डिजाइन मैट्रिक्स में "डिजाइन" का अर्थ?

Question

रैखिक प्रतिगमन में, , को डिज़ाइन मैट्रिक्स क्यों कहा जाता है? क्या X को कला के रूप में कुछ हद तक मनमाने ढंग से डिजाइन या निर्मित किया जा सकता है?$Y= X\beta$$X$$X$

Comments

इस शब्द की उत्पत्ति बहुत पुरानी है, और मेरा मानना ​​है कि प्रयोगों के विश्लेषण में हीन आँकड़ों की उत्पत्ति हुई है; विशेष रूप से, मुझे लगता है कि यह एक्स-मैट्रिक्स वास्तविक प्रायोगिक डिजाइन ( $x$ रूल्स की विशिष्ट सेटिंग्स ) से संबंधित तरीके से संदर्भित है । अगर मुझे एक विशिष्ट संदर्भ मिल सकता है तो मैं उत्तर दूंगा।

— Glen_b -Reinstate Monica

@Glen_b: धन्यवाद! क्या "डिज़ाइन" का इनपुट वेरिएबल पर ट्रांसफ़ॉर्म चुनने के साथ कुछ करना है, ताकि ट्रांसफ़ॉर्म किए गए इनपुट वेरिएबल में आउटपुट वेरिएबल भी लीनियर हो? उदाहरण के लिए, बहुपद प्रतिगमन में डिजाइन मैट्रिक्स?

— टिम

जब आप एक प्रयोग डिजाइन करते हैं तो आप एक्स के मूल्यों को निर्दिष्ट करते हैं $X$।

— whuber

Answer 1

@ NeverKnowsBest की प्रतिक्रिया के अनुरूप एक उदाहरण देने के लिए, विचार करें कि फैक्टरियल प्रयोग में 3 कारक हैं, प्रत्येक को 2 स्तरों के साथ श्रेणीबद्ध चर के रूप में माना जाता है, और प्रत्येक संकेत के भीतर कारक स्तरों के प्रत्येक संभावित संयोजन का परीक्षण किया जाता है। यदि प्रयोग केवल एक बार (कोई प्रतिकृति नहीं) किया गया था, तो इस डिजाइन के लिए रनों की आवश्यकता होगी । निम्नलिखित 8x3 मैट्रिक्स द्वारा रन का वर्णन किया जा सकता है: start जहां पंक्तियाँ रनों का प्रतिनिधित्व करती हैं और कॉलम स्तरों का प्रतिनिधित्व करते हैं कारक: 2 3 = 8 [ 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 0 1 0 1 1 1 1 1 ] [ ए बी सी ]$2^3$$2^3=8$

$$\left[\begin{array}{rr} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} A & B & C \\ \end{array} \right].$$ (पहला स्तंभ कारक A के स्तर को दर्शाता है, दूसरे स्तंभ B को और तीसरे स्तंभ C को)। इसे डिज़ाइन मैट्रिक्स कहा जाता है क्योंकि यह प्रयोग के डिज़ाइन का वर्णन करता है। पहला रन सभी कारकों के 'निम्न' स्तर पर एकत्र किया जाता है, दूसरा रन 'ए' कारक ए के उच्च स्तर पर और कारकों बी और सी के 'निम्न' स्तरों पर एकत्र किया जाता है, और इसी तरह।

AB & AC और BC और ABC \\ \ end {array} \ right]। हालांकि दो मैट्रिक्स संबंधित हैं मैट्रिक्स डिजाइन का वर्णन करता है कि डेटा कैसे एकत्र किया जाता है, जबकि मॉडल मैट्रिक्स का उपयोग प्रयोग के परिणामों का विश्लेषण करने में किया जाता है।[ मैं एक बी सी ए बी ए सी बी सी ए बी सी ]

$$\left[\begin{array}{rr} 1 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 & 1 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]$$ $$\left[\begin{array}{rr} I & A & B & C & AB & AC & BC & ABC \\ \end{array} \right].$$

उद्धरण

मॉन्टगोमरी, डी। (2009)। डिजाइन और प्रयोगों का विश्लेषण, 7 वां संस्करण। जॉन विले एंड संस इंक।

Answer 2

डिज़ाइन किए गए प्रयोगों में हम अक्सर डिज़ाइन मैट्रिक्स बारे में उपद्रव करते हैं जिसमें उन कारकों का स्तर होता है जिन पर हम प्रयोग करते हैं, और मॉडल मैट्रिक्स (यह भी लिखा जाता है कि लेकिन वास्तव में डिज़ाइन मैट्रिक्स का एक फ़ंक्शन) सभी 1 के कॉलम (इंटरसेप्ट टर्म का प्रतिनिधित्व) और डिजाइन मैट्रिक्स के कॉलम के उत्पादों और शक्तियों जैसी चीजों से युक्त (इंटरैक्शन और बहुपद मॉडल की शर्तों जैसी चीजों का प्रतिनिधित्व)। मैं मॉडल मैट्रिक्स में में को ।एक्स एक्स y = एक्स$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{X}$$\mathbf{y} = \mathbf{X}\boldsymbol{\beta}$

प्रयोगों का डिज़ाइन इस बात पर केंद्रित है कि डेटा एकत्र करने से पहले डिज़ाइन मैट्रिक्स और मॉडल मैट्रिक्स का निर्माण कैसे किया जाए। यदि डेटा पहले से ही एकत्र किया गया है तो डिज़ाइन पत्थर में सेट किया गया है लेकिन आप अभी भी मॉडल मैट्रिक्स को बदल सकते हैं। कभी-कभी एक डिज़ाइन किए गए प्रयोग में डिज़ाइन मैट्रिक्स में कुछ निश्चित कॉलम होते हैं जिन्हें कोवरिएट्स कहा जाता है जो नियंत्रित नहीं कर सकते हैं लेकिन आप देख सकते हैं।

कुछ चीजें हैं जो मॉडल और डिजाइन की आपकी पसंद के आधार पर हो सकती हैं ... कुछ पैरामीटर अनुमान लगाने में कठिन हो सकते हैं (अनुमानक के बड़े संस्करण) या आप कुछ मापदंडों का अनुमान लगाने में सक्षम नहीं हो सकते हैं। मैं कहूंगा कि एक उपयुक्त मॉडल पर निर्णय लेना कला के कुछ तत्व हैं, और निश्चित रूप से प्रयोगों को डिजाइन करने के लिए एक कला है।

Comments

यह बहुत मददगार है लेकिन यहाँ "कोवरिएट" पर एक फुटनोट है। कुछ लोग उस शब्द का उपयोग ज्यादा भविष्यवक्ता या स्वतंत्र चर के किसी भी प्रकार के लिए अधिक मोटे तौर पर। (कई अन्य समानार्थी शब्द मौजूद हैं, स्वाभाविक रूप से।)

— निक कॉक्स

(+1) आपके पहले योगदान के लिए बहुत अच्छा है - हमारी साइट पर आपका स्वागत है!

— whuber

Answer 3

इसे एक डिज़ाइन मैट्रिक्स कहा जाता है क्योंकि मैट्रिक्स के कॉलम मॉडल के डिज़ाइन पर आधारित होते हैं। मैं नहीं मानता कि अर्थ में मनमाने ढंग से बनाया जा सकता है कि जल्द ही के रूप में मॉडल पर निर्णय लिया गया है ताकि डिजाइन मैट्रिक्स (मूल रूप से एक में स्तंभ के रूप में हर के लिए आप अनुमान लगाने के लिए कोशिश कर रहे हैं)। हालाँकि, चूंकि मॉडल बिल्डिंग को एक कला माना जा सकता है, मुझे लगता है कि तब डिज़ाइन मैट्रिक्स का निर्माण किया जा सकता है।एक्स एक्स $X$$X$$X$$\beta$

Answer 4

$X$ केवल आपका डेटा है (प्रतिक्रिया चर को घटाता है)। मेरा मानना ​​है कि इसे डिज़ाइन मैट्रिक्स के रूप में संदर्भित किया जाता है क्योंकि यह आपके मॉडल (प्रशिक्षण के माध्यम से) के "डिज़ाइन" को परिभाषित करता है।

क्या X को कला के रूप में कुछ हद तक मनमाने ढंग से डिजाइन या निर्मित किया जा सकता है?

मूल रूप से यह प्रश्न "क्या आप निर्मित डेटा पर प्रशिक्षित एक मॉडल का निर्माण कर सकते हैं" के लिए उबालता है, जिसका उत्तर स्पष्ट रूप से हां है। उदाहरण के लिए, यहां एक मनमाना डिजाइन मैट्रिक्स (डिजाइन वेक्टर, वास्तव में) बनाने का एक तरीका है जो एक पूर्वनिर्धारित ढलान और अवरोधन के साथ एक मॉडल देगा:

design_mat=function(b, a){
  X = runif(100)
  Y = a*X + b
  data.frame(X,Y)
}

df = design_mat(-5, 12.3)

(lm(Y~X, data=df))

Call:
lm(formula = Y ~ X, data = df)

Coefficients:
(Intercept)            X  
       -5.0         12.3  

मेरे उदाहरण में मैंने उदाहरण के लिए रैंडम डिज़ाइन डेटा से प्रतिक्रिया का "निर्माण" किया है, लेकिन आप आसानी से का उपयोग करके यादृच्छिक प्रतिक्रिया से डिज़ाइन मैट्रिक्स का निर्माण कर सकते हैं ।$X = \frac{Y-b}{a}$