सख्त वॉन न्यूमैन असमानता का उदाहरण

Question

चलो एक आकलनकर्ता के Bayes जोखिम निरूपित एक पूर्व के संबंध में , चलो पैरामीटर अंतरिक्ष पर सभी महंतों के सेट को निरूपित , और के सेट को निरूपित सभी (संभवतः यादृच्छिक) निर्णय नियम।$r(\pi, \delta)$$\delta$$\pi$$\Pi$$\Theta$$\Delta$

जॉन वॉन न्यूमैन की न्यूनतम असमानता की सांख्यिकीय व्याख्या बताती है कि

$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) \leq \inf_{\delta\in\Delta}\sup_{\pi\in\Pi} r(\pi, \delta),$$

जब \ Theta और Delta दोनों परिमित हैं , तो कुछ $\delta'$ और \ pi' के लिए गारंटीकृत समानता की गारंटी ।$\pi'$$\Theta$$\Delta$

क्या कोई ठोस उदाहरण प्रदान कर सकता है जहां असमानता सख्त हो?

Comments

नहीं है गणित मंच पर एक विशुद्ध गणितीय उदाहरण ।

— शीआन

Answer 1

सख्त वॉन न्यूमैन असमानता का एक उदाहरण तब होता है जब जोखिम फ़ंक्शन कुछ मानों के लिए निम्न स्थितियों को संतुष्ट करता है (जहां पूर्व मान "कम" है और बाद वाला "उच्च" है):$r$$r_0 < r_1$

$$\begin{matrix} \forall \pi \in \Pi, \exists \delta \in \Delta: & & r(\pi, \delta) = r_0, & & (1) \\[8pt] \forall \delta \in \Delta, \exists \pi \in \Pi: & & r(\pi, \delta) = r_1. & & (2) \end{matrix}$$

पहली शर्त यह कहती है कि पहले की परवाह किए बिना, हमेशा कम जोखिम वाले साथ एक निर्णय नियम होता है , जो । दूसरी स्थिति यह कहती है कि निर्णय नियम की परवाह किए बिना हमेशा उच्च जोखिम देने से पहले कुछ होता है , जो ।$r_0$$\sup_{\pi\in\Pi} \inf_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_0$$r_1$$\inf_{\pi\in\Pi} \sup_{\delta\in\Delta} r(\pi, \delta) = r_1$

इस स्थिति को बताने का एक और तरीका यह है कि कोई निर्णय नियम नहीं है (पूर्व को देखने से पहले चुना गया है) जो प्रत्येक पूर्व के लिए कम जोखिम की गारंटी देता है (कभी-कभी इसका उच्च जोखिम होगा), लेकिन प्रत्येक पूर्व के लिए, कुछ निर्णय नियम है (देखने के बाद चुना गया) पहले) जो कम जोखिम की गारंटी देता है। दूसरे शब्दों में, जोखिम को कम करने के लिए हमें अपने निर्णय नियम को पूर्व में अनुकूलित करने की आवश्यकता है ।

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उदाहरण: इस तरह की स्थिति का एक सरल उदाहरण तब होता है जब आपके पास स्वीकार्य की एक जोड़ी होती है और इस तरह के जोखिम मैट्रिक्स के साथ स्वीकार्य निर्णय नियमों की एक जोड़ी :$\pi_0, \pi_1$$\delta_0, \delta_1$

$$\begin{array}{ll} r(\pi_0, \delta_0) = r_0 & & r(\pi_1, \delta_0) = r_1, \\[6pt] r(\pi_0, \delta_1) = r_1 & & r(\pi_1, \delta_1) = r_0. \\[6pt] \end{array}$$

इस मामले में कोई निर्णय नियम नहीं है जो दोनों पुजारियों पर कम जोखिम की गारंटी देता है, लेकिन प्रत्येक पूर्व के लिए एक निर्णय नियम है जिसमें कम जोखिम है। यह स्थिति उपरोक्त स्थितियों को संतुष्ट करती है जो वॉन न्यूमैन असमानता में सख्त असमानता देती है।