टेलर श्रृंखला (विशेष रूप से शेष) की उम्मीद रखना

42

मेरा सवाल है कि एक व्यापक रूप से इस्तेमाल की जाने वाली विधि को उचित ठहराने की कोशिश की जा रही है, जिसका अर्थ है टेलर श्रृंखला का अपेक्षित मूल्य लेना। मान लें कि हमारे पास सकारात्मक माध्य और विचरण साथ एक यादृच्छिक चर । इसके अतिरिक्त, हमारे पास एक फ़ंक्शन है, कहते हैं, । $X$ $\mu$ $\sigma^2$ $\log(x)$

माध्य के चारों ओर का टेलर एक्सपेंशन करते हुए , हम जहां, हमेशा की तरह, st है। $\log X$

\log X = \log μ + \frac{X - μ}{μ} - \frac{1}{2} \frac{(X - μ)^{2}}{μ^{2}} + \frac{1}{3} \frac{(X - μ)^{3}}{ξ_{X}^{3}},

$\log X = \log\mu + \frac{X - \mu}{\mu} - \frac12 \frac{(X-\mu)^2}{\mu^2} + \frac13 \frac{(X - \mu)^3}{\xi_X^3},$

ξ_{X}

$\xi_X$

| ξ_{X} - μ | < | X - μ |

$|\xi_X - \mu| < |X - \mu|$

यदि हम एक उम्मीद लेते हैं, तो हम एक अनुमानित समीकरण प्राप्त करेंगे, जिसे लोग आमतौर पर कुछ स्व-स्पष्ट के रूप में संदर्भित करते हैं ( यहाँ पहले समीकरण में चिह्न देखें ) $\approx$ :

E \log X \approx \log μ - \frac{1}{2} \frac{σ^{2}}{μ^{2}}

$\mathbb{E}\log X \approx \log \mu - \frac12 \frac{\sigma^2}{\mu^2}$

प्रश्न : मैं यह साबित करने में दिलचस्पी रखता हूं कि शेष पद का अपेक्षित मूल्य वास्तव में नगण्य है, अर्थात (या, दूसरे शब्दों में, )।

E [\frac{(X - μ)^{3}}{ξ_{X}^{3}}] = o (σ^{2})

$\mathbb{E}\left[\frac{(X - \mu)^3}{\xi_X^3}\right] = o(\sigma^2)$

E [o (X - μ)^{2}] = o (E [(X - μ)^{2}])

$\mathbb{E}\bigl[o(X-\mu)^2\bigr] = o\bigl(\mathbb{E}\bigl[(X-\mu)^2\bigr]\bigr)$

मैंने क्या करने की कोशिश की : उस (जो, बदले में, से ) का अर्थ है , मैंने दो में इंटीग्रल को विभाजित करने की कोशिश की, कुछ के बारे में -vicinity : $\sigma^2 \to 0$ $X \to \mu$ $\mathbb{P}$ $\mu$ $\varepsilon$ $N_\varepsilon$

\int_{R} p (x) \frac{(x - μ)^{3}}{ξ_{x}^{3}} d x = \int_{x \in N_{ε}} \dots d x + \int_{x \notin N_{ε}} \dots d x

$\int_\mathbb{R} p(x)\frac{(x-\mu)^3}{\xi_x^3} \,dx = \int_{x \in N_\varepsilon} \ldots dx + \int_{x \notin N_\varepsilon} \ldots dx$

इस तथ्य के कारण पहले वाले को बाध्य किया जा सकता है कि और इस प्रकार परेशान नहीं करता है। लेकिन दूसरे के साथ हमारे पास दो गूढ़ तथ्य हैं: एक ओर (as )। लेकिन दूसरी ओर, हम नहीं जानते कि साथ क्या करना है । $0 \notin N_\varepsilon$ $1/\xi^3$

P (| X - μ | > ε) \to 0

$\mathbb{P}(|X - \mu| > \varepsilon) \to 0$

σ^{2} \to 0

$\sigma^2 \to 0$

1 / ξ^{3}

$1/\xi^3$

एक और संभावना हो सकती है कि फतो के लेम्मा का उपयोग करने की कोशिश की जाए, लेकिन मैं यह पता नहीं लगा सकता कि कैसे।

किसी भी मदद या संकेत की सराहना करेंगे। मुझे एहसास है कि यह एक बहुत ही तकनीकी प्रश्न है, लेकिन मुझे इस "टेलर-अपेक्षा" पद्धति पर भरोसा करने के लिए इसके माध्यम से जाने की आवश्यकता है। धन्यवाद!

PS मैंने यहाँ जाँच की , लेकिन ऐसा लगता है कि यह एक और सामान है।

self-study mathematical-statistics expected-value

— agronskiy
स्रोत

टेलर विस्तार के तीसरे कार्यकाल के सामने माइनस साइन क्यों है? चौथे पद में भी क्यों और नहीं है? मैं क्या खो रहा हूँ?

3

$3$

3!

$3!$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

@ एलेकोस: बस व्युत्पन्न । जो आपके दोनों प्रश्नों का उत्तर देगा।

n

$n$

\log x

$\log x$

— कार्डिनल

4

(+1) यह मुद्दा हाल ही में के क्षणों को खोजने से संबंधित दो प्रश्नों की चर्चा में आया था । यह ऐसे मामलों के साथ अतिरिक्त देखभाल करने के लिए भुगतान करता है। :-)

X^{- 1}

$X^{-1}$

— कार्डिनल

1

माध्य मान प्रमेय के कारण पहला क्रम सन्निकटन वास्तव में कुछ मामलों में बेहतर हो सकता है। सुनिश्चित नहीं है कि अगर औसत मूल्य प्रमेय सामान्य मामले में मदद करेगा।

— संभाव्यताविषयक

1

मैंने सोचा होगा कि प्रभुत्व वाले अभिसरण प्रमेय यहां उपयोगी हो सकते हैं, क्योंकि समीकरण सीमा और एकीकरण का एक इंटरचेंज है।

E (o (. .)) = o (E (. .))

$E(o(..))=o(E(..))$

— प्रोबेबिलिसलॉजिक

32

इस दृष्टिकोण से आपको संदेह होना सही है। टेलर श्रृंखला पद्धति सामान्य रूप से काम नहीं करती है, हालांकि अनुमानी में सत्य का एक कर्नेल होता है। नीचे दिए गए तकनीकी चर्चा को संक्षेप में बताने के लिए,

मजबूत एकाग्रता का अर्थ है कि टेलर श्रृंखला पद्धति अच्छे कार्यों के लिए काम करती है
भारी-पूंछ वाले वितरण या नहीं-तो-अच्छे कार्यों के लिए चीजें नाटकीय रूप से गलत हो सकती हैं

जैसा कि एलेकोस का जवाब इंगित करता है, यह बताता है कि यदि आपके डेटा में भारी पूंछ हो सकती है, तो टेलर-सीरीज़ विधि को स्क्रैप किया जाना चाहिए। (वित्त पेशेवर, मैं आपको देख रहा हूं।)

जैसा कि एल्विस ने कहा, महत्वपूर्ण समस्या यह है कि विचरण उच्च क्षणों को नियंत्रित नहीं करता है । यह देखने के लिए, आइए अपने प्रश्न को मुख्य विचार के लिए जितना संभव हो उतना सरल करें।

मान लें कि हमारे पास साथ यादृच्छिक चर का एक अनुक्रम है जो कि । $X_n$ $\sigma(X_n)\to 0$ $n\to \infty$

प्र: क्या हम उस को रूप में $\mathbb{E}[|X_n-\mu|^3] = o(\sigma^2(X_n))$ $n\to \infty?$

के बाद से देखते हैं परिमित दूसरे पल और अनंत तीसरे क्षणों के साथ यादृच्छिक चर, जवाब जोरदार ढंग से है कोई । इसलिए, सामान्य तौर पर, टेलर श्रृंखला पद्धति 3 डिग्री बहुपद के लिए भी विफल हो जाती है । इस तर्क को दर्शाने से आपको पता चलता है कि आप टेलर श्रृंखला पद्धति को बहुपद के लिए भी सटीक परिणाम प्रदान करने की उम्मीद नहीं कर सकते हैं, जब तक कि आपके यादृच्छिक चर के सभी क्षण अच्छी तरह से नियंत्रित नहीं होते हैं।

फिर, हम क्या कर रहे हैं? निश्चित रूप से विधि बंधे हुए यादृच्छिक चर के लिए काम करती है जिसका समर्थन एक बिंदु पर परिवर्तित होता है, लेकिन यह वर्ग दिलचस्प होने के लिए बहुत छोटा है। इसके बजाय मान लीजिए कि अनुक्रम कुछ अत्यधिक केंद्रित परिवार से आता है जो संतुष्ट करता है (कहते हैं) $X_n$

\begin{matrix} (1) & P {| X_{n} - μ | > t} \leq e^{- C n t^{2}} \end{matrix}

$\mathbb{P}\left\{ |X_n-\mu|> t\right\} \le \mathrm{e}^{- C n t^2} \tag{1}$

हर और कुछ । इस तरह के यादृच्छिक चर आश्चर्यजनक रूप से सामान्य हैं। उदाहरण के लिए जब अनुभवजन्य माध्य है $t>0$ $C>0$ $X_n$

X_{n} := \frac{1}{n} \sum_{i = 1}^{n} Y_{i}

$X_n := \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n Y_i$

अच्छा यादृच्छिक चर के (जैसे, आईआईडी और घिरा), विभिन्न एकाग्रता असमानताओं मतलब है कि संतुष्ट (1)। एक मानक तर्क (पी। 10 यहां देखें ) ऐसे यादृच्छिक चर के लिए वें क्षणों को सीमाबद्ध करता है: $Y_i$ $X_n$ $p$

E [| X_{n} - μ |^{p}] \leq {(\frac{p}{2 C n})}^{p / 2} .

$\mathbb{E}[|X_n-\mu|^p] \le \left(\frac{p}{2 C n}\right)^{p/2}.$

इसलिए, किसी भी "पर्याप्त रूप से अच्छा" विश्लेषणात्मक समारोह के लिए (नीचे देखें), हम त्रुटि के लिए बाध्य कर सकते हैं पर अवधि टेलर श्रृंखला सन्निकटन त्रिकोण असमानता का उपयोग कर $f$ $\mathcal{E}_m$ $m$

E_{m} := | E [f (X_{n})] - \sum_{p = 0}^{m} \frac{f^{(p)} (μ)}{p!} E (X_{n} - μ)^{p} | \leq \frac{1}{(2 C n)^{(m + 1) / 2}} \sum_{p = m + 1}^{\infty} | f^{(p)} (μ) | \frac{p^{p / 2}}{p!}

$\mathcal{E}_m:=\left|\mathbb{E}[f(X_n)] - \sum_{p=0}^m \frac{f^{(p)}(\mu)}{p!} \mathbb{E}(X_n-\mu)^p\right|\le \tfrac{1}{(2 C n)^{(m+1)/2}} \sum_{p=m+1}^\infty |f^{(p)}(\mu)| \frac{p^{p/2}}{p!}$

जब । चूंकि स्टर्लिंग का सन्निकटन देता है , काटे गए टेलर श्रृंखला की त्रुटि संतुष्ट करती है $n>C/2$ $p! \approx p^{p-1/2}$

\begin{matrix} (2) & E_{m} = O (n^{- (m + 1) / 2}) as n \to \infty whenever \sum_{p = 0}^{\infty} p^{(1 - p) / 2} | f^{(p)} (μ) | < \infty . \end{matrix}

$\mathcal{E}_m = O(n^{-(m+1)/2}) \text{ as } n\to \infty\quad \text{whenever} \quad \sum_{p=0}^\infty p^{(1-p)/2 }|f^{(p)}(\mu)| < \infty \tag{2}.$

इसलिए, जब दृढ़ता से केंद्रित होता है और पर्याप्त रूप से अच्छा होता है, तो टेलर श्रृंखला सन्निकटन वास्तव में सटीक होता है। (2) में दिखाई देने वाली असमानता का तात्पर्य है कि , ताकि विशेष रूप से हमारे हालत की आवश्यकता है कि है पूरे । यह समझ में आता है क्योंकि (1) पर किसी भी प्रकार की धारणा नहीं लगाता है । $X_n$ $f$ $f^{(p)}(\mu)/p! = O(p^{-p/2})$ $f$ $X_n$

देखते हैं क्या गलत हो सकता है जब चलो एक विशिष्टता (whuber की टिप्पणी के बाद) है। मान लीजिए कि हम चुनते हैं । यदि हम को डिस्ट्रीब्यूशन से शून्य और दो के बीच , तो पर्याप्त रूप से केंद्रित है लेकिन हर लिए । दूसरे शब्दों में, हमारे पास एक अत्यधिक संकेंद्रित, रैंडम रैंडम वैरिएबल है , और फिर भी टेलर सीरीज़ विधि विफल हो जाती है, जब फ़ंक्शन में सिर्फ एक विलक्षणता होती है। $f$ $f(x)=1/x$ $X_n$ $\mathrm{Normal}(1,1/n)$ $X_n$ $\mathbb{E}[f(X_n)] = \infty$ $n$

कठोरता पर कुछ शब्द। मैं इसे अच्छे हालत में (2) प्रदर्शित होने के रूप में पेश करने के लिए लगता है व्युत्पन्न बल्कि एक से दैवावतरण कि एक कठोर प्रमेय / प्रमाण स्वरूप में आवश्यक है। तर्क को पूरी तरह से कठोर बनाने के लिए, पहले ध्यान दें कि दाएं हाथ में (2) का अर्थ है

E [| f (X_{n}) |] \leq \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{| f^{(p)} (μ) |}{p!} E [| X_{n} - μ |^{p}] < \infty

$\mathbb{E}[|f(X_n)|] \le \sum_{i=0}^\infty \frac{|f^{(p)}(\mu)|}{p!} \mathbb{E}[|X_n-\mu|^p]< \infty$

ऊपर से सबगॉसियन क्षणों की वृद्धि दर से। इस प्रकार, फ़ुबिनी का प्रमेय प्रदान करता है

E [f (X_{n})] = \sum_{i = 0}^{\infty} \frac{f^{(p)} (μ)}{p!} E [(X_{n} - μ)^{p}]

$\mathbb{E}[f(X_n)] = \sum_{i=0}^\infty \frac{f^{(p)}(\mu)}{p!} \mathbb{E}[(X_n-\mu)^p]$

बाकी सबूत ऊपर की तरह आगे बढ़ते हैं।

— माइक मैककॉय
स्रोत

1

मैं इसे जल्दी पढ़ने में चूक गया हो सकता है, लेकिन क्या आप दावा कर रहे हैं (अन्य बातों के अलावा) कि का तीसरा क्षण पर्याप्त रूप से "नियंत्रण में है," तो उम्मीद की जा सकती है कि फिर से उम्मीद का अनुमान लगाया जा सकता है [MacLaurin] की श्रृंखला ? मैं चिंतित हूं क्योंकि मैंने स्वयं श्रृंखला के अभिसरण गुणों का कोई संदर्भ नहीं देखा है, जो कम से कम के वितरण की पूंछ के रूप में महत्वपूर्ण हैं ।

X

$X$

\log (X)

$\log(X)$

\log

$\log$

X

$X$

— whuber

2

@ जब आप सही हैं; टेलर श्रृंखला के आरओसी में होने के लिए आपको के समर्थन की आवश्यकता होगी , इसलिए विशेष रूप से, लगभग निश्चित रूप से। मैं इसे दर्शाने के लिए पोस्ट अपडेट करूंगा।

X

$X$

0 < X < 2 μ

$0<X<2 \mu$

— माइक मैककॉय

2

मुझे अभी भी लगता है कि मुझे कुछ याद आ रहा है। उदाहरण के लिए, जब का एक सामान्य वितरण से कम हो जाता है , तो यह स्पष्ट रूप से "अत्यधिक केंद्रित" होता है, जिसका अर्थ , और लगभग निश्चित रूप से के अभिसरण की त्रिज्या के भीतर होता है (जो पर केंद्रित इकाई डिस्क के इंटीरियर में विश्लेषणात्मक है , जिसमें ), फिर भी अनंत है।

X

$X$

(1, 1)

$(1,1)$

(0, 2)

$(0,2)$

μ = 1

$\mu=1$

f (x) = 1 / x = 1 / (1 - (1 - x))

$f(x)=1/x = 1/(1-(1-x))$

1

$1$

(0, 2 μ)

$(0,2\mu)$

E [f (X)]

$\mathbb{E}[f(X)]$

— whuber

1

@gron आपने कुछ छोटी त्रुटि की है। जब , व्युत्पन्न । शर्त इसलिए नहीं है क्योंकि any । आप यह भी सत्यापित कर सकते हैं कि (2) होल्ड नहीं करता है क्योंकि कोई भी फ़ंक्शन जो संतुष्ट करता है (2) भी संतुष्ट करता है , और इसलिए है कोई विलक्षणता नहीं (इसकी पूरी , लिंक के अनुसार)।

f (x) = 1 / x

$f(x)=1/x$

| f^{(p)} (μ) | = p! / μ^{p}

$|f^{(p)}(\mu)|=p!/\mu^p$

(2) = \sum p! p^{(1 - p / 2)} μ^{p} \to \infty

$\text{(2)}=\sum p! p^{(1-p/2)} \mu^p \to \infty$

μ > 0

$\mu>0$

\log (p! f^{(p)} (μ)) / p \to - \infty

$\log (p! f^{(p)}(\mu) )/ p \to -\infty$

f

$f$

— माइक मैककॉय

1

@ ग्रोन आपको दो चीजों की आवश्यकता है: (1) यह सुनिश्चित करें कि आपके आरवी को लॉग की पावर श्रृंखला के आरओसी के भीतर सख्ती से समर्थन है (यानी, for ), और (2) सुनिश्चित करें कि आरवी के क्षण काफी तेजी से घटते हैं कि लिए एक त्रुटि अनुमान परिमित होता है। क्षणों को नियंत्रित करने के तरीके के रूप में, आपको एक नया प्रश्न पूछना चाहिए क्योंकि यह बहुत अधिक पात्रों को ले जाएगा (और मैं खुद नए तरीकों के बारे में उत्सुक हूं)।

[0 + ε, 2 μ - ε]

$[0+\varepsilon, 2 \mu-\varepsilon]$

ε > 0

$\varepsilon > 0$

E_{m}

$\mathcal{E}_m$

— माइक मैककॉय

10

यद्यपि मेरा उत्तर अन्य उत्तरों के गणितीय परिष्कार के स्तर तक नहीं पहुंचेगा, फिर भी मैंने इसे पोस्ट करने का फैसला किया क्योंकि मेरा मानना है कि इसमें योगदान करने के लिए कुछ है-हालांकि परिणाम "नकारात्मक" होगा, जैसा कि वे कहते हैं।

एक हल्के लहजे में, मैं कहूंगा कि ओपी "जोखिम-विपरीत" है , (जैसा कि ज्यादातर लोग हैं, साथ ही विज्ञान भी है), क्योंकि ओपी को दूसरे क्रम के टेलर के विस्तार के सन्निकटन के लिए पर्याप्त स्थिति की आवश्यकता है " स्वीकार्य "। लेकिन यह एक आवश्यक शर्त नहीं है।

सबसे पहले, एक आवश्यक लेकिन पर्याप्त नहीं पूर्व रिमाइंडर के अपेक्षित मूल्य के लिए आरवी के विचरण की तुलना में कम क्रम का होना चाहिए, क्योंकि ओपी की आवश्यकता होती है, श्रृंखला पहले स्थान पर परिवर्तित होती है। क्या हमें सिर्फ अभिसरण मान लेना चाहिए? नहीं।

हमारे द्वारा जांच की जाने वाली सामान्य अभिव्यक्ति है

E [g (Y)] = \int_{- \infty}^{\infty} f_{Y} (y) [\sum_{i = 0}^{\infty} g^{(i)} (μ) \frac{(y - μ)^{i}}{i!}] d y [1]

$E\Big[g(Y)\Big] = \int_{-\infty}^{\infty}f_Y(y)\Big[\sum_{i=0}^{\infty}g^{(i)}(\mu)\frac{(y-\mu)^i}{i!}\Big]dy \qquad [1]$

जैसा कि लोइस्टल (1976) कहता है, जेमिनी की "कैलकुलस एंड स्टैटिस्टिक्स" पुस्तक (1978, पी। 170) का उल्लेख करते हुए, अनंत राशि के अभिसरण के लिए एक शर्त है ( अभिसरण के लिए अनुपात परीक्षण का एक अनुप्रयोग )

y - μ < | y - μ | < lim_{i \to \infty} | (\frac{g^{(i)} (μ)}{g^{(i + 1)} (μ)} (i + 1)) | [2]

$y-\mu < |y-\mu|<\lim_{i\rightarrow \infty}\left | \left(\frac {g^{(i)}(\mu)}{g^{(i+1)}(\mu)}(i+1)\right)\right| \qquad [2]$

... जहाँ rv का अर्थ है, हालांकि यह भी एक पर्याप्त स्थिति है (यदि उपर्युक्त संबंध समानता के साथ है तो अनुपात परीक्षण अनिर्णायक है), यदि असमानता दूसरी दिशा में है तो श्रृंखला विचलन करेगी। $\mu$

लोइस्टल ने , घातीय, शक्ति और लघुगणक के लिए तीन विशिष्ट कार्यात्मक रूपों की जांच की (उनका पेपर अपेक्षित उपयोगिता और पोर्टफोलियो विकल्प के क्षेत्र में है, इसलिए उन्होंने मानक कार्यात्मक रूपों का परीक्षण किया जो एक संक्षिप्त उपयोगिता फ़ंक्शन का प्रतिनिधित्व करते थे)। इन कार्यात्मक रूपों के लिए, उन्होंने पाया कि केवल घातीय कार्यात्मक रूप के लिए पर कोई प्रतिबंध नहीं लगाया गया था। इसके विपरीत, शक्ति के लिए, और लॉगरिदमिक मामले के लिए (जहां हमारे पास पहले से ), हम पाते हैं कि असमानता की वैधता बराबर है $g()$ $y-\mu$ $0 <y$ $[2]$

y - μ < μ \Rightarrow 0 < y < 2 μ

$y-\mu < \mu \Rightarrow 0 < y < 2\mu$

इसका अर्थ यह है कि यदि हमारा चर इस सीमा के बाहर बदलता है, तो टेलर का विस्तार केंद्र के रूप में परिवर्तनशील चर का अर्थ विचलन हो जाएगा।

इसलिए: कुछ कार्यात्मक रूपों के लिए, अपने डोमेन के कुछ बिंदु पर एक फ़ंक्शन का मान उसके अनंत टेलर विस्तार के बराबर होता है, भले ही यह बिंदु विस्तार केंद्र से कितना भी दूर हो। अन्य कार्यात्मक रूपों (लघुगणक शामिल) के लिए, ब्याज के बिंदु को विस्तार के चुने हुए केंद्र के लिए कुछ हद तक "बंद" होना चाहिए। ऐसे मामले में जहां हमारे पास आरवी है, यह चर के सैद्धांतिक समर्थन पर प्रतिबंध का अनुवाद करता है (या इसके अनुभवजन्य रूप से देखे गए रेंज की एक परीक्षा)।

Loitl, संख्यात्मक उदाहरणों का उपयोग करते हुए, यह भी दिखाया कि छंटनी से पहले विस्तार के क्रम में वृद्धि से सन्निकटन की सटीकता के लिए मामले बदतर हो सकते हैं । हमें ध्यान देना चाहिए कि वित्तीय क्षेत्र में आनुभविक रूप से देखे गए चरों की समय-श्रृंखला, असमानता के कारण आवश्यक परिवर्तनशीलता को प्रदर्शित करती है। इसलिए लॉटल इस बात की वकालत करने लगे कि पोर्टफ़ोलियो चॉइस थ्योरी को लेकर टेलर सीरीज़ की अंदाज़न पद्धति को पूरी तरह से खत्म कर दिया जाना चाहिए।

रिबाउंड 18 साल बाद ह्लावित्स्का (1994) से आया । मूल्यवान अंतर्दृष्टि और परिणाम यहाँ था, और मैं बोली

... हालांकि एक श्रृंखला अंततः अभिसरण हो सकती है, इसके किसी भी आंशिक श्रृंखला के बारे में थोड़ा कहा जा सकता है; किसी श्रृंखला के अभिसरण का अर्थ यह नहीं है कि शब्द तुरंत आकार में घट जाते हैं या किसी विशेष शब्द को अनदेखा करने के लिए पर्याप्त रूप से छोटा होता है। वास्तव में, यह संभव है, जैसा कि यहां दिखाया गया है, कि एक श्रृंखला अंततः सीमा में परिवर्तित होने से पहले विचलित हो सकती है। अपेक्षित उपयोगिता के लिए क्षण सन्निकटन की गुणवत्ता जो कि टेलर श्रृंखला के पहले कुछ शब्दों पर आधारित है, इसलिए, अनंत श्रृंखला के अभिसरण गुणों द्वारा निर्धारित नहीं की जा सकती है। यह एक अनुभवजन्य मुद्दा है, और आनुभविक रूप से, यहां अध्ययन किए गए उपयोगिता कार्यों के लिए दो-पल का अनुमान पोर्टफोलियो चयन के कार्य के लिए अच्छा प्रदर्शन करता है। Hlawitschka (1994)

उदाहरण के लिए, Hlawitschka ने दिखाया कि 2-क्रम सन्निकटन "सफल" था कि क्या टेलर श्रृंखला में धर्मान्तरित हुई या नहीं , लेकिन उन्होंने लोटल के परिणाम को भी सत्यापित किया, कि सन्निकटन के क्रम को बढ़ाने से यह और भी खराब हो सकता है। लेकिन इस सफलता के लिए एक क्वालीफायर है: पोर्टफोलियो च्वाइस में, प्रत्याशित उपयोगिता का उपयोग प्रतिभूतियों और अन्य वित्तीय उत्पादों को रैंक करने के लिए किया जाता है । यह एक है क्रमसूचक उपाय, नहीं कार्डिनल। तो Hlawitschka ने क्या पाया कि 2-क्रम सन्निकटन ने के सटीक मान से उपजी रैंकिंग की तुलना में विभिन्न प्रतिभूतियों की रैंकिंग संरक्षित की , और नहीं $E(g(Y)$ यह हमेशा मात्रात्मक परिणाम देता है कि जहां इस सटीक मान के पर्याप्त रूप से करीब है (पृष्ठ 718 में उसकी तालिका A1 देखें)।

तो वह हमें कहां छोड़ता है? निम्बू में, मैं कहूँगा। ऐसा प्रतीत होता है कि सिद्धांत और अनुभववाद दोनों में, द्वितीय-क्रम टेलर सन्निकटन की स्वीकार्यता अध्ययन के तहत विशिष्ट घटना के कई अलग-अलग पहलुओं पर गंभीर रूप से निर्भर करती है और नियोजित वैज्ञानिक कार्यप्रणाली-यह सैद्धांतिक रूप से उपयोग की गई सैद्धांतिक मान्यताओं पर निर्भर करती है। श्रृंखला की देखी गई परिवर्तनशीलता पर ...

लेकिन चलो इसे सकारात्मक रूप से समाप्त करें: आजकल, कंप्यूटर शक्ति बहुत सी चीजों के लिए विकल्प बनाती है। इसलिए हम 2-ऑर्डर सन्निकटन की वैधता का अनुकरण और परीक्षण कर सकते हैं, चर के मूल्यों की एक विस्तृत श्रृंखला के लिए सस्ते में, चाहे हम एक सैद्धांतिक या एक अनुभवजन्य समस्या पर काम करें।

— एलेकोस पापाडोपोलोस
स्रोत

8

वास्तविक उत्तर नहीं है, लेकिन यह दिखाने के लिए एक उदाहरण है कि चीजें इतनी अच्छी नहीं हैं, और इस परिणाम को सच करने के लिए अतिरिक्त परिकल्पना की आवश्यकता है।

को एक समान और एक सामान्य बीच मिश्रण के रूप में परिभाषित करें , समानता संभावना साथ चुना जा रहा है , और संभावना साथ सामान्य । आपके पास और इसका विचरण परिवर्तित हो जाता है जब अनंत तक जाता है, जैसे कि अगर मैं गलत नहीं कर रहा हूँ तो मैं $X_n$ $U\left( \left[ -{1\over n} ; {1\over n} \right] \right)$ $\mathcal N({n \over n-1}, {1\over n})$ $1\over n$ $1 -{1\over n} = {n-1 \over n}$ $E(X_n) = 1$ $0$ $n$

E (X_{n}^{2}) = \frac{1}{3 n^{2}} \times \frac{1}{n} + ({(\frac{n}{n - 1})}^{2} + \frac{1}{n}) \times \frac{n - 1}{n},

$E\left(X_n^2\right) = {1\over 3 n^2} \times {1\over n} + \left(\left({n \over n-1}\right)^2+{1\over n}\right)\times{n-1 \over n},$

अब (और या जो भी हो) को परिभाषित करें । यादृच्छिक चर को अच्छी तरह से परिभाषित किया गया है, लेकिन इसमें अपेक्षित मान नहीं है, जैसा कि परिभाषित नहीं है, आदि चाहे कितना भी बड़ा हो। $f(x) = 1/x$ $f(0) = 0$ $f(X_n)$

\int_{- \frac{1}{n}}^{\frac{1}{n}} \frac{1}{x} d x

$\int_{-{1\over n}}^{1\over n} {1\over x} \mathrm dx$

n

$n$

मेरा निष्कर्ष यह है कि आपको स्पष्ट रूप से के वैश्विक व्यवहार पर हाइपोथीस की आवश्यकता है - या अधिक संभावना है, अधिक सुरुचिपूर्ण ढंग से - उस गति पर जिस पर का घनत्व तब है जब आप अपेक्षित मूल्य से दूर होते हैं। मुझे यकीन है कि इस तरह की परिकल्पनाएं क्लासिक साहित्य (और यहां तक कि पाठ्यपुस्तकों में) में पाई जा सकती हैं, दुर्भाग्य से मेरा प्रशिक्षण आंकड़ों में नहीं था और मैं अभी भी खुद साहित्य के साथ संघर्ष कर रहा हूं ... वैसे भी मुझे उम्मीद है कि इससे मुझे मदद मिली। $f$ $X_n$

पुनश्च। क्या यह उदाहरण निक के जवाब के लिए प्रति-उदाहरण नहीं है? फिर कौन गलत है?

— एल्विस
स्रोत

1

आपके तर्क का एक और सामान्य कथन यह है कि मौजूद है और लिए परिमित है

E [X^{k}]

$E\left[X^k\right]$

k = 1, 2, 3

$k=1,2,3$

— प्रायिकताश्लोगिक

मुझे लगता है कि मेरी उपरोक्त टिप्पणी सही नहीं है - ऐसा क्या होना चाहिए कि फ़ंक्शन बिंदु टेलर श्रृंखला विस्तार स्वीकार करता है । आपके द्वारा प्रदान किया गया उदाहरण, आपके पास जो पर निरंतर नहीं है । मुझे लगता है कि इसका मतलब यह है कि आपके उदाहरण के लिए टेलर श्रृंखला में विस्तार नहीं किया जा सकता है।

f (x)

$f(x)$

x = μ

$x=\mu$

f (x) = \frac{1}{x}

$f(x)=\frac{1}{x}$

x = 0

$x=0$

f

$f$

— प्रोबेबिलिसलॉजिक

यह पर हो सकता है । तो वहाँ अभिसरण की त्रिज्या है ... आप अभिसरण की एक अनंत त्रिज्या की आवश्यकता हो सकती है ?! यह एक मजबूत आवश्यकता है।

μ = 1

$\mu = 1$

— एल्विस

1

एल्विस, हाँ, हमें एक वैश्विक स्थिति की आवश्यकता है। अनिवार्य रूप से, शेष को वितरण की पूंछ द्वारा भारित होने के बाद अच्छी तरह से व्यवहार करना पड़ता है। अपने उदाहरण के समान कुछ के लिए जो हाल ही में सामने आया, यहां , यहां और यहां देखें ।

— कार्डिनल

4

यह एक पूर्ण उत्तर नहीं है, दूसरे क्रम पर पहुंचने का सिर्फ एक अलग तरीका है।

मुझे लगता है कि जाने का सबसे अच्छा तरीका टेलर श्रृंखला के शेष कार्यकाल के साथ काम करने के बजाय कॉची के औसत मूल्य प्रमेय का उपयोग करना है। यदि हम इसे एक बार लागू करते हैं तो हमारे पास

f (X) = f (μ) + f^{'} (ξ_{1}) (X - μ)

$f(X)=f(\mu)+f'(\xi_1)(X-\mu)$

कुछ जब या जब । अब हम फिर से लिए माध्य मान प्रमेय लागू करते हैं और हमारे पास है $X\leq\xi_1 \leq \mu$ $X \leq \mu$ $X\geq\xi_1 \geq \mu$ $X \geq \mu$ $f'(\xi_1)$

f^{'} (ξ_{1}) = f^{'} (μ) + f^{″} (ξ_{2}) (ξ_{1} - μ)

$f'(\xi_1)= f'(\mu) + f''(\xi_2)( \xi_1-\mu)$

कुछ जब या जब । पहले फोमुला में डाल देता है $X\leq\xi_1\leq\xi_2\leq\mu$ $X\leq\mu$ $X\geq\xi_1\geq \xi_2 \geq\mu$ $X\geq\mu$

f (X) = f (μ) + f^{'} (μ) (X - μ) + f^{″} (ξ_{2}) (ξ_{1} - μ) (X - μ)

$f(X)=f(\mu)+ f'(\mu) (X-\mu) + f''(\xi_2)( \xi_1-\mu) (X-\mu)$

ध्यान दें कि इस परिणाम के लिए केवल यह आवश्यक है कि निरंतर और दो बार और बीच भिन्न हो । हालाँकि, यह केवल एक निश्चित लिए लागू होता है , और को बदलने का अर्थ होगा में संबंधित परिवर्तन । दूसरे क्रम डेल्टा विधि को वैश्विक धारणा बनाने के रूप में देखा जा सकता है कि और , के समर्थन की संपूर्ण सीमा पर। या कम से कम उच्च संभावना द्रव्यमान के क्षेत्र पर। $f$ $X$ $\mu$ $X$ $X$ $\xi_i$ $\xi_1-\mu=\frac{1}{2}(X-\mu)$ $\xi_2=\mu$ $X$

— probabilityislogic
स्रोत