खतरे की दर, संभाव्यता घनत्व, उत्तरजीविता कार्य के बीच संबंध का प्रमाण

मैं उत्तरजीविता के विश्लेषणों पर थोड़ा पढ़ रहा हूं और अधिकांश पाठ्यपुस्तकें बताती हैं कि

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t} =\frac{f(t)}{1-F(t)} (1)$

जहां $h(t)$ खतरा दर है,

$f(t)=\lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t)}{ \Delta t}(2)$ घनत्व फ़ंक्शन,

$F(t)=Pr(T<t) (3)$ और

$S(t)=Pr(T>t)=1-F(t) (4)$

इसके अलावा वे कहते हैं कि

$S(t)= e^{- \int_0^t h(s)ds } (5)$

अधिकांश पाठ्यपुस्तकें (कम से कम मेरे पास) या तो (1) या (5) के लिए प्रमाण नहीं देती हैं। मुझे लगता है कि मैं (1) इस प्रकार से प्राप्त करने में कामयाब रहा

$h(t)= \lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(t < T \leq t+\Delta t |T \geq t )}{ \Delta t}=$ $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t ) P(t < T \leq t+\Delta t)}{ P(T \geq t)\Delta t}$ जो कि वजह से (2) और (4) बन जाता है लेकिन इसलिए $\lim_{ \Delta t \rightarrow 0} \frac{P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )f(t)}{S(t)\Delta t}$ $P(T \geq t |t < T \leq t+\Delta t )=1$ $h(t)=\frac{f(t)}{1-F(t)}$

एक (5) कैसे साबित होता है?

survival

— माल नहीं
स्रोत

क्या आपने नोट किया है कि का व्युत्पन्न ?

h (t)

$h(t)$

- \log S (t)

$- \log S(t)$

— स्टीफन लॉरेंट

हाँ, मुझे वह भी नहीं मिलता ...

— nostock

आपके (1) के प्रमाण में, आपको पहले तर्क करना चाहिए कि अंश में 2 की संभावना 1 है, और फिर (2) और (4) लागू करें।

— ओकराम

आदेश महत्वपूर्ण क्यों है?

— नास्टॉक

यदि आप अपना ऑर्डर देते रहते हैं, तो आपको यह तर्क देना चाहिए कि (बल्कि proba के बजाय) सीमा बराबर है । वैसे भी, यह एक विवरण है ...

Δ t \to 0

$\Delta t \rightarrow 0$

1

$1$

— ओकराम

जवाबों:

का व्युत्पन्न इसलिए, जैसा कि @ StéphaneLaurent द्वारा उल्लेख किया गया है, हमारे पास जहां अंतिम समानता (1) से आती है। $S$

\frac{d S (t)}{d t} = \frac{d (1 - F (t))}{d t} = - \frac{d F (t)}{d t} = - f (t)

$\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}} = \frac{\mathrm{d}(1 - F(t))}{\mathrm{dt}} = - \frac{\mathrm{d}F(t)}{\mathrm{dt}} = -f(t)$

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} = \frac{f (t)}{S (t)} = h (t)

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)} = \frac{f(t)}{S(t)} = h(t)$

पिछले संबंध के दोनों पक्षों को , हम प्राप्त करते हैं ताकि

- \log (S (t)) = \int_{0}^{t} h (s) d s

$-\log(S(t)) = \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (s) d s}

$S(t) = \exp \left\{- \int_0^t h(s) \, \mathrm{d}s\right\}$

यह आपका समीकरण (5) है। घातांक में अभिन्न हिस्सा एकीकृत खतरा है, जिसे संचयी खतरा [ ] भी कहा जाता है । $H(t)$ $S(t) = \exp(-H(t))$

— ocram
स्रोत

क्या आप कृपया थोड़ा और अधिक स्पष्ट हो सकते हैं

- \frac{d \log (S (t))}{d t} = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)}

$-\frac{\mathrm{d}\log(S(t))}{\mathrm{dt}} = \cfrac{-\frac{\mathrm{d}S(t)}{\mathrm{dt}}}{S(t)}$

— nostock

यह चैन नियम है। हमारे पास ताकि

\frac{d \log (x)}{d x} = \frac{1}{x}

$\frac{\mathrm{d}\, \log(x)}{\mathrm{d}x} = \frac{1}{x}$

\frac{d \log (f (x))}{d x} = \frac{\frac{d f (x)}{d x}}{x}

$\cfrac{\mathrm{d}\, \log(f(x))}{\mathrm{d}x} = \cfrac{\frac{\mathrm{d}\,f(x)}{\mathrm{d}x}}{x}$

— महासागरीय

क्या अंतिम समीकरण के दाहिने हाथ की तरफ x को x (x) होना चाहिए ?, यानी अलग-अलग y = log S (t)। यू = एस (टी) इसलिए । इसके अतिरिक्त, हमारे पास और so । श्रृंखला नियम के अनुसार, इसलिए

\frac{d u}{d t} = d S (t) / d t = S^{'} (t)

$\frac{du}{dt} =dS(t)/dt = S'(t)$

y = l o g S (t) = l o g (u)

$y = log S(t) = log(u)$

\frac{d y}{d u} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S (t)}

$\frac{dy}{du} = \frac{1}{u} = \frac{1}{S(t)}$

\frac{d y}{d t} = \frac{d y}{d u} \frac{d u}{d t} = \frac{1}{S (t)} S^{'} (t) = \frac{S^{'} (t)}{S (t)}

$\frac{dy}{dt} = \frac{dy}{du} \frac{du}{dt} = \frac{1}{S(t)} S'(t) = \frac{S'(t)}{S(t)}$

— user1420372

@ user1420372: हाँ, आप सही हैं। इसे f (x) होना चाहिए था।

— समुद्र

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}\$

= \frac{f (t)}{1 - F (t)}

$= \frac{f(t)}{1-F(t)}$

= \frac{f (t)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s}

$= \frac{f(t)}{1- \int^t_0{f(s) ds}}$

दोनों पक्षों को एकीकृत करें: दोनों पक्षों को अलग करें

\int_{0}^{t} h (s) d s = \int_{0}^{t} \frac{f (s)}{1 - \int_{0}^{t} f (s) d s} d s

$\int^t_0 h(s) ds = \int^t_0 \frac{f(s)}{1- \int^t_0{f(s)ds}}ds$

= - \ln [1 - \int_{0}^{t} f (s) d s]_{0}^{t} + c

$= -\ln [1- \int^t_0{f(s)ds}]^t_0+ c$

1 - \int_{0}^{t} f (s) d s = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$1- \int^t_0{f(s)ds} = \exp [-\int^t_0 h(s) ds]$

- f (t) = - h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$-f(t) = -h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

f (t) = h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$f(t) = h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

चूँकि

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t) = \frac{f(t)}{S(t)}$

S (t) = \frac{f (t)}{h (t)}

$S(t) = \frac{f(t)}{h(t)}$

बदलें द्वारा , इसलिए, $f(t)$ $h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

S (t) = \frac{h (t) \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]}{h (t)}

$S(t) = \frac{h(t) \exp[-\int^t_0 h(s) ds]}{h(t)}$

S (t) = \exp [- \int_{0}^{t} h (s) d s]

$S(t) = \exp[-\int^t_0 h(s) ds]$

— Vara
स्रोत

हम निम्नलिखित समीकरण सिद्ध करते हैं: सबूत:

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u}

$S(t)=\exp\{-\int_{0}^{t}h(u)du\}$

हम सबसे पहले सबूत साबित करते हैं:

f (t) = - \frac{d S (t)}{d t}

$f(t)=-\frac{dS(t)}{dt}$

f (t) = \frac{d F (t)}{d t} = \frac{d P (T < t)}{d t} = \frac{d (1 - S (t))}{d t} = - \frac{d S (t)}{d t} ◼

$f(t)=\frac{dF(t)}{dt}=\frac{dP(T<t)}{dt}=\frac{d(1-S(t))}{dt}=-\frac{dS(t)}{dt}\ \blacksquare$ और हम जानते हैं कि स्थानापन्न में पर हम पाते हैं फिर अपने मुख्य प्रमाण को जारी रखें। उपरोक्त समीकरण के दोनों ओर एकीकृत करके, हमारे पास तब हमें परिणाम मिलता

h (t) = \frac{f (t)}{S (t)}

$h(t)=\frac{f(t)}{S(t)}$

f (t)

$f(t)$

h (t)

$h(t)$

h (t) = \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)}

$h(t)=\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}$

\int_{0}^{t} h (u) d u = \int_{0}^{t} \frac{- \frac{d S (t)}{d t}}{S (t)} d t = \int_{0}^{t} - S (t)^{- 1} d S (t) = - [\log S (t) - \log S (0)] = - \log S (t)

$\int_0^th(u)du=\int_0^t\frac{-\frac{dS(t)}{dt}}{S(t)}dt=\int_0^t-S(t)^{-1}dS(t)\\ =-[\log S(t)-\log S(0)]=-\log S(t)$

S (t) = \exp {- \int_{0}^{t} h (u) d u} ◼

$S(t)=\exp\{-\int_0^th(u)du\}\ \blacksquare$

— सीसीकेविन वांग
स्रोत