यह वास्तव में एक अच्छा सवाल है जो एक प्रतिगमन की आपकी बुनियादी समझ को चुनौती देता है।
पहले संकेतन के बारे में कोई प्रारंभिक भ्रम निकालें। हम प्रतिगमन देख रहे हैं:
y=b0+b1x+u^
जहाँ और सही और , और प्रतिगमन के अवशेष हैं। ध्यान दें कि अंतर्निहित सत्य और असंबद्ध प्रतिगमन को इस प्रकार दर्शाया गया है:b0b1β0β1यूu^
y=β0+β1x+u
और विचरण की अपेक्षा के साथ । कुछ पुस्तकें को रूप में दर्शाती हैं और हम यहां इस सम्मेलन को अनुकूलित करते हैं। हम मैट्रिक्स नोटेशन का भी उपयोग करते हैं, जहां b 2x1 वेक्टर है जो कि , अर्थात् । (इसके अलावा स्पष्टता के लिए मैं X को निम्न गणनाओं में तय करता हूं।)E[u]=0E[u2]=σ2bβ^β=[β0,β1]′b=[b0,b1]′
अब आपके सवाल पर। सहसंयोजक के लिए आपका सूत्र वास्तव में सही है, जो है:
σ(b0,b1)=E(b0b1)−E(b0)E(b1)=E(b0b1)−β0β1
मुझे लगता है कि आप यह जानना चाहते हैं कि इस फॉर्मूले में हमारे पास असली unobserved गुणांक कैसे हैं? यदि हम सूत्र का विस्तार करके इसे एक कदम आगे बढ़ाते हैं तो वे वास्तव में रद्द हो जाते हैं । यह देखने के लिए, ध्यान दें कि अनुमानक का जनसंख्या विचरण निम्न द्वारा दिया गया है:β0,β1
Var(β^)=σ2(X′X)−1
यह मैट्रिक्स विकर्ण तत्वों में भिन्नता और ऑफ-विकर्ण तत्वों में सहसंयोजन रखता है।
उपरोक्त सूत्र तक पहुंचने के लिए, आइए मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करके अपने दावे को सामान्य करें। इसलिए हम और साथ अपेक्षा का ।Var[⋅]E[⋅]
Var[b]=E[b2]−E[b]E[b′]
अनिवार्य रूप से हमारे पास सामान्य विचरण सूत्र है, बस मैट्रिक्स नोटेशन का उपयोग करना। अनुमानक लिए मानक अभिव्यक्ति में प्रतिस्थापन करते समय समीकरण हल होता है । यह भी मान लें एक निष्पक्ष आकलनकर्ता जा रहा है। इसलिए, हम प्राप्त करते हैं:b=(X′X)−1X′yE[b]=β
E[((X′X)−1X′y)2]−β22×2
ध्यान दें कि हमारे पास दाहिने हाथ की ओर - 2x2 मैट्रिक्स, अर्थात् , लेकिन आप इस बिंदु पर पहले ही अनुमान लगा सकते हैं कि शीघ्र ही इस शब्द के साथ क्या होगा।β2bb′
ऊपर की सही अंतर्निहित डेटा जनरेटिंग प्रक्रिया के लिए हमारी अभिव्यक्ति के साथ जगह , हमारे पास है:y
E[((X′X)−1X′y)2]−β2=E[((X′X)−1X′(Xβ+u))2]−β2=E[((X′X)−1X′X=Iβ+(X′X)−1X′u)2]−β2=E[(β+(X′X)−1X′u)2]−β2=β2+E[(X′X)−1X′u)2]−β2
चूंकि । इसके अलावा, द्विआधारी प्रत्याशित के रूप में रद्द कर देता है।E[u]=0β2
इस प्रकार हमारे पास है:
Var[b]=((X′X)−1X′)2E[u2]
उम्मीदों की रैखिकता द्वारा। ध्यान दें कि और चूँकि एक मैट्रिक्स है और इस प्रकार इसका स्थानान्तरण समान है। अंत में हम पहुंचते हैंE[u2]=σ2((X′X)−1X′)2=(X′X)−1X′X(X′X)′−1=(X′X)−1X′XK×K
Var[b]=σ2(X′X)−1
अब जब हमने सभी शर्तों से छुटकारा पा लिया है । सहज रूप से, अनुमानक का विचरण सच अंतर्निहित गुणांक के मूल्य से स्वतंत्र है, क्योंकि यह एक यादृच्छिक चर से अलग नहीं है। परिणाम मैट्रिक्स में सभी व्यक्तिगत तत्वों के लिए मान्य है, जैसा कि पुस्तक में दिखाया गया है, साथ ही साथ विकर्ण तत्वों के लिए भी मान्य है और क्रमशः रद्द करने के लिए साथ । एकमात्र समस्या यह थी कि आपने विचरण के लिए सामान्य सूत्र लागू किया था जो पहले इस रद्द करने को प्रतिबिंबित नहीं करता है।ββ0β1
अंत में, गुणांकों का विचलन और स्वतंत्र हो जाता है । लेकिन इसका क्या मतलब है? (मेरा मानना है कि आपने सामान्य सहसंयोजक मैट्रिक्स की अधिक सामान्य समझ के लिए भी पूछा है)σ2(X′X)−1β
पुस्तक में सूत्र को देखें। यह केवल इस बात पर जोर देता है कि जब सही अंतर्निहित त्रुटि शब्द अधिक शोर ( बढ़ता है) के लिए अनुमानक का विचरण बढ़ता है, लेकिन जब X का प्रसार बढ़ता है तो घट जाता है। क्योंकि होने अधिक टिप्पणियों सही मूल्य चारों ओर फैले हुए, एक आकलनकर्ता यह सच के करीब अधिक सटीक है और इस तरह सामान्य निर्माण में आप की सुविधा देता है । दूसरी ओर, ऑफ-विकर्ण पर सहसंयोजक शब्द संयुक्त रूप से परिकल्पना परीक्षण में व्यावहारिक रूप से प्रासंगिक हो जाते हैं जैसे कि । इसके अलावा वे वास्तव में एक ठगना का एक सा है। आशा है कि यह सभी प्रश्नों को स्पष्ट करेगा।σ2βb0=b1=0
