std = 50.0
mu0_prec = 1.0/mu0_std**2
mu0_init = np.zeros(Ndp)
clustermean = pymc.Normal('clustermean', mu=mu0_mean, tau=mu0_prec,
                          size=Ndp, value=mu0_init)

# The cluster's stdev
clustersig_lo = 0.0
clustersig_hi = 100.0
clustersig_init = 50*np.ones(Ndp) # Again, don't really care?
clustersig = pymc.Uniform('clustersig', lower=clustersig_lo,
                          upper=clustersig_hi, size=Ndp, value=clustersig_init)
clusterprec = clustersig ** -2

### PyMC model setup, step 3: data

# So now we have means and stdevs for each of the Ndp clusters. We also have a
# probability mass function over all clusters, and a cluster ID indicating which
# cluster a particular data sample belongs to.

@pymc.deterministic
def data_cluster_mean(clusterid=clusterid, clustermean=clustermean):
    "Converts Ndata cluster IDs and Ndp cluster means to Ndata means."
    return clustermean[clusterid]

@pymc.deterministic
def data_cluster_prec(clusterid=clusterid, clusterprec=clusterprec):
    "Converts Ndata cluster IDs and Ndp cluster precs to Ndata precs."
    return clusterprec[clusterid]

data = pymc.Normal('data', mu=data_cluster_mean, tau=data_cluster_prec,
                   observed=True, value=observed_data)

संदर्भ

1. fn1: http://nbviewer.ipython.org/urls/raw.github.com/fonnesbeck/Bios366/master/notebooks/Section5_2-Dirichlet-Processes.ipynb
2. fn2: http://blog.echen.me/2012/03/20/infinite-mixture-models-with-nonparametric-bayes-and-the-dirichlet-process/
3. fn3: http://scikit-learn.org/stable/auto_examples/mixture/plot_gmm.html#example-mixture-plot-gmm-py

Comments

घटक भिन्नताओं पर आपका पूर्ववर्ती एकरूप (0,100) है जो आपको बड़ी समस्या पैदा कर सकता है। इस पूर्व के द्रव्यमान का केवल 2% 1 और 2 के वास्तविक रूपांतरों को शामिल करता है। इस पूर्व के तहत आपके घटकों का अपेक्षित विचरण 50 है, जो कि इतना व्यापक गाऊसी है कि यह एक घटक के साथ आपके डेटा का आसानी से हिसाब कर सकता है।

— jerad

क्या आपने हैकर्स बुक के लिए प्रोबेबिलिस्टिक प्रोग्रामिंग और बेयसियन स्टेटिस्टिक्स के इस अध्याय के माध्यम से पढ़ा है ? इसका एक उदाहरण है जो आपकी मदद कर सकता है!

— टिम

यह एक उत्तर के लिए थोड़ा संक्षिप्त लगता है। यह एक टिप्पणी के अधिक प्रतीत होता है। क्या आप कम से कम यह रेखांकित कर सकते हैं कि ओपी इसे पढ़कर क्या जानकारी प्राप्त करेगा?

— Glen_b -Reinstate Monica

@TimRich हाँ मैंने इसे पढ़ा है, और स्नातक विद्यालय में कक्षा ली है, और उद्योग में काम किया सांख्यिकी लागू;) यह एक PyMC- विशिष्ट प्रश्न है।

— अहमद फ़सीह

मैं पदानुक्रम पूर्व को खारिज नहीं करूंगा। यह अच्छी तरह से जाना जाता है कि आप अपने आप को एक खराब स्थिति में डालते हैं यदि आप मिश्रण के घटकों पर फ्लैट पुजारी डालते हैं - खासकर जब आप एक साथ गुच्छों की संख्या जानने का प्रयास कर रहे हैं। यह वही है जो आपके ट्रेस भूखंडों में अजीब स्पाइक्स का कारण बन रहा है जो मुझे लगता है। NP-Bayes में बड़े नाम सभी को सेट करने के लिए प्रतीत होते हैं और या तो प्लग-इन का उपयोग या इन सूचनाओं से पहले इन घटकों पर एक जानकारीपूर्ण जानकारी रखकर। उन्हें उपयुक्त तराजू पर रखें। μ 0 , σ $\mu_{Z_i} \sim N(\mu_0, \sigma_0)$$\mu_0, \sigma_0$

— पुरुष

Answer 1

मुझे यकीन नहीं है कि कोई भी इस सवाल को देख रहा है, लेकिन मैंने मानक विचलन से पहले फ्लैट के बारे में अंतर्दृष्टि शामिल करते हुए टॉम के गिब्स नमूनाकरण परीक्षण का परीक्षण करने के लिए आपके प्रश्न को rjags में डाल दिया।

यह खिलौना समस्या मुश्किल हो सकती है क्योंकि 10 और यहां तक ​​कि 40 डेटा बिंदु बिना सूचनात्मक पूर्व के विचरण का अनुमान लगाने के लिए पर्याप्त नहीं हैं। वर्तमान पूर्व currentzi∼Uniform (0,100) जानकारीपूर्ण नहीं है। यह बता सकता है कि μzi के लगभग सभी ड्रॉ दो वितरणों के अनुमानित साधन क्यों हैं। यदि यह आपके प्रश्न को बहुत अधिक नहीं बदलता है तो मैं क्रमशः 100 और 400 डेटा बिंदुओं का उपयोग करूंगा।

मैंने सीधे अपने कोड में स्टिक ब्रेकिंग प्रक्रिया का उपयोग नहीं किया। विकिपीडिया Dirichlet प्रक्रिया के लिए पेज मुझे लगता है कि पी ~ डिर (एक / ट) ठीक हो गयी।

अंत में यह केवल अर्ध-पैरामीट्रिक कार्यान्वयन है क्योंकि यह अभी भी कई समूहों को लेता है। मैं नहीं जानता कि कैसे rjags में एक अनंत मिश्रण मॉडल बनाने के लिए।

library("rjags")

set1 <- rnorm(100, 0, 1)
set2 <- rnorm(400, 4, 1)
data <- c(set1, set2)

plot(data, type='l', col='blue', lwd=3,
     main='gaussian mixture model data',
     xlab='data sample #', ylab='data value')
points(data, col='blue')

cpd.model.str <- 'model {
  a ~ dunif(0.3, 100)
  for (i in 1:k){
    alpha[i] <- a/k
    mu[i] ~ dnorm(0.0, 0.001)
    sigma[i] ~ dunif(0, 100)
  }
  p[1:k] ~ ddirich(alpha[1:k])
  for (i in 1:n){
    z[i] ~ dcat(p)
    y[i] ~ dnorm(mu[z[i]], pow(sigma[z[i]], -2))
  }
}' 


cpd.model <- jags.model(textConnection(cpd.model.str),
                        data=list(y=data,
                                  n=length(data),
                                  k=5))
update(cpd.model, 1000)
chain <- coda.samples(model = cpd.model, n.iter = 1000,
                      variable.names = c('p', 'mu', 'sigma'))
rchain <- as.matrix(chain)
apply(rchain, 2, mean)

Comments

$K$$K$$\alpha_i = a / K$$500$$K = 25$JAGSJAGS$p$

Answer 2

गरीब मिश्रण जो आप देख रहे हैं, वह सबसे अधिक संभावना है कि जिस तरह से PyMC नमूने खींचता है। जैसा कि PyMC दस्तावेज़ीकरण के खंड 5.8.1 में बताया गया है , एक सरणी चर के सभी तत्व एक साथ अपडेट किए जाते हैं। आपके मामले में, इसका मतलब है कि यह clustermeanएक चरण में संपूर्ण सरणी को अपडेट करने की कोशिश करेगा , और इसी तरह के लिए clusterid। PyMC गिब्स नमूना नहीं करता है; यह मेट्रोपोलिस करता है जहाँ प्रस्ताव को कुछ सरल उत्तराधिकारियों द्वारा चुना जाता है। यह पूरे सरणी के लिए एक अच्छे मूल्य का प्रस्ताव करने की संभावना नहीं बनाता है।

Comments

जैसे ही आपने कहा, "यह एक चरण में संपूर्ण सरणी को अपडेट करने का प्रयास करेगा", मैंने गिब्स के महानगर (इस उदाहरण में) की कमियों को समझा। क्या STAN या JAGS के बारे में कुछ विशेष है जो उन्हें इस पर बेहतर करने दे सकता है? या तो मामले में, मैं कुछ समय गिब्स को PyMC में लागू करने में बिताऊंगा। धन्यवाद! (मैं लाइटस्पेड के बाद से आपके काम का प्रशंसक रहा हूं, इसलिए डबल-थैंक-यू!)

— अहमद फसीह

STAN असतत चर को नहीं संभालती है, लेकिन JAGS एक कोशिश के लायक है।

— टॉम मिंका