K के उत्पाद का भिन्न सहसंबद्ध यादृच्छिक चर

सहसंबद्ध यादृच्छिक चर के उत्पाद का विचरण क्या है ? $k$

variance random-variable

जवाबों:

इस विषय पर आपसे अधिक जानकारी की आवश्यकता शायद गुडमैन (1962) में देखी जा सकती है : "द वेरिएंट ऑफ द प्रोडक्ट ऑफ के रैंडम वेरिएबल्स" , जो स्वतंत्र यादृच्छिक चर और संभावित रूप से सहसंबद्ध यादृच्छिक चर दोनों के लिए कुछ निहितार्थों के साथ सूत्र प्राप्त करता है। पहले के एक पेपर ( गुडमैन, 1960 ) में, दो यादृच्छिक चर के उत्पाद का सूत्र प्राप्त किया गया था, जो कुछ हद तक सरल है (हालांकि अभी भी बहुत सुंदर है), ताकि यदि आप व्युत्पत्ति को समझना चाहते हैं तो शुरू करने के लिए एक बेहतर जगह हो सकती है। ।

पूर्णता के लिए, हालांकि, यह इस तरह से जाता है।

दो चर

निम्नलिखित मान लें:

$x$ और दो यादृच्छिक चर हैं $y$
$X$ और उनकी (गैर-शून्य) अपेक्षाएं हैं $Y$
$V(x)$ और उनके संस्करण हैं $V(y)$
$\delta_x = (x-X)/X$ (और इसी तरह ) $\delta_y$
$D_{i,j} = E \left[ (\delta_x)^i (\delta_y)^j\right]$
$\Delta_x = x-X$ (और इसी तरह ) $\Delta_y$
$E_{i,j} = E\left[(\Delta_x)^i (\Delta_y)^j\right]$
$G(x)$ भिन्नता का वर्ग गुणांक है: (इसी तरह ) $V(x)/X^2$ $G(Y)$

तब: या समकक्ष:

V (x y) = (X Y)^{2} [G (y) + G (x) + 2 D_{1, 1} + 2 D_{1, 2} + 2 D_{2, 1} + D_{2, 2} - D_{1, 1}^{2}]

$V(xy) = (XY)^2[G(y) + G(x) + 2D_{1,1} + 2D_{1,2} + 2D_{2,1} + D_{2,2} - D_{1,1}^2]$

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2}

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2$

दो से अधिक चर

1960 का पेपर बताता है कि यह पाठक के लिए एक अभ्यास है (जो 1962 के पेपर के लिए प्रेरित हुआ है!)।

संकेतन समान है, कुछ एक्सटेंशन के साथ:

$(x_1, x_2, \ldots x_n)$ और बजाय यादृच्छिक चर हो सकते हैं $x$ $y$
$M = E\left( \prod_{i=1}^k x_i \right)$
$A = \left(M / \prod_{i=1}^k X_i\right) - 1$
$s_i$ = 0, 1, या 2 के लिए $i = 1, 2, \ldots k$
$u$ = 1 की संख्या $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$m$ = 2 की संख्या $(s_1, s_2, \ldots s_k)$
$D(u,m) = 2^u - 2$ लिए और फॉर , $m=0$ $2^u$ $m>1$
$C(s_1, s_2, \ldots, s_k) = D(u,m) \cdot E \left( \prod_{i=1}^k \delta_{x_i}^{s_i} \right)$
$\sum_{s_1 \cdots s_k}$ के संकलन को इंगित करता है के सेट जहां $3^k - k -1$ $(s_1, s_2, \ldots s_k)$ $2m + u > 1$

फिर, लंबे समय तक:

V (\prod_{i = 1}^{k} x_{i}) = \prod X_{i}^{2} (\sum_{s_{1} \dots s_{k}} C (s_{1}, s_{2} \dots s_{k}) - A^{2})

$V\left(\prod_{i=1}^k x_i\right) = \prod X_i^2 \left( \sum_{s_1 \cdots s_k} C(s_1, s_2 \ldots s_k) - A^2\right)$

विवरण के लिए कागजात देखें और थोड़ा अधिक ट्रैफ़िक सन्निकटन!

— मैट क्रूस
स्रोत

कृपया ध्यान दें, कि मैट क्रूस के उपरोक्त उत्तर में एक गलती के साथ-साथ पेपर भी शामिल है। फ़ंक्शन सी (एस 1, ..., एसके) की परिभाषा में यह राशि के बजाय एक उत्पाद होना चाहिए।

— निकोलस गिस्लर

क्या आप थोड़ा और विस्तृत कर सकते हैं ..? "क्योंकि मैं - इंटरनेट से एक गुमनाम व्यक्ति - कहते हैं तो" नहीं वास्तव में एक जवाब है ...

— टिम

यदि आप स्वतंत्र यादृच्छिक चर के लिए विचरण संस्करण (x * y) प्राप्त करने का प्रयास करते हैं, तो मनमाने ढंग से k के लिए सूत्र के माध्यम से आप देख सकते हैं कि केवल एक उत्पाद और एक योग आपको सही उत्तर नहीं देता है। इसके अलावा, यदि आप कागज को देखते हैं, तो आप इसे भी देख सकते हैं, कागज के पृष्ठ 59 पर (कम से कम मेरे संस्करण में) उन्होंने एक राशि के बजाय एक उत्पाद का उपयोग किया।

— निकोलस गिस्लर 14

दो यादृच्छिक चर के मामले के लिए, दो सहसंबद्ध यादृच्छिक चर के उत्पाद के विचरण के लिए एक आसानी से पढ़ा जाने वाला सूत्र इस उत्तर में @macro द्वारा पाया जा सकता है । यह उत्तर में आवश्यक समस्या को भी इंगित अर्थात, संकेतन की मोटाई आवश्यक तथ्य को है कि इसमें ऐसे शब्द हैं जिनका मूल्य तब तक निर्धारित नहीं किया जा सकता है जब तक कि हम कोव को नहीं जानते , या इस मात्रा को निर्धारित करने के लिए दो यादृच्छिक चर के संयुक्त घनत्व के बारे में पर्याप्त है।

V (x y) = X^{2} V (y) + Y^{2} V (x) + 2 X Y E_{1, 1} + 2 X E_{1, 2} + 2 Y E_{2, 1} + E_{2, 2} - E_{1, 1}^{2},

$V(xy) = X^2V(y) + Y^2V(x) + 2XYE_{1,1} + 2XE_{1,2} + 2YE_{2,1} + E_{2,2} - E_{1,1}^2,$

(x^{2}, y^{2})

$(x^2,y^2)$

— दिलीप सरवटे

एक संपादित सुझाव, जो वास्तव में एक टिप्पणी होना चाहिए था, ने सुझाव दिया कि मूल पेपर में एक टाइपो था जिसमें एक राशि और उत्पाद मिलाया गया था और इस उत्तर में संशोधन किया जाना चाहिए। देखें stats.stackexchange.com/review/suggested-edits/83662

— silverfish

सिर्फ मैट क्रूस के भयानक जवाब में जोड़ने के लिए (वास्तव में आसानी से वहाँ से व्युत्पन्न)। यदि x, y स्वतंत्र हैं, तो

\begin{aligned} E_{1, 1} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])] = C o v (x, y) = 0 \\ E_{1, 2} & = E [(x - E [x]) (y - E [y])^{2}] \\ = E [x - E (x)] E [(y - E [y])^{2}] \\ = (E [x] - E [x]) E [(y - E [y])^{2}] = 0 \\ E_{2, 1} & = 0 \\ E_{2, 2} & = E [(x - E [x])^{2} (y - E [y])^{2}] \\ = E [(x - E [x])^{2}] E [(y - E [y])^{2} \\ = V [x] V [y] \\ V [x y] & = E [x]^{2} V [y] + E [y]^{2} V [x] + V [x] V [y] \end{aligned}

$\begin{equation*} \begin{split} E_{1,1} &= E[(x-E[x])(y-E[y])] = Cov(x,y) = 0\\ E_{1,2} &= E[(x-E[x])(y-E[y])^2] \\ &= E[x-E(x)]E[(y-E[y])^2] \\ &= (E[x]-E[x])E[(y-E[y])^2]=0\\ E_{2,1} &= 0\\ E_{2,2} &= E[(x-E[x])^2(y-E[y])^2]\\ &= E[(x-E[x])^2]E[(y-E[y])^2\\ &= V[x]V[y]\\ V[xy] &= E[x]^2 V[y] + E[y]^2 V[x] + V[x]V[y] \end{split} \end{equation*}$

— आनंदा
स्रोत

स्वतंत्र यादृच्छिक चर के मामले के लिए परिणाम यहां चर्चा की गई है ।

n

$n$

— दिलीप सरवटे

मैट द्वारा दिए गए सामान्य सूत्र के अलावा, यह ध्यान देने योग्य हो सकता है कि शून्य माध्य गॉसियन यादृच्छिक दंतकथाओं के लिए कुछ अधिक स्पष्ट सूत्र है। यह Isserlis 'प्रमेय से चलता है , केन्द्रित बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण के लिए उच्चतर क्षण भी देखें ।

मान लीजिए कि एक बहुभिन्नरूपी सामान्य वितरण का अर्थ है 0 और सहसंयोजक मैट्रिक्स । यदि चर की संख्या विषम है, तो और जहां अर्थ कि सभी विभाजनों के योग में असमान जोड़े से प्रत्येक के साथ एक उत्पाद है। इसी 's, और कहाँ $(x_1, \ldots, x_k)$ $\Sigma$ $k$ $E\left(\prod_i x_i\right) = 0$

V (\prod_{i} x_{i}) = E (\prod_{i} x_{i}^{2}) = \sum \prod {\tilde{Σ}}_{i, j}

$V\left(\prod_i x_i\right) = E\left( \prod_i x_i^2\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j}$

Σ \prod

$\Sigma \prod$

{1, \dots, 2 k}

$\{1, \ldots, 2k\}$

k

$k$

{i, j}

$\{i, j\}$

k

$k$

{\tilde{Σ}}_{i, j}

$\tilde{\Sigma}_{i,j}$

\tilde{Σ} = (\begin{array}{cc} Σ & Σ \\ Σ & Σ \end{array})

$\tilde{\Sigma} = \left( \begin{array}{cc} \Sigma & \Sigma \\ \Sigma & \Sigma \end{array} \right)$ के लिए सहसंयोजक मैट्रिक्स है । यदि सम है, तो मामले में हमें यदि हमें जहां योग में 15 शब्द हैं।

(x_{1}, \dots, x_{k}, x_{1}, \dots, x_{k})

$(x_1, \ldots, x_k, x_1, \ldots, x_k)$

k

$k$

वी (\underset{मैं}{Π} {एक्स}_{मैं}) = Σ Π {\tilde{Σ}}_{मैं, जे} - {(Σ Π Σ_{मैं, जे})}^{2} ।

$V\left(\prod_i x_i\right) = \sum \prod \tilde{\Sigma}_{i,j} - \left(\sum \prod \Sigma_{i,j}\right)^2.$

k = 2

$k = 2$

वी ({एक्स}_{1} {एक्स}_{2}) = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + 2 (Σ_{1, 2})^{2} - Σ_{1, 2}^{2} = Σ_{1, 1} Σ_{2, 2} + (Σ_{1, 2})^{2} ।

$V(x_1x_2) = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + 2 (\Sigma_{1,2})^2 - \Sigma_{1,2}^2 = \Sigma_{1,1} \Sigma_{2,2} + (\Sigma_{1,2})^2.$

k = 3

$k = 3$

वी ({एक्स}_{1} {एक्स}_{2} {एक्स}_{3}) = Σ Σ_{मैं, जे} Σ_{क, एल} Σ_{आर, टी},

$V(x_1x_2x_3) = \sum \Sigma_{i,j}\Sigma_{k,l}\Sigma_{r,t},$

यह वास्तव में, सामान्य सूत्र को लागू करना संभव है। सबसे कठिन हिस्सा आवश्यक विभाजन की गणना प्रतीत होता है। आर में, यह setpartsपैकेज से फ़ंक्शन के साथ किया जा सकता है partitions। इस पैकेज का उपयोग करके के लिए 2,027,025 विभाजन उत्पन्न करने में कोई समस्या नहीं थी , लिए 34,459,425 विभाजन भी उत्पन्न हो सकते हैं, लेकिन (मेरे 16 जीबी लैपटॉप पर) के लिए 654,729,075 विभाजन नहीं । $k = 8$ $k = 9$ $k = 10$

कुछ अन्य बातें ध्यान देने योग्य हैं। सबसे पहले, गैर-शून्य के साथ गाऊसी चर के लिए इसका मतलब यह होना चाहिए कि एक अभिव्यक्ति को इस्सेर्लिस या प्रमेय से भी प्राप्त किया जा सकता है। दूसरा, यह स्पष्ट नहीं है (मेरे लिए) अगर उपरोक्त सूत्र सामान्यता से विचलन के खिलाफ मजबूत है, अर्थात, यदि इसका उपयोग एक सन्निकटन के रूप में किया जा सकता है, भले ही चर सामान्य रूप से वितरित न हों। तीसरा, यद्यपि उपरोक्त सूत्र सही हैं, यह संदिग्ध है कि उत्पादों के वितरण के बारे में विचरण कितना बताता है। यहां तक कि के लिए उत्पाद का वितरण काफी लेप्टोकोर्टिक है, और बड़े यह जल्दी से अत्यंत लेप्टोकोर्टिक हो जाता है। $k = 2$ $k$

— NRH
स्रोत

नीट दृष्टिकोण! इसके लायक क्या है, मेरे जवाब में सूत्र में एक संयोजन झटका भी है: सी पर योग में शब्द शामिल हैं।

O (3^{k})

$O(3^k)$

— मैट क्रूस