क्या इस डेटासेट पर पीसीए के बराबर दो समान डेटासेट के बीच सीसीए है?

Question

दो यादृच्छिक वैक्टर और लिए विहित सहसंबंध विश्लेषण (सीसीए) के बारे में विकिपीडिया को पढ़ते हुए , मैं सोच रहा था कि क्या मुख्य घटक एन्सिलिसिस (पीसीए) रूप में सीसीए के समान है ?$X$$Y$$X=Y$

Comments

कृपया इसे और अधिक स्पष्ट करें: 1) vectors X and Yक्या यह दो चर (डेटा के स्तंभ) या दो मामले (पंक्तियाँ) हैं? यह देखते हुए कि हम चर का विश्लेषण करने जा रहे हैं। 2) X and Y are the sameक्या आप यह कहना चाहते हैं कि एक्स = वाई या किसी अन्य तरीके से गोल?

— 15'13

@ttnphns: 1) और दो यादृच्छिक वैक्टर हैं। वे यादृच्छिक चर के दो वैक्टर हैं, डेटा के स्तंभों के दो सेट, दो मामले (पंक्तियाँ) नहीं। 2) । $X$$Y$$X=Y$

— टिम

यदि प्रत्येक सेट में एक एकल चर होता है, तो एक विहित संबंध है, जो वास्तव में उनके बीच पियर्सन आर है; और CCA Y द्वारा X का रैखिक प्रतिगमन बन जाता है और इसके विपरीत। पीसीए के माध्यम से उस आर का अपघटन एक और कहानी है। पीसीए और सीसीए अलग-अलग विश्लेषण हैं।

— ttnphns 15:15 पर

नमस्ते, @ टिम, मैं सोच रहा हूँ कि क्या मेरा उत्तर उपयोगी था या यदि आप अभी भी कुछ और प्रश्न पूछना चाहते हैं? यदि हां, तो मुझे स्पष्ट करने में खुशी होगी।

— अमीबा

@amoeba: हाँ, यह है। मेरे पास अभी और प्रश्न नहीं हैं, और मैं आपके उत्तर को बाद में पढ़ूंगा। आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। + 1

— टिम

Answer 1

चलो $\bf X$ होना $n\times p_1$ तथा $\bf Y$ होना $n \times p_2$ डेटा मैट्रिक्स, दो डेटासेट का प्रतिनिधित्व करता है $n$ नमूने (यानी अपने यादृच्छिक पंक्ति वैक्टर के अवलोकन $X$ तथा $Y$) उनमें से प्रत्येक में।

CCA एक रैखिक संयोजन की तलाश करता है $p_1$ में चर $\bf X$ और का एक रैखिक संयोजन $p_2$ में चर $\bf Y$इस तरह कि वे एक दूसरे के बीच अधिकतम सहसंबद्ध हैं; फिर यह पहली जोड़ी के साथ शून्य सहसंबंध की कमी के तहत अगली जोड़ी की तलाश करता है; आदि।

यदि $\mathbf{X} = \mathbf{Y}$ (तथा $p_1=p_2 = p$), एक डेटासेट में किसी भी रैखिक संयोजन का परस्पर संबंध होगा $1$किसी अन्य डेटासेट में समान रैखिक संयोजन के साथ। इसलिए सभी सीसीए जोड़े में सहसंबंध होंगे$1$, और जोड़े का क्रम मनमाना है। एकमात्र शेष बाधा यह है कि रैखिक संयोजनों को एक दूसरे के बीच असंबंधित किया जाना चाहिए। चुनने के लिए अनंत तरीके हैं$p$असंबद्ध रेखीय संयोजन (ध्यान दें कि वज़न को ऑर्थोगोनल होने की ज़रूरत नहीं है$p$-डिमेक्टिव स्पेस) और उनमें से कोई भी एक वैध CCA समाधान का उत्पादन करेगा। ऐसा ही एक तरीका वास्तव में पीसीए द्वारा दिया गया है, क्योंकि किसी भी दो पीसी में सहसंबंध शून्य है।

तो पीसीए समाधान वास्तव में एक वैध सीसीए समाधान होगा, लेकिन इस मामले में समान रूप से अच्छा सीसीए समाधान की एक अनंत संख्या है।

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गणितीय रूप से, CCA सही लगता है ($\mathbf a$) और चला गया ($\mathbf b$) के विलक्षण वैक्टर $\mathbf C_{XX}^{-1/2} \mathbf C_{XY} \mathbf C_{YY}^{-1/2}$, जो इस मामले में बराबर है $\mathbf I$किसी भी वेक्टर के साथ एक आइजनवेक्टर है। इसलिए$\mathbf a=\mathbf b$मनमाना हो सकता है। CCA तब रैखिक संयोजन भार प्राप्त करता है$\mathbf C_{XX}^{-1/2} \mathbf a$ तथा $\mathbf C_{YY}^{-1/2} \mathbf b$। इस मामले में यह एक मनमाना आधार लेने और इसे बदलने के लिए उबलता है$\mathbf C_{XX}^{-1/2}$, जो वास्तव में असंबद्ध दिशाओं का उत्पादन करेगा ।