बहुभिन्नरूपी-बर्नौली वितरण के लिए संभाव्यता सूत्र

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मैं एक एन-variate में एक घटना की संभावना के लिए एक सूत्र की जरूरत Bernoulli वितरण दिया साथ संभावनाओं एक भी तत्व के लिए और तत्वों के जोड़े के लिए । समान रूप से मैं माध्य और सहसंयोजक दे सकता था । $X\in\{0,1\}^n$ $P(X_i=1)=p_i$ $P(X_i=1 \wedge X_j=1)=p_{ij}$ $X$

मुझे पहले से ही पता था कि वहाँ कई डिस्ट्रीब्यूशन वाले गुण हैं जैसे कि एक दिए गए माध्य और कोवरियन के कई डिस्ट्रीब्यूशन हैं। मैं एक विहित एक पर देख रहा हूं , ठीक उसी तरह जैसे कि गाऊसी और एक दिए गए माध्य और सहसंयोजक के लिए एक विहित वितरण है । $\{0,1\}^n$ $\{0,1\}^n$ $R^n$

multivariate-analysis discrete-data

— mpiktas
स्रोत

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यादृच्छिक चर मानों को में असतत यादृच्छिक चर है। इसका वितरण पूरी तरह से प्रायिकताओं द्वारा साथ वर्णित है । संभावनाएँ और आप देते हैं वे कुछ विशिष्ट अनुक्रमित के लिए के होते हैं । $\{0,1\}^n$ $p_{\mathbf{i}}=P(X=\mathbf{i})$ $\mathbf{i}\in\{0,1\}^n$ $p_{i}$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $\mathbf{i}$

अब ऐसा लगता है कि आप केवल और का उपयोग करके का वर्णन करना चाहते हैं । पर कुछ गुणों को ग्रहण किए बिना यह संभव नहीं है । यह देखने के लिए कि की विशेषता फ़ंक्शन को प्राप्त करने का प्रयास करें । यदि हम लेते हैं तो हम प्राप्त करते हैं $p_{\mathbf{i}}$ $p_i$ $p_{ij}$ $p_{\mathbf{i}}$ $X$ $n=3$

\begin{aligned} E e^{i (t_{1} X_{1} + t_{2} X_{2} + t_{3} X_{3})} & = p_{000} + p_{100} e^{i t_{1}} + p_{010} e^{i t_{2}} + p_{001} e^{i t_{3}} \\ + p_{110} e^{i (t_{1} + t_{2})} + p_{101} e^{i (t_{1} + t_{3})} + p_{011} e^{i (t_{2} + t_{3})} + p_{111} e^{i (t_{1} + t_{2} + t_{3})} \end{aligned}

$\begin{align} Ee^{i(t_1X_1+t_2X_2+t_3X_3)}&=p_{000}+p_{100}e^{it_1}+p_{010}e^{it_2}+p_{001}e^{it_3}\\\\ &+p_{110}e^{i(t_1+t_2)}+p_{101}e^{i(t_1+t_3)}+p_{011}e^{i(t_2+t_3)}+p_{111}e^{i(t_1+t_2+t_3)} \end{align}$ यह संभव नहीं है इस अभिव्यक्ति को पुनर्व्यवस्थित करें ताकि विघटन हो। गाऊसी यादृच्छिक चर के लिए विशेषता फ़ंक्शन केवल माध्य और सहसंयोजक मापदंडों पर निर्भर करता है। विशेषता कार्य विशिष्ट रूप से वितरण को परिभाषित करते हैं, इसलिए यही कारण है कि गाऊसी को केवल मीन और सहसंयोजक का उपयोग करके विशिष्ट रूप से वर्णित किया जा सकता है। जैसा कि हम यादृच्छिक चर लिए देखते हैं यह मामला नहीं है।

p_{i}

$p_{\mathbf{i}}$

X

$X$

— mpiktas
स्रोत

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निम्नलिखित कागज देखें:

JL Teugels, बहुभिन्नरूपी बर्नौली और द्विपद वितरण के कुछ निरूपण , जर्नल ऑफ़ मल्टीवेरेट एनालिसिस , वॉल्यूम। 32, नहीं। 2, फरवरी 1990, 256-268।

यहाँ सार है:

बर्नौली और द्विपद वितरण के लिए बहुभिन्नरूपी लेकिन वेक्टर संस्करण मैट्रिक्स कलन से क्रोनकर उत्पाद की अवधारणा का उपयोग करके स्थापित किए गए हैं। बहुभिन्नरूपी बर्नौली वितरण एक मानकीकृत मॉडल पर जोर देता है, जो बाइनरी चर के लिए पारंपरिक लॉग-रैखिक मॉडल का विकल्प प्रदान करता है।

— हामेद
स्रोत

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— whuber

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मुझे नहीं पता कि परिणामी वितरण को क्या कहा जाता है, या यदि उसका नाम भी है, लेकिन यह मुझे यह सेट करने का स्पष्ट तरीका बताता है कि आप उस मॉडल के बारे में सोचेंगे जिसका उपयोग आप 2 × 2 × 2 × मॉडल करेंगे … × 2 तालिका एक लॉग-लीनियर (पॉइसन रिग्रेशन) मॉडल का उपयोग करते हुए। जैसा कि आप केवल 1-ऑर्डर इंटरैक्शन को जानते हैं, तब यह मानना स्वाभाविक है कि सभी उच्च-ऑर्डर इंटरैक्शन शून्य हैं।

प्रश्नकर्ता के संकेतन का उपयोग करते हुए, यह मॉडल देता है:

P (X_{1} = x_{1}, X_{2} = x_{2}, \dots, X_{n} = x_{n}) = \prod_{i} [p_{i}^{x_{i}} (1 - p_{i})^{1 - x_{i}} \prod_{j < i} {(\frac{p_{i j}}{p_{i} p_{j}})}^{x_{i} x_{j}}]

$P(X_1=x_1, X_2=x_2,\ldots,X_n=x_n) = \prod_i \left[ p_i^{x_i}(1-p_i)^{1-x_i} \prod_{j<i} \left(\frac{p_{ij}}{p_i p_j}\right)^{x_i x_j} \right]$

— एक बंद
स्रोत

इस फार्मूले में उल्लेखनीय समस्याएं हैं: बाईं और दाईं ओर 's हैं। दाईं ओर सबस्क्रिप्ट लिए कोई संदर्भ नहीं है । इसके अलावा, अभी भी को संभाव्यता (मूल प्रश्न के रूप में) के रूप में व्याख्या कर रहा है , rhs स्पष्ट रूप से सकारात्मक है जबकि lhs सकारात्मक नहीं हो सकता है।

p

$p$

i

$\mathbf{i}$

p_{i}

$p_i$

— whuber

@whuber बिल्कुल सही! मैं उस मॉडल से चिपकता हूं जिसे मैंने पहले पैरा में सेट किया था, लेकिन मेरे समीकरण को कई तरीकों से खराब कर दिया गया था ... यह दिखाने के लिए कि मैंने वास्तव में अपने एमएससी के बाद से आकस्मिक तालिकाओं के लॉग-रैखिक मॉडलिंग का उपयोग नहीं किया है, और मैंने नहीं किया है नोट या किताबें हाथ लगीं। मुझे विश्वास है कि मैंने इसे अभी तय कर लिया है। अगर आप सहमत हैं तो मुझे बताएं! देरी के लिए एपोल। कुछ दिन मेरा दिमाग सिर्फ बीजगणित नहीं करता है।

— onestop

1

मुझे नहीं लगता कि यह काम करता है। और मान लें । यह संभावनाओं का एक मान्य संयोजन है, जब एक समान यादृच्छिक चर और और सभी । फिर भी सभी घटनाओं के लिए उपरोक्त सूत्र 0 होगा। अभी भी मदद करने के लिए धन्यवाद!

p_{i} = 1 / n

$p_i=1/n$

p_{i j} = 0 \forall i \neq j

$p_{ij}=0 \forall i \ne j$

I

$I$

\in {1, . . ., n}

$\in\{1,...,n\}$

X_{I} = 1

$X_I=1$

X_{j} = 0 \forall j \neq I

$X_j=0 \forall j\ne I$