पोइसन वितरण के लिए अधिकतम संभावना के लिए अनुमानक के विचरण का पता लगाना

Question

अगर $K_1, \dots, K_n$ पैरामीटर के साथ iid पॉइसन वितरण हैं $\beta$ मैंने काम किया है कि अधिकतम संभावना अनुमान है

$$\hat\beta (k_1, \dots, k_n) = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n k_i$$ डेटा के लिए $k_1, \dots, k_n$। इसलिए हम संबंधित अनुमानक को परिभाषित कर सकते हैं $$T = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n K_i .$$ मेरा सवाल यह है कि आप इस अनुमानक के विचरण को कैसे काम करेंगे?

विशेष रूप से, प्रत्येक के रूप में $K_i$ पैरामीटर के साथ एक पॉइसन वितरण का अनुसरण करता है $\beta$ मुझे पता है, पोइसन के गुणों से, कि वितरण $\sum_{i=1}^n K_i$ पैरामीटर के साथ एक पॉइसन वितरण का पालन करेगा $n \beta$, लेकिन क्या वितरण है $T$?

Comments

आपको इसके वितरण की आवश्यकता नहीं है $T$केवल भिन्नताओं के मूल गुणों के लिए इसके विचरण को काम करने के लिए।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

Answer 1

$T$ वितरित किया जाता है ... एक पॉइसन चर के रूप में बढ़ाया $n$। इसलिए का विचरण$T$ है $1/n^2 \times n\beta$।

Answer 2

उसे याद रखो

$$\mathbb{Var}\left(\sum_{i=1}^n a_i X_i\right) = \sum_{i=1}^n a_i^2\,\mathbb{Var}(X_i) + 2 \sum_{1\leq i<j\leq n} a_i\,a_j\,\mathbb{Cov}(X_i X_j) \, ,$$ हमेशा। लेकिन, यदि$X_i$स्वतंत्र हैं, का मूल्य क्या है $\mathbb{Cov}(X_i X_j)$? बस आपको सवाल का जवाब देने की जरूरत है।