प्रश्न दिनांकित है, लेकिन मुझे लगता है कि यह बहुत महत्वपूर्ण है। सबसे अच्छा उत्तर मुझे जोप जे होक्स (2010) की पुस्तक "मल्टीलेवल एनालिसिस टेक्निक्स एंड एप्लीकेशंस, द्वितीय संस्करण" से मिला है।
मान लीजिए कि निम्नतम स्तर पर व्याख्यात्मक चर और उच्चतम स्तर पर व्याख्यात्मक चर के साथ दो-स्तरीय पदानुक्रमित डेटा है। फिर, 55 पेज पर, वह लिखते हैं:क्यूpq
समान डेटा के लिए एक साधारण एकल-स्तरीय प्रतिगमन मॉडल केवल अवरोधन, एक त्रुटि विचरण और p + q प्रतिगमन ढलानों का अनुमान लगाता है। बहुस्तरीय प्रतिगमन मॉडल की श्रेष्ठता स्पष्ट है, अगर हम यह मानते हैं कि डेटा समूहों में क्लस्टर किए गए हैं। यदि हमारे पास 100 समूह हैं, तो प्रत्येक समूह में अलग-अलग एक साधारण एकाधिक प्रतिगमन मॉडल का आकलन करने के लिए अलग से 100 × (1 प्रतिगमन अवरोधन + 1 अवशिष्ट विचरण + पी प्रतिगमन ढलान) के साथ-साथ q समूह-स्तरीय चर के साथ संभावित इंटरैक्शन की आवश्यकता होती है। बहुस्तरीय प्रतिगमन समूहों के पार एक औसत अवरोधन प्लस इसके अवशिष्ट विचरण का अनुमान लगाकर 100 इंटरसेप्ट्स का आकलन करता है, इन अवशिष्टों के लिए एक सामान्य वितरण मानता है। इस प्रकार, बहुस्तरीय प्रतिगमन विश्लेषण दो मापदंडों (अंतर का माध्य और विचरण), और एक सामान्यता धारणा का अनुमान लगाकर 100 अलग-अलग अनुमानों की जगह लेता है। उसी सरलीकरण का उपयोग प्रतिगमन ढलानों के लिए किया जाता है। व्याख्यात्मक चर पुतली लिंग के लिए 100 ढलानों का आकलन करने के बजाय, हम समूहों में इसके विचरण के साथ औसत ढलान का अनुमान लगाते हैं, और मान लेते हैं कि ढलानों का वितरण सामान्य है। फिर भी, व्याख्यात्मक चर की एक मामूली संख्या के साथ, बहुस्तरीय प्रतिगमन विश्लेषण एक जटिल मॉडल का अर्थ है। आम तौर पर, हम पूर्ण मॉडल का अनुमान नहीं लगाना चाहते हैं, पहले क्योंकि यह हमें कम्प्यूटेशनल समस्याओं में ले जाने की संभावना है, लेकिन यह भी क्योंकि इस तरह के एक जटिल मॉडल की व्याख्या करना बहुत मुश्किल है।
वह वर्णन के लिए है। अब 29-30 पृष्ठ आपके प्रश्न का अधिक सटीक उत्तर देंगे।
100 वर्ग के लिए अनुमानित इंटरसेप्ट और ढलान उन मूल्यों के समान नहीं हैं जिन्हें हम प्राप्त करेंगे यदि हमने 100 साधारण कक्षाओं में से प्रत्येक में 100 अलग-अलग साधारण प्रतिगमन विश्लेषण किए, जो मानक सामान्य न्यूनतम वर्ग (ओएलएस) तकनीकों का उपयोग करते हैं। यदि हम परिणामों को 100 अलग-अलग ओएलएस प्रतिगमन विश्लेषणों से बहुस्तरीय प्रतिगमन विश्लेषण से प्राप्त मूल्यों की तुलना करने के लिए थे, तो हम पाएंगे कि अलग-अलग विश्लेषणों के परिणाम अधिक परिवर्तनशील हैं। ऐसा इसलिए है क्योंकि 100 वर्गों के प्रतिगमन गुणांक के बहुस्तरीय अनुमानों का भार है। उन्हें तथाकथित अनुभवजन्य बे (ईबी) या संकोचन अनुमान कहा जाता है: प्रत्येक वर्ग में विशिष्ट ओएलएस अनुमान का एक भारित औसत और सभी समान वर्गों के लिए अनुमानित कुल प्रतिगमन गुणांक।
नतीजतन, प्रतिगमन गुणांक पूरे डेटा सेट के लिए वापस गुणांक की ओर सिकुड़ जाता है। संकोचन भार अनुमानित गुणांक की विश्वसनीयता पर निर्भर करता है। छोटे सटीकता के साथ अनुमानित गुणांक बहुत सटीक रूप से अनुमानित गुणांक से अधिक सिकुड़ते हैं। अनुमान की सटीकता दो कारकों पर निर्भर करती है: समूह नमूना आकार, और समूह-आधारित अनुमान और समग्र अनुमान के बीच की दूरी। छोटे समूहों के लिए अनुमान कम विश्वसनीय हैं, और बड़े समूहों के लिए अनुमानों से अधिक सिकुड़ते हैं। अन्य चीजें समान होने के कारण, अनुमान जो समग्र अनुमान से बहुत दूर हैं, उन्हें कम विश्वसनीय माना जाता है, और वे अनुमान से अधिक सिकुड़ते हैं जो समग्र औसत के करीब हैं। उपयोग की जाने वाली सांख्यिकीय पद्धति को अनुभवजन्य बेस अनुमान कहा जाता है। इस संकोचन प्रभाव के कारण, अनुभवजन्य बेस अनुमानक पक्षपाती हैं। हालांकि, वे आमतौर पर अधिक सटीक होते हैं, एक संपत्ति जो अक्सर निष्पक्ष होने से अधिक उपयोगी होती है (केंडल, 1959 देखें)।
मुझे आशा है कि यह संतोषजनक है।