घातीय भारित चलती तिरछापन / कुर्तोसिस

एक प्रक्रिया घातीय मूविंग औसत और मानक विचलन की गणना के लिए जाने-माने ऑन-लाइन फ़ार्मुले हैं $(x_n)_{n=0,1,2,\dots}$ । मतलब के लिए,

$\mu_n = (1-\alpha) \mu_{n-1} + \alpha x_n$

और विचरण के लिए

$\sigma_n^2 = (1-\alpha) \sigma_{n-1}^2 + \alpha(x_n - \mu_{n-1})(x_n - \mu_n)$

जिससे आप मानक विचलन की गणना कर सकते हैं।

क्या घातीय भारित तीसरे और चौथे-केंद्रीय क्षणों की ऑन-लाइन संगणना के समान सूत्र हैं? मेरा अंतर्ज्ञान है कि उन्हें फॉर्म लेना चाहिए

$M_{3,n} = (1-\alpha) M_{3,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1})$

तथा

$M_{4,n} = (1-\alpha) M_{4,n-1} + \alpha f(x_n,\mu_n,\mu_{n-1},S_n,S_{n-1},M_{3,n},M_{3,n-1})$

जिसमें से आप तिरछापन गणना कर सकता है और कुकुदता $\gamma_n = M_{3,n} / \sigma_n^3$ कार्यों के लिए, लेकिन मैं सरल ढूँढने में सक्षम नहीं किया गया है, पूर्ण-सूत्र अभिव्यक्ति और । $k_n = M_{4,n}/\sigma_n^4$ $f$ $g$

संपादित करें: कुछ और जानकारी। मूविंग विचरण के लिए अद्यतन करने का फॉर्मूला घातीय मूविंग कोवेरियन के लिए सूत्र का एक विशेष मामला है, जिसके माध्यम से गणना की जा सकती है

$C_n(x,y) = (1-\alpha) C_{n-1}(x,y) + \alpha (x_n - \bar{x}_n) (y_n - \bar{y}_{n-1})$

जहां और के घातीय चलते साधन हैं और । के बीच विषमता और भ्रामक है, और गायब हो जाता है जब आप उस नोटिस । $\bar{x}_n$ $\bar{y}_n$ $x$ $y$ $x$ $y$ $y-\bar{y}_n = (1-\alpha) (y-\bar{y}_{n-1})$

इस तरह के फॉर्मूले को एक उम्मीद के रूप में रूप में केंद्रीय क्षण लिखकर गणना की जा सकती है , जहां उम्मीद में वजन को घातांक समझा जाता है, और इस तथ्य का उपयोग करते हुए कि किसी भी फ़ंक्शन के लिए हमारे पास है $E_n(\cdot)$ $f(x)$

$E_n(f(x)) = \alpha f(x_n) + (1-\alpha) E_{n-1}(f(x))$

इस संबंध का उपयोग करते हुए माध्य और विचरण के लिए अद्यतन सूत्रों को प्राप्त करना आसान है, लेकिन यह तीसरे और चौथे केंद्रीय क्षणों के लिए अधिक मुश्किल साबित हो रहा है।

moments online kurtosis

— क्रिस टेलर
स्रोत

जवाबों:

सूत्र सीधे हैं, लेकिन वे प्रश्न में सरल नहीं हैं।

Let $Y$ be the previous EWMA and let $X = x_n$ , which is presumed independent of $Y$ . By definition, the new weighted average is $Z = \alpha X + (1 - \alpha)Y$ for a constant value $\alpha$ . For notational convenience, set $\beta = 1-\alpha$ . Let $F$ denote the CDF of a random variable and $\phi$ denote its moment generating function, so that

ϕ_{X} (t) = E_{F} [\exp (t X)] = \int_{R} \exp (t x) d F_{X} (x) .

$\phi_X(t) = \mathbb{E}_F[\exp(t X)] = \int_\mathbb{R}{\exp(t x) dF_X(x)}.$

With Kendall and Stuart, let $\mu_k^{'}(Z)$ denote the non-central moment of order $k$ for the random variable $Z$ ; that is, $\mu_k^{'}(Z) = \mathbb{E}[Z^k]$ $\mu_k^{'}$ $k = 1,2,3,4$ $\mu_3 / \mu_2^{3/2}$

μ_{3} = μ_{3}^{^{'}} - 3 μ_{2}^{^{'}} μ_{1}^{^{'}} + 2 {μ_{1}^{^{'}}}^{3} and μ_{2} = μ_{2}^{^{'}} - {μ_{1}^{^{'}}}^{2}

$\mu_3 = \mu_3^{'} - 3 \mu_2^{'}\mu_1^{'} + 2{\mu_1^{'}}^3 \text{ and }\mu_2 = \mu_2^{'} - {\mu_1^{'}}^2$

are the third and second central moments, respectively.

By standard elementary results,

\begin{aligned} 1 + μ_{1}^{^{'}} (Z) t + \frac{1}{2!} μ_{2}^{^{'}} (Z) t^{2} + \frac{1}{3!} μ_{3}^{^{'}} (Z) t^{3} + \frac{1}{4!} μ_{4}^{^{'}} (Z) t^{4} + O (t^{5}) \\ = ϕ_{Z} (t) \\ = ϕ_{α X} (t) ϕ_{β Y} (t) \\ = ϕ_{X} (α t) ϕ_{Y} (β t) \\ = (1 + μ_{1}^{^{'}} (X) α t + \frac{1}{2!} μ_{2}^{^{'}} (X) α^{2} t^{2} + \dots) (1 + μ_{1}^{^{'}} (Y) β t + \frac{1}{2!} μ_{2}^{^{'}} (Y) β^{2} t^{2} + \dots) . \end{aligned}

$\eqalign{ &1 + \mu_1^{'}(Z) t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Z) t^2 + \frac{1}{3!} \mu_3^{'}(Z) t^3 + \frac{1}{4!} \mu_4^{'}(Z) t^4 +O(t^5) \cr &= \phi_Z(t) \cr &= \phi_{\alpha X}(t) \phi_{\beta Y}(t) \cr &= \phi_X(\alpha t) \phi_Y(\beta t) \cr &= (1 + \mu_1^{'}(X) \alpha t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(X) \alpha^2 t^2 + \cdots) (1 + \mu_1^{'}(Y) \beta t + \frac{1}{2!} \mu_2^{'}(Y) \beta^2 t^2 + \cdots). }$

To obtain the desired non-central moments, multiply the latter power series through fourth order in $t$ and equate the result term-by-term with the terms in $\phi_Z(t)$ .

— whuber
स्रोत

I am having some formula visualization problem, possibly whenever a ' is used, with both IE and Firefox, would you please care checking? Thanks!

— Quartz

@Quartz Thanks for the heads up. This used to display properly, so evidently there has been some change in the processing of the

T E X

$\TeX$ markup. I found a workaround by enclosing all single quotes within braces. (This change has probably broken a few dozen posts on this site.)

— whuber

I think that the following updating formula works for the third moment, although I'd be glad to have someone check it:

$M_{3,n} = (1-\alpha)M_{3,n-1} + \alpha \Big[ x_n(x_n-\mu_n)(x_n-2\mu_n) - x_n\mu_{n-1}(\mu_{n-1}-2\mu_n) - \dots$ $\dots - \mu_{n-1}(\mu_n-\mu_{n-1})^2 - 3(x_n-\mu_n) \sigma_{n-1}^2 \Big]$

Updating formula for the kurtosis still open...

— Chris Taylor
स्रोत

Why the ... in the above formula?

— Chris

Line continuation.

— Chris Taylor

Did your equation prove to be correct? I asked a similar question in R. stats.stackexchange.com/q/234460/70282

— Chris

Did you account for the division by N in the third moment? Skewness is the ratio of the 3rd moment and the standard deviation^3 like so: Skew = m3 / sqrt(variance)^3 The third moment is defined as: m3 = sum( (x-mean)^3 )/n

— Chris