क्या टी टेस्ट और वन-वे एनोवा दोनों वॉल्ड टेस्ट हैं?

11

परीक्षण के लिए टी-परीक्षण कि क्या सामान्य रूप से वितरित नमूना के माध्य के बराबर होता है, नमूना के सामान्य वितरण के फिशर की जानकारी के नमूने के मानक विचलन का आकलन करके, एक वाल्ड परीक्षण कहा जाता है। लेकिन टी टेस्ट में टेस्ट स्टैटिस्टिक का स्टूडेंट टी डिस्ट्रीब्यूशन होता है, जबकि वाल्ड टेस्ट में स्टैटिस्टिक टेस्ट में एसिम्पोटिकली ची-स्क्वायर डिस्ट्रीब्यूशन होता है। मुझे आश्चर्य है कि कैसे समझाऊं?

एक-तरफ़ा एनोवा में, टेस्ट स्टेटिस्टिक को क्लास-विचरण और भीतर-वर्ग विचरण के बीच के अनुपात के रूप में परिभाषित किया गया है। मैं सोच रहा था कि क्या यह भी वल्ड टेस्ट है? लेकिन एक-तरफ़ा एनोवा में टेस्ट स्टेटिस्टिक का एफ वितरण है, और एक वाल्ड टेस्ट में टेस्ट स्टेटिस्टिक का एक वर्ग-वर्ग वितरण है। मुझे आश्चर्य है कि कैसे समझाऊं?

धन्यवाद एवं शुभकामनाएँ!

hypothesis-testing anova

— टिम
स्रोत

17

निम्नलिखित सेटअप पर विचार करें। हमारे पास एक -डायमेंशनल पैरामीटर वेक्टर है जो मॉडल को पूरी तरह से निर्दिष्ट करता है और अधिकतम-संभावना अनुमानक । फिशर जानकारी in the को दर्शाया गया है । जिसे आमतौर पर वल्ड स्टेटिस्टिक कहा जाता है $p$ $\theta$ $\hat{\theta}$ $\theta$ $I(\theta)$

(\hat{θ} - θ)^{टी} मैं (\hat{θ}) (\hat{θ} - θ)

$(\hat{\theta} - \theta)^T I(\hat{\theta}) (\hat{\theta} - \theta)$

जहां फिशर जानकारी का अधिकतम-संभावित अनुमानक में मूल्यांकन किया गया है। नियमितता की शर्तों के तहत, वाल्ड स्टैटिस्टिकम aymptotically a -distribution with -degrees of स्वतंत्रता के साथ पालन करता है जब Theta true पैरामीटर होता है। वाल्ड स्टैटिस्टिक का उपयोग पूरे पैरामीटर वेक्टर पर एक साधारण परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है । $I(\hat{\theta})$ $\chi^2$ $p$ $\theta$ $H_0 : \theta = \theta_0$

साथ फिशर जानकारी उलटा परिकल्पना की वाल्ड परीक्षण आंकड़ा है इसका स्पर्शोन्मुख वितरण स्वतंत्रता की 1 डिग्री के साथ एक -distribution है। $\Sigma(\theta) = I(\theta)^{-1}$ $H_0 : \theta_1 = \theta_{0,1}$

\frac{({\hat{θ}}_{1} - θ_{0, 1})^{2}}{Σ (\hat{θ})_{मैं मैं}} ।

$\frac{(\hat{\theta}_1 - \theta_{0,1})^2}{\Sigma(\hat{\theta})_{ii}}.$

χ^{2}

$\chi^2$

सामान्य मॉडल के लिए जहां माध्य और विचरण मापदंडों का सदिश है, परीक्षण का आँकड़ा परीक्षण है यदि के साथ नमूने का आकार। यहाँ (जहां आप विभाजित करते हैं ) का अधिकतम-संभावित अनुमानक है । टेस्ट आंकड़ा है जहां विचरण के निष्पक्ष आकलनकर्ता (जहां से विभाजित है ) । वाल्ड टेस्ट स्टेटिस्टिक लगभग है लेकिन के वर्ग के बराबर नहीं है $\theta = (\mu, \sigma^2)$ $\mu = \mu_0$

\frac{n (\hat{μ} - μ_{0})^{2}}{{\hat{σ}}^{2}}

$\frac{n(\hat{\mu} - \mu_0)^2}{\hat{\sigma}^2}$

n

$n$

{\hat{σ}}^{2}

$\hat{\sigma}^2$

σ^{2}

$\sigma^2$

n

$n$

t

$t$

\frac{\sqrt{n} (\hat{μ} - μ_{0})}{रों}

$\frac{\sqrt{n}(\hat{\mu} - \mu_0)}{s}$

s^{2}

$s^2$

n - 1

$n-1$

t

$t$ -टेस्ट स्टैटिस्टिस्टिक, लेकिन वे रूप से समतुल्य होते हैं । स्क्वेर्ड -टेस्ट स्टेटिस्टिक में एक सटीक -डिस्टेविशन होता है, जो कि -distribution के साथ 1 डिग्री की स्वतंत्रता के लिए ।

n \to \infty

$n \to \infty$

t

$t$

F (1, n - 1)

$F(1, n-1)$

χ^{2}

$\chi^2$

n \to \infty

$n \to \infty$

एक ही तरह की एनोवा में -टेस्ट के संबंध में एक ही कहानी है । $F$

— NRH
स्रोत

धन्यवाद! मैंने अभी पाया कि टी टेस्ट स्टेटिस्टिक का निर्माण सीधे संभावना अनुपात टेस्ट स्टेटिस्टिक पर किया जाता है, वाल्ड टेस्ट स्टेटिस्टिक पर नहीं। क्या एक तरफ़ा एनोवा सीधे संभावना अनुपात परीक्षण पर आधारित है?

— टिम

3

@ टीआईएम, एनोवा में इस्तेमाल किए जाने वाले वे सामान्य त्रुटि वितरण के आधार पर संभावना अनुपात परीक्षणों के बराबर हैं।

F

$F$

— NRH

धन्यवाद! सामान्य सांख्यिकीय मॉडल के तहत, कुछ यह भी कहते हैं कि वाल्ड परीक्षण सांख्यिकीय के एक मामूली संशोधन के वितरण में शून्य के तहत एक एफ वितरण है। क्या यह सच है? मैं यहां

— टिम

13

@ एनआरएच ने एक अच्छा सैद्धांतिक जवाब दिया, यहां एक है जो सरल, अधिक सहज होने का इरादा रखता है।

औपचारिक वाल्ड परीक्षण है (एनआरएच द्वारा उत्तर में वर्णित), लेकिन हम उन परीक्षणों का भी उल्लेख करते हैं जो अनुमानित पैरामीटर के बीच अंतर को देखते हैं और वाल्ड शैली परीक्षण के रूप में अनुमानित पैरामीटर पर भिन्नता के सापेक्ष मूल्य परिकल्पित है। इसलिए टी-टेस्ट जैसा कि हम आमतौर पर इसका इस्तेमाल करते हैं, यह एक वाल्ड स्टाइल टेस्ट है, भले ही यह सटीक वाल्ड टेस्ट ( बनाम अंतर) से थोड़ा अलग हो $n$ $n-1$ एक वर्गमूल के अंदर)। हम एक अनुमानित मेडियन माइनस के आधार पर एक वाल्ड स्टाइल टेस्ट भी डिजाइन कर सकते हैं, जिसे IQR के एक फंक्शन से विभाजित किया गया है, लेकिन मुझे नहीं पता कि यह किस डिस्ट्रीब्यूशन का पालन करेगा, यह बूटस्ट्रैप, क्रमपरिवर्तन, या सिम्युलेटेड का उपयोग करना बेहतर होगा। ची-वर्ग एसिम्पोटिक्स पर निर्भर होने के बजाय इस परीक्षण के लिए वितरण। एनोवा के लिए एफ-परीक्षण सामान्य पैटर्न के साथ-साथ फिट बैठता है, अंश को एक समग्र माध्यम से साधनों के अंतर को मापने के रूप में सोचा जा सकता है और भाजक भिन्नता का एक उपाय है।

यह भी ध्यान दें कि यदि आप वितरण पर आने वाले एक यादृच्छिक चर को वर्ग करते हैं तो यह अंश के लिए 1 df के साथ F वितरण का अनुसरण करेगा और भाजक df t वितरण से होगा। यह भी ध्यान दें कि अनंत हर डीएफ के साथ एक एफ वितरण एक ची-स्क्वायर वितरण है। तो इसका मतलब है कि टी-स्टेटिस्टिक (स्क्वैयरेड) और एफ स्टैटिस्टिक दोनों ही वॉल्ट स्टेटिस्टिक की तरह ही अस्वाभाविक रूप से ची-स्क्वेयर हैं। हम व्यवहार में अधिक सटीक वितरण का उपयोग करते हैं।

— ग्रेग हिमपात
स्रोत