बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण की मात्राओं (आइसोलेट्स) का निर्धारण कैसे करें

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मुझे इस बात में दिलचस्पी है कि कोई व्यक्ति बहुभिन्नरूपी वितरण की मात्रा की गणना कैसे कर सकता है। आंकड़ों में, मैंने किसी दिए गए सामान्य वितरण (बाएं) के 5% और 95% मात्राओं को खींचा है। सही बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए, मैं कल्पना कर रहा हूं कि एक एनालॉग एक आइसोलिन होगा जो घनत्व फ़ंक्शन के आधार को घेरता है। नीचे पैकेज का उपयोग करके यह गणना करने के मेरे प्रयास का एक उदाहरण है mvtnorm- लेकिन कोई सफलता नहीं। मुझे लगता है कि यह बहुभिन्नरूपी घनत्व समारोह के परिणामों के एक समोच्च की गणना करके किया जा सकता है, लेकिन मैं सोच रहा था कि क्या कोई अन्य विकल्प ( जैसे , एनालॉग qnorm) है। आपकी सहायता के लिए धन्यवाद।

उदाहरण:

mu <- 5
sigma <- 2 
vals <- seq(-2,12,,100)
ds <- dnorm(vals, mean=mu, sd=sigma)

plot(vals, ds, t="l")
qs <- qnorm(c(0.05, 0.95), mean=mu, sd=sigma)
abline(v=qs, col=2, lty=2)


#install.packages("mvtnorm")
require(mvtnorm)
n <- 2
mmu <- rep(mu, n)
msigma <- rep(sigma, n)
mcov <- diag(msigma^2)
mvals <- expand.grid(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100))
mvds <- dmvnorm(x=mvals, mean=mmu, sigma=mcov)

persp(matrix(mvds,100,100), axes=FALSE)
mvqs <- qmvnorm(0.95, mean=mmu, sigma=mcov, tail = "both") #?

#ex. plot   
png("tmp.png", width=8, height=4, units="in", res=400)
par(mfcol=c(1,2))

#univariate
plot(vals, ds, t="l")
qs <- qnorm(c(0.05, 0.95), mean=mu, sd=sigma)
abline(v=qs, col=2, lty=2)

#multivariate
pmat <- persp(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100), matrix(mvds,100,100), axes=FALSE, shade=TRUE, lty=0)
cont <- contourLines(seq(-2,12,,100), seq(-2,12,,100), matrix(mvds,100,100), levels=0.05^2)
lines(trans3d(cont[[1]]$x, cont[[1]]$y, cont[[1]]$level, pmat), col=2, lty=2)

dev.off()

— बॉक्स में निशान
स्रोत

3

Mathematica.stackexchange.com/questions/21396/… पर एक गणितीय समाधान (और 3D केस के लिए सचित्र) दिया गया है । यह मानता है कि समोच्च स्तर एक ची-चुकता वितरण द्वारा दिए गए हैं।

— whuber

@whuber - क्या आप "क्या मतलब है ..." का प्रदर्शन करते हुए विश्वास करेंगे कि आत्मविश्वास दीर्घवृत्ताकार सहसंयोजक मैट्रिक्स के विलोम का एक समोच्च है? चीयर्स।

— बॉक्स में मार्क

2

यह एक आयाम है, जहां "सहप्रसरण मैट्रिक्स" (एक नमूना वितरण के लिए) एक संख्या है में देखने के लिए सबसे आसान है

, इसलिए इसके उल्टा होता है

, पर एक द्विघात नक्शे के रूप में के बारे में सोचा

के माध्यम से

। स्तर

पर एक समोच्च परिभाषा के अनुसार

का सेट है जिसके लिए

; जो है,

या समतुल्य

s^{2}

$s^2$

1 / s^{2}

$1/s^2$

R^{1}

$\mathbb{R}^1$

x \to x^{2} / s^{2}

$x\to x^2/s^2$

λ

$\lambda$

x

$x$

x^{2} / s^{2} = λ

$x^2/s^2=\lambda$

x^{2} = λ s^{2}

$x^2=\lambda s^2$

। जब

है

एक की quantile

वितरण,

x = \pm \sqrt{λ} s

$x=\pm\sqrt{\lambda}s$

λ

$\lambda$

1 - α

$1-\alpha$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

है

एक की quantile

, वितरण जिस कारण से हम हमेशा की तरह आत्मविश्वास सीमा को ठीक

।

\sqrt{λ}

$\sqrt{\lambda}$

1 - α

$1-\alpha$

t (1)

$t(1)$

\pm t_{1 - α; 1} s

$\pm t_{1-\alpha; 1}s$

— whuber

आप में पहली फार्मूला इस्तेमाल कर सकते हैं इस का चयन करके जवाब

में

इसी अंडाकार प्राप्त करने के लिए

किसी के लिए (लाल धराशायी अपने भूखंडों में लाइन)

α

$\alpha$

(0, 1)

$(0,1)$

S_{α}

$S_\alpha$

x \in R^{2}

$\mathbf{x}\in \mathbb{R}^2$

— user603

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समोच्च रेखा एक दीर्घवृत्त है। इसका कारण यह है कि आपको बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के पीडीएफ में घातांक के तर्क को देखना होगा: आइसोलेट्स एक ही तर्क के साथ रेखाएं होंगी। फिर आपको जहां सहसंयोजक मैट्रिक्स है। यह वास्तव में एक दीर्घवृत्त का समीकरण है; सबसे सरल मामले में, और विकर्ण है, इसलिए आपको मिलता है

(x - μ)^{T} Σ^{- 1} (x - μ) = c

$({\bf x}-\mu)^T\Sigma^{-1}({\bf x}-\mu) = c$

Σ

$\Sigma$

μ = (0, 0)

$\mu=(0,0)$

Σ

$\Sigma$

यदि

विकर्ण नहीं है, तो विकर्ण करके आपको समान परिणाम मिलता है।

{(\frac{x}{σ_{x}})}^{2} + {(\frac{y}{σ_{y}})}^{2} = c

$\left(\frac{x}{\sigma_x}\right)^2+\left(\frac{y}{\sigma_y}\right)^2=c$

Σ

$\Sigma$

अब, आपको ellipse के अंदर (या बाहर) बहुभिन्नरूपी के पीडीएफ को एकीकृत करना होगा और अनुरोध करना होगा कि यह आपके इच्छित मात्रा के बराबर है। मान लीजिए कि आपके क्वांटाइल्स सामान्य नहीं हैं, लेकिन सिद्धांत रूप में अण्डाकार हैं (जैसे कि आप टिम उत्तर बिंदुओं के रूप में उच्चतम घनत्व क्षेत्र, एचडीआर की तलाश कर रहे हैं)। मैं करने के लिए पीडीएफ में चर बदल जाएगा , कोण में एकीकृत और उसके बाद के लिए से करने के लिए $z^2=(x/\sigma_x)^2+(y/\sigma_y)^2$ $z$ $0$ $\sqrt{c}$ तो फिर तुम विकल्प :

1 - α = \int_{0}^{\sqrt{c}} d z \frac{z e^{- z^{2} / 2}}{2 π} \int_{0}^{2 π} d θ = \int_{0}^{\sqrt{c}} z e^{- z^{2} / 2}

$1-\alpha=\int_0^{\sqrt{c}}dz\frac{z\;e^{-z^2/2}}{2\pi}\int_0^{2\pi}d\theta=\int_0^{\sqrt{c}}z\;e^{-z^2/2}$

s = - z^{2} / 2

$s=-z^2/2$

\int_{0}^{\sqrt{c}} z e^{- z^{2} / 2} = \int_{- c / 2}^{0} e^{s} d s = (1 - e^{- c / 2})

$\int_0^{\sqrt{c}}z\;e^{-z^2/2}=\int_{-c/2}^{0}e^sds=(1-e^{-c/2})$

तो सिद्धांत रूप में, आप अंडाकार में केंद्रित देखने के लिए है की eigenvectors से अधिक, अक्ष के साथ और प्रभावी त्रिज्या : $\mu$ $\Sigma$ $-2\ln\alpha$

(x - μ)^{T} Σ^{- 1} (x - μ) = - 2 \ln α

$({\bf x}-\mu)^T\Sigma^{-1}({\bf x}-\mu) = -2\ln{\alpha}$

— chuse
स्रोत

4

आपने बहुभिन्नरूपी सामान्य के बारे में पूछा, लेकिन सामान्य रूप से "एक बहुभिन्नरूपी वितरण की मात्रा" के बारे में पूछने के साथ अपना प्रश्न शुरू किया। आपके प्रश्न के उदाहरण और प्रदान किए गए उदाहरण से ऐसा लगता है कि आप उच्चतम घनत्व वाले क्षेत्रों में रुचि रखते हैं । उन्हें Hyndman (1996) द्वारा निम्नलिखित के रूप में परिभाषित किया गया है

$f(z)$ $X$ $100( 1 - \alpha )\%$ $R(f_\alpha)$ $X$

$R (f_{α}) = {x : f (x) \geq f_{α}}$ $R(f_\alpha) = \{ x : f(x) \geq f_\alpha\}$
$f_\alpha$ $\Pr(X \in R(f_\alpha)) \geq 1 - a$

$Y = f(x)$ , then you can obtain $f_\alpha$ such that $\Pr(f(x) \geq f_\alpha) \geq 1 - \alpha$ simply by taking $\alpha$ quantile of $Y$ . It can be estimated using sample quantiles from a set of observations $y_1,...,y_m$ . The method applies even if we do not know $f(x)$ , but have only a set of i.i.d. observations. This method would work also for multimodal distributions.

Hyndman, R.J. (1996). Computing and graphing highest density regions. The American Statistician, 50(2), 120-126.

— Tim
स्रोत

2

The correct answer should be $-2*\ln(\alpha)$ . There was a mistake in the calculation above. The corrected version:

\int_{0}^{\sqrt{c}} z e^{- z^{2} / 2} = \int_{- c / 2}^{0} e^{s} d s = (1 - e^{- c / 2})

$\int_0^\sqrt{c} z e^{-z^2/2} =\int_{-c/2}^0e^sds=(1-e^{-c/2})$

— chunjiw
स्रोत

1

You could draw an ellipses corresponding to Mahalanobis distances.

library(chemometrics)
data(glass)
data(glass.grp)
x=glass[,c(2,7)]
require(robustbase)
x.mcd=covMcd(x)
drawMahal(x,center=x.mcd$center,covariance=x.mcd$cov,quantile=0.90)

Or with circles around 95%, 75%, and 50% of data

drawMahal(x,center=x.mcd$center,covariance=x.mcd$cov,quantile=c(0.95,.75,.5))

— daisy
स्रोत

4

Welcome to the site @user98114. Can you provide some text to explicate what this code is doing & how it resolves the OP's issue?

— gung - Reinstate Monica