जब द्विपद वितरण कार्य इसके ऊपर / नीचे Poisson वितरण समारोह को सीमित करता है?

चलो को निरूपित मानकों के साथ द्विपद बंटन समारोह (DF) और पर मूल्यांकन किया जाता : और पोइसन DF को पैरामीटर के साथ में मूल्यांकन किया गया : $B(n,p,r)$ $n \in \mathbb N$ $p \in (0,1)$ $r \in \{0,1,\ldots,n\}$

B (n, p, r) = \sum_{i = 0}^{r} (\binom{n}{i}) p^{i} (1 - p)^{n - i},

$\begin{equation} B(n,p,r) = \sum_{i=0}^r \binom{n}{i} p^i (1-p)^{n-i}, \end{equation}$

F (ν, r)

$F(\nu,r)$

a \in R^{+}

$a \in \mathbb R^+$

r \in {0, 1, 2, \dots}

$r \in \{0,1,2,\ldots\}$

F (a, r) = e^{- a} \sum_{i = 0}^{r} \frac{a^{i}}{i!} .

$\begin{equation} F(a,r) = e^{-a} \sum_{i=0}^r \frac{a^i}{i!}. \end{equation}$

पर विचार करें $p \rightarrow 0$ , और $n$ को रूप में परिभाषित किया $\lceil a/p-d \rceil$ , जहाँ $d$ के क्रम का एक स्थिर भाग है । चूंकि , फ़ंक्शन सभी लिए परिवर्तित होता है , जैसा कि सर्वविदित है। $1$ $np \rightarrow a$ $B(n,p,r)$ $F(a,r)$ $r$

के लिए उपरोक्त परिभाषा के साथ $n$ , मैं के मूल्यों का निर्धारण करने में रुचि है $a$ है जिसके लिए

B (n, p, r) > F (a, r) \forall p \in (0, 1),

$\begin{equation} B(n,p,r) > F(a,r) \quad \forall p \in (0,1), \end{equation}$ और इसी तरह जिनके लिए

B (n, p, r) < F (a, r) \forall p \in (0, 1) .

$\begin{equation} B(n,p,r) < F(a,r) \quad \forall p \in (0,1). \end{equation}$ मैं साबित करने के लिए के लिए है कि पहली असमानता धारण कर पाए हैं

a

$a$ से पर्याप्त रूप से छोटे

r

$r$ ; अधिक विशेष रूप से, के लिए

a

$a$ एक निश्चित बाध्य से कम

g (r)

$g(r)$ , के साथ

g (r) < r

$g(r)<r$ । इसी तरह, दूसरी असमानता के लिए रखती है

a

$a$ पर्याप्त रूप से बड़ा

r

$r$ के लिए यानी,

a

$a$ एक निश्चित बाउंड

h (r)

$h(r)$ ,

h (r) > r

$h(r)>r$ । (सीमा से भाव

g (r)

$g(r)$ और

h (r)

$h(r)$ यहाँ अप्रासंगिक हैं। मुझे कोई दिलचस्पी किसी को भी विवरण प्रदान करेगा।) हालांकि, संख्यात्मक परिणाम बताते हैं कि उन असमानताओं कम कठोर सीमा के लिए पकड़, उस के लिए है,

a

$a$ के करीब

r

$r$ मैं साबित कर सकता हूं।

इसलिए, मैं यह जानना चाहता हूं कि क्या कोई प्रमेय या परिणाम है, जो प्रत्येक असमानता (सभी $p$ ) को किन शर्तों के तहत स्थापित करता है ; यही है, जब द्विपद डीएफ को अपने सीमित पॉइसन डीएफ के ऊपर / नीचे होने की गारंटी दी जाती है। यदि ऐसा प्रमेय मौजूद नहीं है, तो सही दिशा में किसी भी विचार या सूचक की सराहना की जाएगी।

कृपया ध्यान दें कि एक समान प्रश्न, अपूर्ण बीटा और गामा फ़ंक्शन के संदर्भ में, math.stackexchange.com में पोस्ट किया गया था, लेकिन कोई जवाब नहीं मिला।

— लुइस मेंडो
स्रोत

यह एक दिलचस्प सवाल है, हालांकि मुझे लगता है कि यह कुछ चीजों को स्पष्ट करने में मदद करेगा, विशेष रूप से "चलती भागों" और जो नहीं हैं। ऐसा लगता है कि आप एक बाउंड चाहते हैं जो प्रत्येक के लिए में समान रूप से रखता है

p

$p$ निश्चित । लेकिन, यहाँ की क्या भूमिका है? यह ज्यादा मायने नहीं रखना चाहिए, लेकिन क्या यह जरूरी है? एक दृष्टिकोण एक पॉइसन प्रक्रिया के प्रतीक्षा समय के संदर्भ में चीजों को देखने और उन्हें अपने द्विपद यादृच्छिक चर के लिए संबद्ध ज्यामितीय प्रतीक्षा समय (प्रत्येक की छत लेने के माध्यम से) के लिए हो सकता है। लेकिन आप जो वर्दी की मांग कर रहे हैं उससे उपज नहीं हो सकती है ।

r

$r$

d

$d$

— कार्डिनल

@cardinal समय निकालने के लिए धन्यवाद। हां, मैं चाहता हूं कि पी में वर्दी एक समान हो। अन्य सभी पैरामीटर निश्चित हैं (लेकिन चयन करने योग्य)। ऐसा ही एक निशुल्क पैरामीटर है। उदाहरण के लिए, एक काल्पनिक परिणाम निम्नानुसार हो सकता है: " से अधिक किसी भी प्राकृतिक और किसी भी , पहली असमानता सभी के लिए रखती और सभी के लिए

d

$d$

r

$r$

2

$2$

d \in (- 1, 1)

$d \in (-1,1)$

a < r - \sqrt{r}

$a < r - \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$ , और दूसरा सभी के लिए और सभी ।

a > r + \sqrt{r}

$a > r + \sqrt{r}$

p \in (0, 1)

$p \in (0,1)$

— लुइस मेंडो

एक स्टीन चेन सिद्धांत है जो त्रुटियों का अनुमान लगाता है जब आप आवश्यक स्वतंत्र बर्नोउलर चर के योग का अनुमान लगाने के लिए पॉइसन आरवी का उपयोग करते हैं। अपने सवाल के बारे में निश्चित नहीं।

— खोया

परिमित , द्विपदीय वितरण ने ऊपर से समर्थन बंद कर दिया है। इसका आकार चयन योग्य हो सकता है ( को चुनकर ) लेकिन यह बंद है। दूसरी ओर, पोइसन वितरण का निर्बाध समर्थन है। हम किसी भी परिमित के लिए, CDF के पर देख रहे हैं के बाद से हम हमेशा होगा के किसी भी अनुमेय मूल्यों के लिए । इसलिए ओपी के बाद की असमानता के लिए स्थितियां हमेशा शामिल होंगी, कम से कम, "के लिए ..."

n

$n$

n

$n$

n

$n$

B (n, p, r = n) = 1 > F (a, n)

$B(n,p,r=n) = 1 > F(a,n)$

p, a

$p,a$

r < n

$r<n$

— एलेकोस पापाडोपोलोस

डिड का जवाब यहां देखें: math.stackexchange.com/questions/37018/…

— एलेक्स आर।

निम्नलिखित के संबंध में:

एक द्विपद जिले का मतलब है $np$
विचरण $np(1-p)$
एक पोइसन डिस्ट का मतलब है , जिसे हम रूप में कल्पना कर सकते हैं $\lambda$ $n\times p$
एक पोइसन का विचरण माध्य के समान होता है

अब, अगर एक पोइसन एक पैरामीटर के साथ द्विपद की सीमा है और , जैसे कि अनंत और करने के लिए बढ़ जाती है शून्य करने के लिए कम हो जाती है, जबकि उनके उत्पाद स्थिर रहता है तो यह सोचते हैं कि, और , उनके संबंधित सीमाओं के अभिसरित नहीं कर रहे हैं अभिव्यक्ति हमेशा से बड़ा है विचरण, इसलिए द्विपद पोइसन की तुलना में कम है। इसका मतलब यह होगा कि द्विपद पूंछ में नीचे और कहीं और ऊपर है। $n$ $p$ $n$ $p$ $n$ $p$ $np$ $np(1-p)$

— Germaniawerks
स्रोत

आपके सहयोग के लिए धन्यवाद। मुझे लगता है कि यह प्रश्न को संबोधित करने में विफल रहता है, हालांकि, क्योंकि (1) ओपी सीडीएफ में रुचि रखता है, पीडीएफ नहीं। (२) वह मात्रात्मक उत्तर माँगता है।

— whuber