घातीय यादृच्छिक चर के लिए बनाए रखने योग्य सहसंबंध

तेजी से वितरित यादृच्छिक चर की जोड़ी के लिए प्राप्य सह-संबंध की सीमा क्या है और है, जहां दर मापदंड हैं? $X_1 \sim {\rm Exp}(\lambda_1)$ $X_2 \sim {\rm Exp}(\lambda_2)$ $\lambda_1, \lambda_2 > 0$

correlation exponential

— QuantIbex
स्रोत

यह प्रश्न यहाँ एक साइड कमेंट से जुड़ा हुआ है ।

— क्वांटिबेक

चलो (resp। ) निरूपित कम (resp। ऊपरी) के बीच प्राप्य संबंध के लिए बाध्य और । और क्रमशः काउंटरमोनोटोनिक और कोमोनोटोनिक (जब देखें) सीमाएं और तक पहुंच जाती हैं $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$ $\rho_{\min}$ $\rho_{\max}$ $X_1$ $X_2$ यहां ) ।

निचला बाउंड
निम्न बाउंड का निर्धारण करने के लिए हम एक जोड़ी काउंटरमोनोटोनिक घातीय चर बनाते हैं और उनके सहसंबंध की गणना करते हैं। $\rho_{\min}$

यहां उल्लेखित आवश्यक और पर्याप्त स्थिति और संभाव्य अभिन्न परिवर्तन यादृच्छिक चर और निर्माण का एक सुविधाजनक तरीका प्रदान करते हैं जैसे कि वे काउंटरमोनोटोनिक हैं। याद रखें कि घातांक वितरण समारोह $X_1$ $X_2$
, इसलिए क्वांटाइल फ़ंक्शन $F(x) = 1 - \exp(-\lambda x)$ । $F^{-1}(q) = -\lambda^{-1}\log (1-q)$

चलो $U\sim U(0, 1)$ एक समान रूप से वितरित यादृच्छिक चर हो, तो भी समान रूप से वितरित किया जाता है और यादृच्छिक परिवर्तनीय $1-U$ मेंक्रमशः और साथ घातीय वितरणहै। इसके अलावा, वे और बाद से काउंटरमनोटोनिक हैं, और फ़ंक्शन

X_{1} = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - U), and X_{2} = - λ_{2}^{- 1} \log (U)

$X_1 = -\lambda_1^{-1}\log (1-U), \quad \text{and } X_2 = -\lambda_2^{-1}\log (U)$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

X_{1} = h_{1} (U)

$X_1 = h_1(U)$

X_{2} = h_{2} (U)

$X_2 = h_2(U)$

क्रमशः बढ़ रहा है और घट रहा है। और

h_{1} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (1 - x)

$h_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$

h_{2} (x) = - λ_{1}^{- 1} \log (x)

$h_2(x)=-\lambda_1^{-1}\log (x)$

अब, और के सहसंबंध की गणना करते हैं । घातीय वितरण के गुणों से हमारे पास , , $X_1$ $X_2$ ${\rm E}(X_1) = \lambda_1^{-1}$ ${\rm E}(X_2) = \lambda_2^{-1}$ , और ${\rm var}(X_1) = \lambda_1^{-2}$ । इसके अलावा, हमारे पास ${\rm var}(X_2) = \lambda_2^{-2}$ जहांहै घनत्व मानक समान वितरण का कार्य। आखिरी समानता के लिए मैं इस पर निर्भर था

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) f_{U} (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} \log (1 - u) \log (u) d u \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - \frac{π^{2}}{6}), \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) f_U(u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \log (1-u) \log (u) {\rm d}u \\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \left (2 - \frac{\pi^2}{6} \right ), \end{align}$

f_{U} (u) \equiv 1

$f_U(u) \equiv 1$ वुल्फरामअल्फा ।

इस प्रकार, ध्यान दें कि निचला बाउंड दरों पर निर्भर नहीं करता है

\begin{aligned} ρ_{min} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} (2 - π^{2} / 6) - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 - π^{2} / 6 \approx - 0.645. \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\min} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} (2 - \pi^2/6 ) - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 - \pi^2/6 \approx −0.645. \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

- 1

$-1$

λ_{1} = λ_{2}

$\lambda_1 = \lambda_2$

$\rho_{\max}$ $X_1 = g_1(U)$ $X_2 = g_2(U)$ $g_1(x)=-\lambda_1^{-1}\log (1-x)$ $g_2(x)=-\lambda_2^{-1}\log (1-x)$ $\lambda_1$ $\lambda_2$

\begin{aligned} E (X_{1} X_{2}) & = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} E {\log (1 - U) \log (1 - U)} \\ = λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} \int_{0}^{1} {\log (1 - u)}^{2} d u \\ = 2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}, \end{aligned}

$\begin{align} {\rm E}(X_1 X_2) &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} {\rm E}\{\log (1-U) \log (1-U)\}\\ &= \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} \int_0^1 \left\{\log (1-u) \right\}^2 {\rm d}u \\ &= 2 \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} , \end{align}$

\begin{aligned} ρ_{max} & = c o r r (X_{1}, X_{2}) \\ = \frac{2 λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1} - λ_{1}^{- 1} λ_{2}^{- 1}}{\sqrt{λ_{1}^{- 2} λ_{2}^{- 2}}} \\ = 1 . \end{aligned}

$\begin{align} \rho_{\max} &= {\rm corr}(X_1, X_2)\\ &= \frac{ 2\lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1} - \lambda_1^{-1} \lambda_2^{-1}}{ \sqrt{\lambda_1^{-2} \lambda_2^{-2}} } \\ &= 1 . \end{align}$

λ_{1}

$\lambda_1$

λ_{2}

$\lambda_2$

— QuantIbex
स्रोत

ρ_{m a x} = 1

$\rho_{max}=1$

X_{1}

$X_1$

X_{2}

$X_2$

\frac{λ_{1}}{λ_{2}} X_{1}

$\frac{\lambda_1}{\lambda_2}X_1$

E x p (λ_{2})

$Exp(\lambda_2)$

X_{2}

$X_2$ ।

— user48713

- 1

$-1$

λ_{1} \neq λ_{2}

$\lambda_1\ne\lambda_2$