एआर (1) विषमलैंगिक माप त्रुटियों के साथ प्रक्रिया

1. समस्या

मैं एक चर के कुछ माप , जहां , जिसके लिए मैं एक वितरण एमसीएमसी, जो सादगी मैं मान लेंगे के लिए मतलब की एक गाऊसी है के माध्यम से प्राप्त और विचरण । $y_t$ $t=1,2,..,n$ $f_{y_t}(y_t)$ $\mu_t$ $\sigma_t^2$

मेरे पास उन टिप्पणियों के लिए एक भौतिक मॉडल है, कहते हैं , लेकिन अवशिष्ट सहसंबद्ध प्रतीत होते हैं; विशेष रूप से, मेरे पास यह सोचने के लिए शारीरिक कारण हैं कि प्रक्रिया सहसंबंध को ध्यान में रखने के लिए पर्याप्त होगी, और मैं एमसीएमसी के माध्यम से फिट के गुणांक प्राप्त करने की योजना बना रहा हूं, जिसके लिए मुझे संभावना की आवश्यकता है । मुझे लगता है कि समाधान सरल है, लेकिन मुझे पूरा यकीन नहीं है (यह इतना आसान लगता है, कि मुझे लगता है कि मुझे कुछ याद आ रहा है)। $g(t)$ $r_t = \mu_t-g(t)$ $AR(1)$

2. संभावना को प्राप्त करना

एक शून्य मतलब प्रक्रिया के रूप में लिखा जा सकता है: मैं कहाँ मान लेंगे । मापदंडों का अनुमान किया जा रहे हैं, इसलिए, (मेरे मामले में, मैं भी मॉडल के मापदंडों जोड़ने के लिए $AR(1)$

X_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t}, (1)

$X_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_t,\ \ \ (1)$

ε_{t} \sim N (0, σ_{w}^{2})

$\varepsilon_t\sim N(0,\sigma_w^2)$

θ = {ϕ, σ_{w}^{2}}

$\theta = \{\phi,\sigma_w^2\}$

g (t)

$g(t)$ , लेकिन यह समस्या नहीं है)। मैं क्या देखते हैं, हालांकि, चर रहा है

जहाँ मैं यह सोचते हैं रहा हूँ

, और

में जाना जाता है (माप त्रुटियों) । क्योंकि

एक गाऊसी प्रक्रिया है,

भी है। विशेष रूप से, मुझे पता है कि

R_{t} = X_{t} + η_{t}, (2)

$R_t = X_t+\eta_t,\ \ \ (2)$

η_{t} \sim N (0, σ_{t}^{2})

$\eta_t\sim N(0,\sigma_t^2)$

σ_{t}^{2}

$\sigma_t^2$

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_t$

इसलिए,

अगली चुनौती

प्राप्त करना

के लिए

। इस यादृच्छिक चर के वितरण को प्राप्त करने के लिए, ध्यान दें कि, eq का उपयोग करना।

मैं

लिख सकता हूं

X_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}]),

$X_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]),$

R_{1} \sim N (0, σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2}) .

$R_1 \sim N(0,\sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2).$

R_{t} | R_{t - 1}

$R_t|R_{t-1}$

t \neq 1

$t\neq 1$

(2)

$(2)$

eq का उपयोग करना।

, और eq की परिभाषा का उपयोग करना।

, मैं, लिख सकते हैं

Eq का उपयोग करना।

इस अंतिम अभिव्यक्ति में, मैं,

X_{t - 1} = R_{t - 1} - η_{t - 1} . (3)

$X_{t-1} = R_{t-1}-\eta_{t-1}.\ \ \ (3)$

(2)

$(2)$

(1)

$(1)$

R_{t} = X_{t} + η_{t} = ϕ X_{t - 1} + ε_{t} + η_{t} .

$R_{t} = X_t+\eta_t = \phi X_{t-1}+\varepsilon_{t}+\eta_t.$

(3)

$(3)$

इस प्रकार,

और इसलिए,

R_{t} = ϕ (R_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_{t} = \phi (R_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$

R_{t} | R_{t - 1} = ϕ (r_{t - 1} - η_{t - 1}) + ε_{t} + η_{t},

$R_t|R_{t-1} = \phi (r_{t-1}-\eta_{t-1})+\varepsilon_{t}+\eta_t,$

अंत में, मैं के रूप में संभावना समारोह लिख सकते हैं

R_{t} | R_{t - 1} \sim N (ϕ r_{t - 1}, σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}) .

$R_t|R_{t-1} \sim N(\phi r_{t-1},\sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}).$

जहां

चर कि मैं सिर्फ परिभाषित, .ie का वितरण, को परिभाषित कर रहे हैं

L (θ) = f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) \prod_{t = 2}^{n} f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}),

$L(\theta) = f_{R_1}(R_1=r_1) \prod_{t=2}^{n} f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1}),$

f (\cdot)

$f(\cdot)$

σ^{' 2} = σ_{w}^{2} / [1 - ϕ^{2}] + σ_{t}^{2},

$\sigma'^2 = \sigma_w^2/[1-\phi^2]+\sigma_t^2,$

और परिभाषित

f_{R_{1}} (R_{1} = r_{1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{' 2}}} exp (- \frac{r_{1}^{2}}{2 σ^{' 2}}),

$f_{R_1}(R_1=r_1) = \frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma'^2}}\text{exp}\left(-\frac{r_1^2}{2\sigma'^2}\right),$

σ^{2} (t) = σ_{w}^{2} + σ_{t}^{2} - ϕ^{2} σ_{t - 1}^{2}

$\sigma^2(t) = \sigma_w^2+\sigma_t^2-\phi^2\sigma^2_{t-1}$

f_{R_{t} | R_{t - 1}} (R_{t} = r_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}) = \frac{1}{\sqrt{2 π σ^{2} (t)}} exp (- \frac{(r_{t} - ϕ r_{t - 1})^{2}}{2 σ^{2} (t)})

$f_{R_{t}|R_{t-1}}(R_t=r_t|R_{t-1}=r_{t-1})=\frac{1}{\sqrt{2\pi \sigma^2(t)}}\text{exp}\left(-\frac{(r_t-\phi r_{t-1})^2}{2\sigma^2(t)}\right)$

3. प्रश्न

क्या मेरी व्युत्पत्ति ठीक है? मेरे पास सिमुलेशन (जो सहमत प्रतीत होता है) के अलावा अन्य की तुलना करने के लिए कोई संसाधन नहीं है, और मैं एक सांख्यिकीविद् नहीं हूं!
$MA(1)$ $ARMA(1,1)$ $ARMA(p,q)$

— Néstor
स्रोत

मेरे पास आपके लिए कोई समाधान नहीं है। लेकिन, मुझे लगता है कि यह एक तरह की एरर-इन वैरिएबल समस्या है। मैंने यह सामग्री मैक्रोइकॉनॉमिक थ्योरी में थॉमस सीरजेंट (1980 की पुस्तक) द्वारा देखी है। आप उस एक को देखना चाह सकते हैं।

— मेट्रिक्स

इनपुट के लिए धन्यवाद, @ मेट्रिक्स। मैं किताब बाहर की जाँच करेंगे!

— नेस्टर

$R_t$ $R_{t-1}$ $\phi r_{t-1}$ $\phi \widehat{x}_{t-1}$ $\widehat{x}_{t-1}$ $X$ $\widehat{x}_{t-1}$ $r_{t-1}$ $\sigma_w$ $\phi$ $X$ $\sigma_{\eta}$ $R$ $X$
$\sigma_{\eta}$ $Z=1$ $d=c=0$ $H_t = \sigma_{\eta,t}^2$ $T=\phi$ $R=1$ $Q=\sigma^2_w$

— जेमी हॉल
स्रोत

X_{t}

$X_t$

R_{t}

$R_{t}$

R_{t} | R_{t - 1} = r_{t - 1}

$R_{t}|R_{t-1}=r_{t-1}$

R_{t} | X_{t - 1} = x_{t - 1}

$R_{t}|X_{t-1}=x_{t-1}$

ϕ {\hat{x}}_{t - 1}

$\phi \hat{x}_{t-1}$

हाय नेस्टर, मैंने आपकी टिप्पणियों का जवाब देने के लिए उत्तर संपादित किया है। उम्मीद है की वो मदद करदे।

— जेमी हॉल

हाय जेमी: दूसरे बिंदु के बारे में, यह ठीक है, धन्यवाद :-)! हालाँकि, मैं अभी भी आपका पहला बिंदु नहीं देख सकता। क्या आप मुझे औपचारिक व्युत्पत्ति की ओर संकेत कर सकते हैं? विशेष रूप से, मैं जानना चाहूंगा कि मेरे तर्क का क्या हिस्सा गलत है (और क्यों)!

— Néstor

X_{1}

$X_1$

R_{1}

$R_1$

N (\frac{σ_{x, 1}^{2}}{(σ_{x, 1}^{2} + σ_{η, 1}^{2})} r_{1}, σ_{x, 2}^{2})

$N(\frac{\sigma^2_{x,1}}{(\sigma^2_{x,1}+\sigma^2_{\eta,1})} r_1, \sigma^2_{x,2})$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{x, 2}^{2}

$\sigma_{x,2}^2$

σ_{x, 1}^{2}

$\sigma_{x,1}^2$

σ_{η, 1}^{2}

$\sigma_{\eta,1}^2$

p (X_{t - 1} | R_{1 : t - 1})

$p(X_{t-1} | R_{1:t-1})$

-1

ईमानदारी से, आपको इसे BUG या STAN में कोड करना चाहिए और वहां से इसकी चिंता नहीं करनी चाहिए। जब तक यह एक सैद्धांतिक सवाल नहीं है।

— DavidShor
स्रोत

(-1) इस प्रतिक्रिया के लिए; यह स्पष्ट रूप से एक सैद्धांतिक सवाल है; ;-) सुधार करने पर विचार करें कि आपको क्यों लगता है कि मुझे इसे BUG या STAN में कोड करना चाहिए और मूल प्रश्न से इसका क्या लेना-देना है?

— नेस्टर