बहुभिन्नरूपी मानक सामान्य वितरण और गौसियन कोप्युला के बीच अंतर

मुझे आश्चर्य है कि मल्टीवेरेट मानक सामान्य वितरण और गौसियन कोप्युला के बीच क्या अंतर है जब से मैं घनत्व फ़ंक्शन को देखता हूं, वे मेरे लिए समान लगते हैं।

मेरा मुद्दा यह है कि गॉसियन कोप्युला क्यों पेश किया जाता है या गॉसियन कोप्युला से क्या लाभ होता है या इसकी श्रेष्ठता क्या है जब गौसियन कोप्युला एक बहुभिन्नरूपी मानक सामान्य कार्य के अलावा कुछ भी नहीं है।

इसके अलावा कोपूला में संभाव्यता अभिन्न परिवर्तन के पीछे की अवधारणा क्या है? मेरा मतलब है कि हम जानते हैं कि एक कोपला एक समान परिवर्तनशील चर है। एकरूप होना क्यों जरूरी है? बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण जैसे वास्तविक डेटा का उपयोग क्यों न करें और सहसंबंध मैट्रिक्स को खोजें? (आम तौर पर हम उनके संबंधों पर विचार करने के लिए दो संपत्ति रिटर्न की साजिश करते हैं, लेकिन जब यह कोप्युला होता है, तो हम हमें प्लॉट करते हैं जो इसके बजाय संभावनाएं हैं।)

एक और सवाल। मुझे यह भी संदेह है कि क्या एमवीएन से सहसंबंध मैट्रिक्स गैर-पैरामीट्रिक या अर्ध-पैरामीट्रिक हो सकता है जैसे कोपूला (कोपूला पैरामीटर के लिए केंडल के ताऊ, आदि हो सकते हैं)

मैं आपकी मदद के लिए बहुत आभारी रहूँगा क्योंकि मैं इस क्षेत्र में नया हूँ। (लेकिन मैंने बहुत सारे पेपर पढ़े हैं और ये केवल वही चीजें हैं जो मुझे समझ में नहीं आईं)

normal-distribution copula

— user26979
स्रोत

आप "घनत्व फ़ंक्शन को कैसे देख रहे हैं"? आप एक ऐसी विधि का उपयोग नहीं कर सकते हैं जो काफी संवेदनशील है। उदाहरण के लिए, घनत्व सामान्य रूप से सामान्य रूप से बहुभिन्नरूपी नहीं है जब मार्जिन सामान्य नहीं होते हैं! एक साथ एक गाऊसी योजक का उपयोग कर बाहर इस प्रयास करें बहुविध इस तरह के एक बीटा के रूप में, वितरण

(1 / 2, 1 / 2)

$(1/2,1/2)$ : कि निश्चित तौर पर गैर-सामान्य देखने के लिए चाहिए!

— whuber

समीकरण (6) है द्विचर गाऊसी योजक CDF iopscience.iop.org/2041-8205/708/1/L9/fulltext/... जबकि वर्णन खंड की पहली समीकरण द्विचर मानक सामान्य CDF है roguewave.com/portals/0/products/ imsl-numerical-l पुस्तकालयों /… और जब हम उन्हें एक साथ तुलना करते हैं, तो कार्यात्मक रूप बहुत समान है। वैसे वे मेरे लिए बिल्कुल एक जैसे हैं।

— user26979

आप सही हैं: यही कारण है कि आपको यादृच्छिक इंटरनेट संदर्भों पर भरोसा नहीं करना चाहिए, विशेष रूप से खराब परिभाषित शर्तों और भयानक टाइपसेटिंग के साथ। नेल्सन से परामर्श करें (आपके पहले लिंक के लिए स्रोतों में से एक, और उल्लेखनीय रूप से पठनीय)।

— whuber

इसलिए, यदि ऊपर दिए गए उल्लेख का उल्लेख नहीं है, तो आपके विचार में क्या अंतर है?

— user26979

तकनीकी कागजात के बारे में एक सामान्य नियम - विशेष रूप से वेब पर पाए जाने वाले - यह है कि उनमें दी गई किसी भी सांख्यिकीय या गणितीय परिभाषा की विश्वसनीयता कागज के शीर्षक में उल्लिखित असंबद्ध गैर-सांख्यिकीय विषयों की संख्या के साथ भिन्न होती है। पहले संदर्भ में पृष्ठ का शीर्षक (प्रश्न के लिए एक टिप्पणी में) "वित्त से ब्रह्मांड विज्ञान: बड़े पैमाने की संरचना का कोप्युला" है। "वित्त" और "कॉस्मोलॉजी" दोनों ही प्रमुखता से दिखाई दे रहे हैं, हम इस बात को लेकर निश्चिंत हो सकते हैं कि यह पुलिसकर्मियों की जानकारी का अच्छा स्रोत नहीं है!

इसके बजाय मुख्य परिभाषाओं के लिए एक मानक और बहुत ही सुलभ पाठ्यपुस्तक, रोजर नेल्सन का परिचय परिचय (द्वितीय संस्करण, 2006) में बदल देते हैं।

... प्रत्येक कोप्युला मार्जिन के साथ एक संयुक्त वितरण समारोह है जो [बंद इकाई अंतराल । $[0,1]]$

[पी पर। 23, नीचे।]

कोप्युले में कुछ अंतर्दृष्टि के लिए, पुस्तक के पहले प्रमेय की ओर मुड़ें, स्केलर प्रमेय :

चलो मार्जिन के साथ एक संयुक्त वितरण समारोह होना और । फिर एक कॉपुला मौजूद जैसे कि सभी में [विस्तारित वास्तविक संख्याओं में], $H$ $F$ $G$ $C$ $x,y$
$H (x, y) = C (F (x), G (y)) .$ $H(x,y) = C(F(x),G(y)).$

[पेज 18 और 21 पर बताया गया।]

हालाँकि नेल्सन इसे ऐसे नहीं कहते हैं, लेकिन वे एक उदाहरण में गौसियन कोप्युला को परिभाषित करते हैं :

... अगर मानक (univariate) सामान्य बंटन फ़ंक्शन को दर्शाता है और $\Phi$ मानक द्विचर सामान्य बंटन फ़ंक्शन (पियर्सन की उत्पाद-पल सहसंबंध गुणांक के साथ अर्थ है ), तो ... $N_\rho$ $\rho$
$C (u, v) = \frac{1}{2 π \sqrt{1 - ρ^{2}}} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (u)} \int_{- \infty}^{Φ^{- 1} (v)} \exp [\frac{- (s^{2} - 2 ρ s t + t^{2})}{2 (1 - ρ^{2})}] d s d t$ $C(u,v) = \frac{1}{2\pi\sqrt{1-\rho^2}}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(u)}\int_{-\infty}^{\Phi^{-1}(v)}\exp\left[\frac{-\left(s^2-2\rho s t + t^2\right)}{2\left(1-\rho^2\right)}\right]dsdt$

[पी पर। 23, समीकरण 2.3.6]। अंकन से यह तत्काल है कि इस वास्तव में के लिए संयुक्त वितरण है जब द्विचर सामान्य है। अब हम बिलकुल पलट गया और हो सकता है एक नया द्विचर वितरण का निर्माण किसी भी वांछित (निरंतर) सीमांत वितरण होने और जिसके लिए इस केवल के इन घटनाओं की जगह योजक है, द्वारा और $C$ $(u,v)$ $(\Phi^{-1}(u), \Phi^{-1}(v))$ $F$ $G$ $C$ $\Phi$ $F$ :ऊपर के सहकर्मियों के लक्षण वर्णन मेंइसविशेष को लें। $G$ $C$

तो हाँ, उल्लेखनीय एक द्विचर सामान्य वितरण के लिए फार्मूले की तरह इस लगता है, क्योंकि यह है तब्दील चर के लिए द्विचर सामान्य । जब भी और पहले से ही (univariate) नॉर्मल CDF नहीं होते हैं, तो ये ट्रांसफ़ॉर्मेशन नॉनलाइन होगा, परिणामस्वरूप वितरण सामान्य (इन मामलों में) bivariate सामान्य नहीं है। $(\Phi^{-1}(F(x)),\Phi^{-1}(G(y)))$ $F$ $G$

उदाहरण

चलो एक बीटा के लिए वितरण समारोह होना चर और वितरण समारोह एक गामा के लिए चर । पूर्ववर्ती निर्माण का उपयोग करके हम संयुक्त वितरण निर्माण कर सकते हैं $F$ $(4,2)$ $X$ $G$ $(2)$ $Y$ $H$ एक गौसियन कोप्युला और मार्जिन और साथ । इस वितरण को चित्रित करने के लिए, यहाँ और अक्षों पर इसकी द्विभाजित घनत्व का एक आंशिक प्लॉट दिया गया है : $F$ $G$ $x$ $y$

Plot

$0\le x \le 1$ $0 \le y$

समरूपता की कमी इसे स्पष्ट रूप से गैर-सामान्य (और सामान्य मार्जिन के बिना) बनाती है, लेकिन इसके पास निर्माण द्वारा गौसियन कोप्युला है। FWIW का एक सूत्र है और यह बदसूरत है, यह भी स्पष्ट रूप से सामान्य नहीं है:

\frac{1}{\sqrt{3}} 2 (20 (1 - x) x^{3}) (e^{- y} y) \exp (w (x, y))

$\frac{1}{\sqrt{3}}2 \left(20 (1-x) x^3\right) \left(e^{-y} y\right) \exp \left(w(x,y)\right)$

$w(x,y)$

{erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))^{2} - \frac{2}{3} {(\sqrt{2} {erfc}^{- 1} (2 (Q (2, 0, y))) - \frac{{erfc}^{- 1} (2 (I_{x} (4, 2)))}{\sqrt{2}})}^{2}) .

$\text{erfc}^{-1}\left(2 (Q(2,0,y))^2-\frac{2}{3} \left(\sqrt{2} \text{erfc}^{-1}(2 (Q(2,0,y)))-\frac{\text{erfc}^{-1}(2 (I_x(4,2)))}{\sqrt{2}}\right)^2\right).$

$Q$ $I_x$

— व्हीबर
स्रोत

संपादित करने के लिए धन्यवाद, @ कार्डिनल: मैं नेल्सन के नाम को याद करने के बारे में शर्मिंदा हूं, खासकर जब मैं इसे पुस्तक के मोर्चे पर सही देख रहा था! (मेरे बचाव में, मैं पहली बार यह ओपी के संदर्भित कागज, जहां यह भी गलत लिखा गया है की ग्रंथ सूची में देखा था: कि मेरे साथ अटक होना आवश्यक है :-)।

— whuber

यह इतनी मामूली बात थी, मुझे लगा कि मैं अभी आगे जाकर संपादन करूंगा। वर्तनी असामान्य है (कम से कम अंग्रेजी में!), विशेष रूप से अधिक सामान्य संस्करण की तुलना में। :-)

— कार्डिनल