क्या बीटा वितरण के पहले एक संयुग्म है?

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मुझे पता है कि बीटा वितरण द्विपद के लिए संयुग्मित है। लेकिन बीटा से पहले संयुग्म क्या है? धन्यवाद।

beta-distribution conjugate-prior

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ऐसा लगता है कि आप पहले से ही सांत्वना पर छोड़ दिया है। सिर्फ रिकॉर्ड के लिए, एक चीज जो मैंने लोगों को करते हुए देखी है (लेकिन ठीक से याद नहीं है, क्षमा करें) इस तरह से एक पुनर्मूल्यांकन है। यदि सशर्त रूप से iid, दिए गए , जैसे कि , तो याद रखें कि " और इसलिए, आप और संदर्भ में संभावना को फिर से परिभाषित कर सकते हैं और पूर्व के रूप में उपयोग कर सकते हैं $X_1,\dots,X_n$ $\alpha,\beta$ $X_i\mid\alpha,\beta\sim\mathrm{Beta}(\alpha,\beta)$

E [X_{i} ∣ α, β] = \frac{α}{α + β} =: μ

$\mathbb{E}[X_i\mid\alpha,\beta]=\frac{\alpha}{\alpha+\beta} =: \mu$

V a r [X_{i} ∣ α, β] = \frac{α β}{(α + β)^{2} (α + β + 1)} =: σ^{2} .

$\mathbb{Var}[X_i\mid\alpha,\beta] = \frac{\alpha\beta}{(\alpha+\beta)^2(\alpha+\beta+1)} =: \sigma^2 \, .$

μ

$\mu$

σ^{2}

$\sigma^2$

σ^{2} ∣ μ \sim U [0, μ (1 - μ)] μ \sim U [0, 1] .

$\sigma^2\mid\mu \sim \mathrm{U}[0,\mu(1-\mu)] \qquad \qquad \mu\sim\mathrm{U}[0,1] \, .$ अब आप पोस्टीरियर की गणना करने के लिए तैयार हैं और इसे अपने पसंदीदा कम्प्यूटेशनल तरीके से देखें।

— जेन
स्रोत

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नहीं, MCMC नहीं है यह बात! यह बात चतुर्भुज! केवल 2 पैरामीटर - क्वाडरेचर छोटे आयामी पोस्टर के लिए "स्वर्ण मानक" है, दोनों समय और सटीकता के लिए।

— प्रोबेबिलिसलॉजिक

3

एक अन्य विकल्प संबंध है

परिशुद्धता के एक उपाय के रूप में और फिर से उपयोग

ψ = α + β

$\psi = \alpha + \beta$

माध्य के रूप में

। यह डिरिचलेट प्रक्रियाओं के साथ हर समय किया जाता है, और बीटा वितरण एक विशेष मामला है। तो शायद एक गामा या लॉग-सामान्य पर पहले टॉस

और पर वर्दी

।

μ = \frac{α}{α + β}

$\mu = \frac{\alpha}{\alpha + \beta}$

ψ

$\psi$

μ

$\mu$

— लड़का

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यह सुनिश्चित करने के लिए कि यह सही नहीं है?

— आदमी

3

निश्चित रूप से नहीं!

— ज़ेन

हाय @Zen मैं अभी इस समस्या से निपट रहा हूं, लेकिन मैं बायेसियन में नया हूं और अगर विचार को समझ रहा हूं तो निश्चित नहीं हूं। मैं पता लगा है कि आप को खोजने के लिए प्रस्तावित नहीं किए हों

और फिर पुनरावर्तन का उपयोग करें, लेकिन निश्चित रूप से यह विचार नहीं था। क्या आप मुझे समझने में मदद कर सकते हैं?

\int_{0}^{1} \frac{1}{μ (1 - μ} d μ

$\int_{0}^{1}{\frac{1}{\mu(1-\mu}}d\mu$

— लाल शोर

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हाँ, यह घातीय परिवार से पहले एक संयुग्म है। तीन पैरामीटर परिवार पर विचार करें के कुछ मूल्यों के लिएइस समाकलनीय है, हालांकि मैं काफी पता लगा नहीं किया है जो (मेरा मानना है किऔरसे काम करना चाहिए -स्वतंत्र घातीय वितरण से मेल खाती है तो यह निश्चित रूप से काम करता है, और संयुग्म अद्यतन में वृद्धि शामिल है

π (α, β ∣ a, b, p) \propto {\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)}}^{p} \exp (a α + b β) .

$\pi(\alpha, \beta \mid a, b, p) \propto \left\{\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\right\}^p \exp\left(a\alpha + b\beta \right).$

(a, b, p)

$(a, b, p)$

p \geq 0

$p \ge 0$

a < 0, b < 0

$a < 0, b < 0$

p = 0

$p = 0$

तो यह सुझाव

रूप में अच्छी तरह से काम करता है)।

p

$p$

p > 0

$p > 0$

समस्या है, और कारण के कम से कम हिस्से में कोई भी इसे उपयोग करता है, यह है कि यानी सामान्यीकृत स्थिरांक एक क्लोस्ड फॉर्म नहीं है।

\int_{0}^{\infty} \int_{0}^{\infty} {\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)}}^{p} \exp (a α + b β) = ?

$\int_0^\infty \int_0^\infty \left\{\frac{\Gamma(\alpha + \beta)}{\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)}\right\}^p \exp\left(a\alpha + b\beta \right) = ?$

— पुरुष
स्रोत

आह। यह समस्याग्रस्त है। मैं वैसे भी पहले संयुग्म के एक असंक्रामक संस्करण की तलाश करने जा रहा था, इसलिए ऐसा लगता है कि मैं दो मापदंडों पर समान पुजारियों के साथ शुरू कर सकता हूं। धन्यवाद।

— ब्राश इक्विलिब्रियम

अगर आप सिर्फ संभावना की तुलना कर रहे हैं तो आपको इसे सामान्य करने की आवश्यकता नहीं है ...

— नील जी

मुझे लगता है कि आप अपने

में

की कार्रवाई को भी याद कर रहे होंगे । यह शायद होना चाहिए

आदि,

p

$p$

\exp

$\exp$

p a α

$pa\alpha$

— नील जी

@NeilG

में है

, तुम बस के मामले में चीजों को व्यक्त करने के लिए है

के बजाय

। कर

सिर्फ एक reparmetrization है, यह कुछ भी बदल जाता है। सुनिश्चित नहीं हैं कि आपका क्या मतलब है "बस संभावना की तुलना करना"। आप महानगर जैसी किसी चीज़ का उपयोग किए बिना इसके साथ एक गिब्स नमूना लागू नहीं कर सकते हैं, जो सशर्त संयुग्मता के लाभ को मारता है, सामान्यीकरण स्थिर

और

पर निर्भर करता है जो उन पर एक पूर्व डाल देता है या संभावना विधियों द्वारा उन्हें अनुमान लगाता है, आदि। ।

p

$p$

\exp

$\exp$

\log Γ (\dots)

$\log \Gamma(\cdots)$

Γ (\dots)

$\Gamma(\cdots)$

p a α

$pa\alpha$

a

$a$

b

$b$

— लड़का

2

@NeilG अभिन्न खत्म हो गया है

और

के बाद से उन यादृच्छिक परिवर्तनीय हैं।

α

$\alpha$

β

$\beta$

— लड़का

9

में सिद्धांत बीटा वितरण के लिए एक संयुग्मी पहले होना चाहिए। यह है क्योंकि

बीटा वितरण घातीय परिवार वितरण में से एक है , और
सिद्धांत रूप में यह एक पूर्व प्राप्त करने के लिए संभव होना चाहिए। देखें, जैसे, विकिपीडिया , घातीय परिवारों पर डी बेली का व्याख्यान ।

हालांकि व्युत्पत्ति मुश्किल दिखती है, और ए बुचर्ड-कोटे की एक्सपोनेंशियल फैमिलीज और कॉनजेट प्राइजर्स को उद्धृत करना

बनाने के लिए एक महत्वपूर्ण अवलोकन यह है कि यह नुस्खा हमेशा एक संयुग्म पैदा नहीं करता है जो कि कम्प्यूटेशनल रूप से ट्रैक्टेबल है।

इसके अनुरूप, डी फ़िंक के ए कंपेंडियम ऑफ़ कॉन्जुगेट प्राइज़ में बीटा वितरण के लिए कोई पूर्व नहीं है ।

— TooTone
स्रोत

3

व्युत्पत्ति मुश्किल नहीं है - मेरा उत्तर देखें: mathoverflow.net/questions/63496/…

— नील जी

3

मुझे विश्वास नहीं है कि "मानक" (यानी, घातीय परिवार) वितरण है जो बीटा वितरण से पहले संयुग्म है। हालांकि, यदि कोई मौजूद है तो उसे एक द्विभाजित वितरण होना चाहिए।

मुझे इस प्रश्न के बारे में कोई जानकारी नहीं है, लेकिन मुझे यह आसान पूर्ववर्ती नक्शा मिला, जो आपके उत्तर का समर्थन करता प्रतीत होता है: johndcook.com/conjugate_prior_diagram.html

— जस्टिन बोज़ोनियर

पूर्ववर्ती संयुग्मन घातीय परिवार में है और इसके तीन मानदंड हैं - दो नहीं।

— नील जी

1

@ नील, आप निश्चित रूप से सही हैं। मुझे लगता है कि मुझे यह कहना चाहिए था कि इसमें कम से कम दो पैरामीटर होने चाहिए।

-1: यह उत्तर इस दावे में स्पष्ट रूप से गलत है कि "पूर्ववर्ती संयुग्म परिवार में मौजूद नहीं है", जैसा कि ऊपर दिए गए उत्तर में दर्शाया गया है ...

— जन कुक्कैता

3

रॉबर्ट और कैसेला (आरसी) अपनी पुस्तक के उदाहरण 3.6 (पृष्ठ 71 - 75) में बीटा वितरण के संयुग्मित पुजारियों के परिवार का वर्णन करने के लिए होते हैं , आर , स्प्रिंगर, 2010 में मोंटे कार्लो विधियों का परिचय देते हैं। हालांकि, वे उद्धृत किए बिना परिणाम का उद्धरण करते हैं। एक स्रोत।

विवरण के लिए गंग के अनुरोध के जवाब में जोड़ा गया। आर सी राज्य कि वितरण के लिए , संयुग्म पहले है "... फार्म की $B(\alpha, \beta)$

π (α, β) \propto {\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)}}^{λ} x_{0}^{α} y_{0}^{β}

$\pi(\alpha,\beta) \propto \Big\{ \frac{\Gamma(\alpha+\beta)} {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \Big\} ^{\lambda} x_0^{\alpha} y_0^{\beta}$

$\{\lambda, x_0, y_0\}$

π (α, β | x) \propto {\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)}}^{λ} (x x_{0})^{α} ((1 - x) y_{0})^{β} . "

$\pi(\alpha,\beta \vert x) \propto \Big\{ \frac{\Gamma(\alpha+\beta)} {\Gamma(\alpha)\Gamma(\beta)} \Big\} ^{\lambda} (xx_0)^{\alpha} ((1-x)y_0)^{\beta}."$

$\pi(\alpha,\beta \vert x)$ $x$

— user37239
स्रोत

2

π (α, β) \propto {(\frac{Γ (α + β)}{Γ (α) Γ (β)})}^{λ + 1} (x x_{0})^{α - 1} {(y_{0} (1 - x))}^{β - 1}

$\pi(\alpha, \beta) \propto \left( \frac{\Gamma(\alpha+\beta)}{\Gamma(\alpha) \Gamma(\beta)} \right)^{\lambda +1} (x x_0)^{\alpha-1} \left(y_0 (1-x) \right)^{\beta-1}$

1

मैं विनम्रतापूर्वक सलाह देता हूं कि मूल पोस्टर यह इंगित करने के लिए पोस्ट को अपडेट करता है कि पाठ्यपुस्तक में दी गई पोस्ट गलत है, फ्रेड स्कोन की टिप्पणी (जो आसानी से सत्यापित है) के अनुसार।

— आरएमर्फी