कुछ विरोधाभासों का परीक्षण: क्या यह काफी कठिन समस्या है, या नहीं?

मैंने इसे Mathoverflow में पोस्ट किया और किसी का जवाब नहीं:

सांख्यिकीय रूप से महत्वपूर्ण विरोधाभासों की पहचान के लिए शेफ़ी की विधि व्यापक रूप से ज्ञात है। साधन के बीच एक विपरीत , आबादी का एक रैखिक संयोजन है जिसमें , और इसके विपरीत एक स्केलर मल्टीपल अनिवार्य रूप से एक ही कंट्रास्ट होता है, इसलिए कोई कह सकता है कि कॉन्ट्रास्ट का सेट एक अनुमानित स्थान है। शेफ़े की विधि एक शून्य परिकल्पना का परीक्षण करती है जो कहती है कि इन आबादी के बीच सभी विरोधाभास , और एक महत्व स्तर दिया गया है, संभावना साथ शून्य परिकल्पना को अस्वीकार करता है $\mu_i$ $i=1,\ldots,r$ $r$ $\sum_{i=1}^r c_i \mu_i$ $\sum_{i=1}^r c_i=0$ $r$ $0$ $\alpha$ $\alpha$ यह बताया कि अशक्त परिकल्पना सत्य है। और यदि शून्य परिकल्पना को खारिज कर दिया जाता है, तो शेफ़े बताते हैं कि उनका परीक्षण हमें बताता है कि से काफी भिन्नताएं हैं (मुझे यकीन नहीं है कि विकिपीडिया लेख मैं उस बिंदु से जुड़ा हुआ हूं)। $0$

मैं जानना चाहूंगा कि क्या कोई अलग तरह की स्थिति में कुछ ऐसा कर सकता है। एक साधारण रैखिक प्रतिगमन मॉडल पर विचार करें , जहां , । $Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$ $\varepsilon_i\sim\operatorname{i.i.d.}N(0,\sigma^2)$ $i=1,\ldots,n$

अशक्त परिकल्पना मैं चिंताओं पर एक अलग प्रकार के विपरीत विचार करना चाहता हूं। इसमें कहा गया है कोई सबसेट ऐसी है कि के लिए और के लिए , जहाँ । यदि सबसेट को पहले से निर्दिष्ट किया जाता है, तो एक साधारण दो-नमूना -est करता है, लेकिन हम ऐसा कुछ चाहते हैं जो सभी सबसेट पर विचार करता है और एक सच्चे शून्य परिकल्पना को खारिज करने की संभावना रखता है। $A\subseteq\lbrace 1,\ldots,n\rbrace$ $E(Y_i) = \alpha_1 + \beta x_i$ $i\in A$ $E(Y_i) = \alpha_2 + \beta x_i$ $i\not\in A$ $\alpha_1\ne\alpha_2$ $A$ $t$

यदि दक्षता कोई चिंता का विषय नहीं है, तो यह पता लगा सकते हैं: एक परीक्षण खोजें जो सभी संभावनाओं से गुजरता है। तब भी यह समस्याग्रस्त है; दो विरोधाभास स्वतंत्र नहीं होंगे। मैंने इस बारे में एक विशेषज्ञ से पता लगाने को कहा और उन्होंने कहा कि यह एक बुरा सपना है। फिर मैंने पूछा कि क्या कोई यह साबित कर सकता है कि ऐसा करने का कोई कारगर तरीका नहीं है, शायद एनपी-कठिन समस्या को कम करके। उसने सिर्फ इतना कहा कि वह एनपी-कठिन समस्याओं से दूर रहता है। $2^{n-1}-1$

तो: क्या कोई यह साबित कर सकता है कि यह समस्या "कठिन" है या यह नहीं है?

— माइकल हार्डी
स्रोत

(+1) एमओ संस्करण से स्पष्टीकरण के लिए एक टिप्पणी की प्रतिलिपि बनाना : स्पष्टीकरण का एक छोटा बिंदु: जैसा कि मैंने इसे पढ़ा है, आपकी शून्य परिकल्पना के तहत योग्य है लेकिन और ( की परवाह किए बिना नहीं करते हैं । क्या आपका यही इरादा है? (यह सवाल में किए गए कुछ अन्य गठजोड़ों से मेल नहीं खाता।)

(α_{1}, α_{2}, α_{3}) = (1, 2, 3)

$(\alpha_1, \alpha_2, \alpha_3) = (1,2,3)$

(1, 2, 2)

$(1,2,2)$

(1, 1, 1)

$(1,1,1)$

β

$\beta$

— कार्डिनल

जैसा कि ऊपर कहा गया है, शून्य परिकल्पना यह होगी कि हमें केवल एक , और वैकल्पिक परिकल्पना यह है कि हमें दो की आवश्यकता है। मुझे नहीं पता कि आपको तीसरा क्यों मिला है। एक भी वैकल्पिक की परिकल्पना बनाम सिर्फ एक की अशक्त परिकल्पना पर विचार कर सकता है , और शायद यही मैं इसके बजाय करना चाहिए।

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— माइकल हार्डी

धन्यवाद। शायद मैं के रूप में मॉडल के मूल बयान से बंद फेंक दिया गया था

, मैं कहाँ ले लिया के लिए एक संभावित टाइपो होने के लिए (क्योंकि यह बाद में भिन्न करने की अनुमति दी गई थी)।

Y_{i} = α + β x_{i} + ε_{i}

$Y_i = \alpha + \beta x_i + \varepsilon_i$

α

$\alpha$

α_{i}

$\alpha_i$

— कार्डिनल

ठीक है, निश्चित रूप से अगर वह में है निर्भर यह एक से अधिक parametrized मॉडल है, और एक आम तौर पर एक "सरल रेखीय प्रतीपगमन मॉडल" कहता है क्या की तरह सभी में नहीं होगा।

α

$\alpha$

i

$i$

— माइकल हार्डी

ध्यान दिया कि अभी तक किसी ने भी इस सवाल का जवाब नहीं दिया है ...

$Z$

y_{i} = α + β x_{i} + γ z_{i} + ϵ_{i}

$y_i = \alpha + \beta x_i + \gamma z_i + \epsilon_i$

y_{i} = α + β x_{i} + ϵ_{i} .

$y_i = \alpha + \beta x_i + \epsilon_i.$

f (z) \geq t .

$f(z) \ge t.$ यह सेट विभाजन समस्या का एक प्रकार है, जिसे एनपी-हार्ड के रूप में जाना जाता है।

— user3697176
स्रोत

क्या सेट विभाजन की समस्या वास्तव में इस समस्या को कम कर सकती है? यदि हां, तो यह साबित होगा कि यह एक कठिन समस्या है।

${}\qquad{}$

— माइकल हार्डी

यह समस्या कम से कम क्लासिक सेट विभाजन समस्या (SPP) के रूप में कठिन है। एसपीपी वज़न का एक रैखिक संयोजन लेता है और एक अभिव्यक्ति प्राप्त करने के लिए उन्हें +/- 1 से गुणा करने की कोशिश करता है जो 0. के लिए गाया जाता है। यहां आप एक असमानता को संतुष्ट करना चाहते हैं। यदि यह मनमाने ढंग से आदानों के लिए बहुपद समय में हल कर रहे थे, तो एक दलील तर्क से पता चलता है कि आप बहुपद समय में भी एसपीपी को हल कर सकते हैं। यह बिल्कुल कमी नहीं है, लेकिन यह करीब है।

— user3697176