एक Dirichlet प्रक्रिया में एकाग्रता पैरामीटर पर एक पूर्व डाल

Question

यदि आप पहले से ही Dirichlet प्रक्रिया मिश्रण के बारे में पर्याप्त जानते हैं तो इसमें से अधिकांश पृष्ठभूमि है । मान लीजिए कि मैं कुछ डेटा को Dirichlet प्रक्रियाओं के मिश्रण से आ रहा हूं, अर्थात$F \sim \mathcal D(\alpha H)$और पर सशर्त मान लें$F$

$$Y_i \stackrel {iid}{\sim} \int f(y | \theta) F(d\theta).$$

यहाँ और पूर्व आधार माप है। यह पता चला है कि अगर प्रत्येक अवलोकन , यदि मैं संबंधित अव्यक्त जानता हूं, तो इस मॉडल में की संभावना जहां के अलग-अलग मानों की संख्या है (यादृच्छिक माप लगभग निश्चित रूप से असतत है)। एस्कोबार और वेस्ट ने गामा से पहले नमूने लिए निम्नलिखित योजना विकसित की है ; सबसे पहले, वे लिखते हैं$\alpha > 0$$\alpha H$$Y_i$$\theta_i$$\alpha$

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)}$$ $t$$\theta_i$$F$$\alpha$ $$\pi(\alpha | t) \propto \pi(\alpha) \frac{\alpha^t\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} \propto \pi(\alpha)\alpha^{t - 1}(\alpha + n){B(\alpha + 1, n)} \\= \pi(\alpha)\alpha^{t - 1} (\alpha + n) \int_0^1 x^\alpha(1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ जहां बीटा फ़ंक्शन है। फिर ध्यान दें कि यदि हम एक अव्यक्त पैरामीटर परिचय देते हैं तो संभावना गामा वितरण के मिश्रण का रूप है और इसका उपयोग गिब्स नमूना लिखने के लिए करते हैं।$B(\cdot, \cdot)$$X \sim \mbox{Beta}(\alpha + 1, n )$

अब मेरा सवाल है। हम सिर्फ क्यों नहीं लिख सकते और गामा वितरण के मिश्रण का उपयोग करने के बजाय एक गामा वितरण का उपयोग करें? अगर हम परिचय देते हैं तो क्या मुझे एक ही काम करने में सक्षम नहीं होना चाहिए लेकिन मिश्रण का उपयोग किए बिना?

$$L(\alpha | t) \propto \frac{\alpha^t \Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{\alpha^t \Gamma(n)\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha + n)\Gamma(n)} = \alpha^t B(\alpha, n) \Gamma(n) \\ \propto \alpha^t \int_0 ^ 1 x^{\alpha - 1} (1 - x)^{n - 1} \ dx,$$ $X \sim \mbox{Beta}(\alpha, n)$

अधिक विवरणों के लिए संपादित करें अधिक विवरण: कुछ अंतरालों को भरने के लिए, एस्कोबार और वेस्ट में तर्क यह है कि, को गामा वितरण आकार के साथ दिया गया और इसका अर्थ , और इसलिए हम परिचय कर सकते हैं एक अव्यक्त ताकिपूर्ण सशर्त एक लिए एक वितरण और एक और a का मिश्रण हैं$\alpha$$a$$a / b$

$$\pi(\alpha | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha} \int_0 ^ 1 x^{\alpha} (1 - x)^{n - 1} \ dx$$ $X$ $$\pi(\alpha, x | t) \propto \alpha^{a + t - 2} (\alpha + n) e^{-b\alpha}x^{\alpha}(1 - x)^{n - 1}.$$ $\mbox{Beta}(\alpha + 1, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\mathcal G(a + t - 1, b - \log(x))$ for ।$\alpha$

वही तर्क करके, मैं एक ही परिणाम मिला लेकिन साथ के लिए और के लिए । यह मुझे आसान लगता है; वे ऐसा क्यों नहीं करते?$\mbox{Beta}(\alpha, n)$$X$$\mathcal G(a + t, b - \log(x))$$\alpha$

Answer 1

मैंने यह नहीं देखा कि आपने जो लिखा है वह एस्कोबार और वेस्ट से मौलिक रूप से अलग है।

$$\begin{eqnarray*} \pi(\alpha|t) &\propto& \pi(\alpha)\pi(t|\alpha) = \pi(\alpha)L(\alpha|t) \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &\propto& \pi(\alpha)\alpha^t\frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha+n)} \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^tB(\alpha,n) \\ &=& \pi(\alpha)\alpha^{t-1}(\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ जहां दूसरी से अंतिम पंक्ति यह है कि आपके पास यह कैसे है और अंतिम पंक्ति ई और डब्ल्यू कैसे है यह और वे तब से बराबर हैं जब से n) \ end {eqnarray *} को याद करते हुए $$\begin{eqnarray*} \alpha B(\alpha,n) &=& \alpha \frac{\Gamma(\alpha)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n)} = \frac{(\alpha\Gamma(\alpha))\Gamma(n)(\alpha+n)}{(\Gamma(\alpha + n)(\alpha+n))} = (\alpha+n) \frac{\Gamma(\alpha + 1)\Gamma(n)}{\Gamma(\alpha + n + 1)} \\ &=& (\alpha+n)B(\alpha+1,n) \end{eqnarray*}$$ $\Gamma(z+1) = z\Gamma(z)$ ।

मैं अनुमान लगा रहा हूं कि उन्होंने आपके फॉर्मूलेशन को आपके ऊपर पसंद किया क्योंकि इसमें केवल बीटा फ़ंक्शन शब्द है, बीटा और गामा का उत्पाद नहीं है, लेकिन मैं गलत हो सकता है। मैंने आपके द्वारा लिखे गए अंतिम बिट का पालन नहीं किया, क्या आप अपनी नमूना योजना के बारे में अधिक स्पष्ट हो सकते हैं?

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— आदमी