एक यादृच्छिक चर के एक समारोह का भिन्न

कहते हैं कि हमारे पास ज्ञात चर और माध्य के साथ यादृच्छिक चर $X$ है। प्रश्न यह है: किसी दिए गए फ़ंक्शन के लिए का विचरण क्या है $f(X)$ । एकमात्र सामान्य विधि जिसके बारे में मुझे पता है वह डेल्टा विधि है, लेकिन यह केवल प्रतिफल देती है। अब मैं में दिलचस्पी रहा हूँ $f(x)=\sqrt{x}$ , लेकिन कुछ सामान्य तरीकों को जानना भी अच्छा होगा।

संपादित करें 29.12.2010
मैंने टेलर श्रृंखला का उपयोग करके कुछ गणनाएं की हैं, लेकिन मुझे यकीन नहीं है कि वे सही हैं, इसलिए मुझे खुशी होगी अगर कोई उनकी पुष्टि कर सके ।

$E[f(X)]$
$E[f(X)] \approx E[f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)(X-\mu)^2]=f(\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)\cdot Var[X]$

अब हम $D^2 [f(X)]$
$E[(f(X)-E[f(X)])^2] \approx E[(f(\mu)+f'(\mu)(X-\mu)+\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)(X-\mu)^2 -E[f(X)])^2]$

के सन्निकटन का उपयोग करते हुए हम जानते हैं कि $E[f(X)]$ $f(\mu)-Ef(x) \approx -\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)\cdot Var[X]$

इसका उपयोग करने से हमें प्राप्त होता है:
$D^2[f(X)] \approx \frac{1}{4}\cdot f''(\mu)^2\cdot Var[X]^2-\frac{1}{2}\cdot f''(\mu)^2\cdot Var[X]^2 + f'(\mu)^2\cdot Var[X]+\frac{1}{4}f''(\mu)^2\cdot E[(X-\mu)^4] +\frac{1}{2}f'(\mu)f''(\mu)E[(X-\mu)^3]$
$D^2 [f(X)] \approx \frac{1}{4}\cdot f''(\mu)^2 \cdot [D^4 X-(D^2 X)^2]+f'(\mu)\cdot D^2 X +\frac{1}{2}f'(\mu)f''(\mu)D^3 X$

variance random-variable delta-method

— टोमेक टारसिनेस्की
स्रोत

डेल्टा पद्धति का उपयोग एसिम्प्टोटिक वितरण के लिए किया जाता है। जब आप केवल एक रैंडम वैरिएबल का उपयोग नहीं करते हैं।

— mpiktas

@mpiktas: वास्तव में मुझे डेल्टा पद्धति के बारे में ज्यादा जानकारी नहीं है, मैंने अभी-अभी विकिपीडिया पर कुछ पढ़ा है। यह विकी से उद्धरण है: "डेल्टा विधि दूसरे क्रम के टेलर विस्तार का उपयोग एक या एक से अधिक यादृच्छिक चर के फ़ंक्शन के संस्करण को अनुमानित करने के लिए करती है"।

— टोमेक टारसिनेस्की

ऐसा लगता है कि विकिपीडिया के पास वही है जो आप चाहते हैं: en.wikipedia.org/wiki/… । मैं अपने उत्तर पर फिर से विचार करूंगा, ऐसा लगता है कि मैंने टेलर विस्तार को कम करके आंका।

— mpiktas

टोमेक, यदि आप उन संपादनों से असहमत हैं जो मेरे द्वारा किए गए (मेरे द्वारा नहीं) थे, तो आप हमेशा उन्हें फिर से बदल सकते हैं, या उन्हें वापस रोल कर सकते हैं, या बस मतभेदों को इंगित कर सकते हैं और स्पष्टीकरण के लिए पूछ सकते हैं।

— Glen_b -Reinstate मोनिका

@ ग्लेन_ बी: मैं उनसे सहमत हूं ई (एक्स-एमयू) = 0 का मतलब यह नहीं है कि ई [(एक्स-एमयू) ^ 3] = 0.

— 7:13

जवाबों:

अद्यतन करें

मैंने टेलर विस्तार को कम करके आंका है। वे वास्तव में काम करते हैं। मैंने यह माना कि शेष शब्द का अभिन्न रूप से उपयोग नहीं किया जा सकता है, लेकिन थोड़े काम के साथ यह दिखाया जा सकता है कि ऐसा नहीं है।

टेलर का विस्तार बंधे हुए अंतराल में कार्यों के लिए काम करता है। परिमित विचरण के साथ यादृच्छिक चर के लिए Chebyshev असमानता देता है

P (| X - E X | > c) \leq \frac{V a r (X)}{c}

$P(|X-EX|>c)\le \frac{Var(X)}{c}$

इसलिए किसी भी के लिए $\varepsilon>0$ हम बड़ा पर्याप्त पा सकते हैं $c$ ताकि

P (X \in [E X - c, E X + c]) = P (| X - E X | \leq c) < 1 - ε

$P(X\in [EX-c,EX+c])=P(|X-EX|\le c)<1-\varepsilon$

पहले हम अनुमान लगाते हैं कि । हम जहां वितरण कार्य है $Ef(X)$

\begin{aligned} E f (X) = \int_{| x - E X | \leq c} f (x) d F (x) + \int_{| x - E X | > c} f (x) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)=\int_{|x-EX|\le c}f(x)dF(x)+\int_{|x-EX|>c}f(x)dF(x) \end{align}$

F (x)

$F(x)$

।

X

$X$

के बाद से पहली अभिन्न के डोमेन अंतराल है जो बंद कर दिया घिरा है अंतराल हम टेलर विस्तार आवेदन कर सकते हैं: $[EX-c,EX+c]$ जहां, और समानता सभी के लिए रखती है। मैंने टेलर विस्तार में केवल 4 शब्द लिए, लेकिन सामान्य तौर पर हम जितने चाहें उतने ले सकते हैं, जब तक कि फ़ंक्शनपर्याप्तरूपसे सुचारू नहीं हो जाता।

\begin{aligned} f (x) = f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} + \frac{f^{‴} (α)}{3} (x - E X)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} f(x)=f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2+\frac{f'''(\alpha)}{3}(x-EX)^3 \end{align}$

α \in [E X - c, E X + c]

$\alpha\in [EX-c,EX+c]$

x \in [E X - c, E X + c]

$x\in[EX-c,EX+c]$

f

$f$

इस फार्मूले को पिछले एक के आधार पर हम प्राप्त करते हैं

अब हम निम्नलिखित सूत्र प्राप्त करने के लिए एकीकरण के क्षेत्र को बढ़ा सकते हैं

\begin{aligned} E f (X) & = \int_{| x - E X | \leq c} f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} d F (x) \\ + \int_{| x - E X | \leq c} \frac{f^{‴} (α)}{3} (x - E X)^{3} d F (x) + \int_{| x - E X | > c} f (x) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)&=\int_{|x-EX|\le c}f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2dF(x)\\\\ &+\int_{|x-EX|\le c}\frac{f'''(\alpha)}{3}(x-EX)^3dF(x) +\int_{|x-EX|>c}f(x)dF(x) \end{align}$

\begin{aligned} E f (X) & = f (E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} E (X - E X)^{2} + R_{3} \end{aligned}

$\begin{align} Ef(X)&=f(EX)+\frac{f''(EX)}{2}E(X-EX)^2+R_3\\\\ \end{align}$ जहां

अब कुछ क्षण स्थितियों में हम दिखा सकते हैं कि इस शेष अवधि का दूसरा पद

जितना बड़ा है।जो छोटा है। दुर्भाग्य से पहला शब्द बना हुआ है और इसलिए सन्निकटन की गुणवत्ता

और

के तीसरे व्युत्पन्न के व्यवहारपर निर्भर करती है

\begin{aligned} R_{3} & = \frac{f^{‴} (α)}{3} E (X - E X)^{3} + \\ + \int_{| x - E X | > c} (f (E X) + f^{'} (E X) (x - E X) + \frac{f^{″} (E X)}{2} (x - E X)^{2} + f (X)) d F (x) \end{aligned}

$\begin{align} R_3&=\frac{f'''(\alpha)}{3}E(X-EX)^3+\\\\ &+\int_{|x-EX|>c}\left(f(EX)+f'(EX)(x-EX)+\frac{f''(EX)}{2}(x-EX)^2+f(X)\right)dF(x) \end{align}$

P (| X - E X | > c)

$P(|X-EX|>c)$

E (X - E X)^{3}

$E(X-EX)^3$

f

$f$ बंधे हुए अंतराल में। इस तरह के सन्निकटन को

साथ यादृच्छिक चर के लिए सबसे अच्छा काम करना चाहिए ।

E (X - E X)^{3} = 0

$E(X-EX)^3=0$

अब विचरण के लिए हम लिए टेलर सन्निकटन का उपयोग कर सकते हैं , लिए सूत्र को घटा सकते हैं और अंतर को वर्ग कर सकते हैं। फिर $f(x)$ $Ef(x)$

$E(f(x)-Ef(x))^2=(f'(EX))^2Var(X)+T_3$

$T_3$ $E(X-EX)^k$ $k=4,5,6$

$f^2(x)$

\begin{aligned} f^{2} (x) & = f^{2} (E X) + 2 f (E X) f^{'} (E X) (x - E X) \\ + [(f^{'} (E X))^{2} + f (E X) f^{″} (E X)] (X - E X)^{2} + \frac{(f^{2} (β))^{‴}}{3} (X - E X)^{3} \end{aligned}

$\begin{align} f^2(x)&=f^2(EX)+2f(EX)f'(EX)(x-EX)\\\\ &+[(f'(EX))^2+f(EX)f''(EX)](X-EX)^2+\frac{(f^2(\beta))'''}{3}(X-EX)^3 \end{align}$

\begin{aligned} E f^{2} (x) = f^{2} (E X) + [(f^{'} (E X))^{2} + f (E X) f^{″} (E X)] V a r (X) + {\tilde{R}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align*} Ef^2(x)=f^2(EX)+[(f'(EX))^2+f(EX)f''(EX)]Var(X)+\tilde{R}_3 \end{align*}$

{\tilde{R}}_{3}

$\tilde{R}_3$

R_{3}

$R_3$

\begin{aligned} V a r (f (X)) = [f^{'} (E X)]^{2} V a r (X) - \frac{[f^{″} (E X)]^{2}}{4} V a r^{2} (X) + {\tilde{T}}_{3} \end{aligned}

$\begin{align} Var(f(X))=[f'(EX)]^2Var(X)-\frac{[f''(EX)]^2}{4}Var^2(X)+\tilde{T}_3 \end{align}$

{\tilde{T}}_{3}

$\tilde{T}_3$

— mpiktas
स्रोत

मुझे विचरण का सही मूल्य जानने की आवश्यकता नहीं है, सन्निकटन मेरे लिए काम करना चाहिए।

— टोमेक टारसिनेस्की

वास्तव में, के लिए अनुमानित सूत्र

E [f (X)]

$\mathbb{E}[f(X)]$ ओपी का उपयोग अक्सर अर्थशास्त्र, वित्त और बीमा में जोखिम विश्लेषण में किया जाता है।

— रस्कोलनिकोव

@ रस्कोलनिकोव, हाँ, लेकिन यह टेलर विस्तार के मेरे प्रशंसनीय बासी ज्ञान के विपरीत है। स्पष्ट रूप से शेष अवधि को ध्यान में रखा जाना चाहिए। यदि रैंडम वैरिएबल बाउंडेड है, तो कोई समस्या नहीं है, क्योंकि बहुपत्नी बाउंड अंतराल पर समान रूप से निरंतर कार्यों को अनुमानित करती है। लेकिन हम अनबाउंड यादृच्छिक चर के साथ सौदा करते हैं। बेशक यादृच्छिक सामान्य के लिए हम कह सकते हैं कि यह प्रभावी रूप से बाध्य है, लेकिन अभी भी सामान्य मामले में, कुछ बुरा आश्चर्य उत्पन्न हो सकता है, या नहीं। मैं अपना उत्तर ठीक कर लूंगा जब मेरे पास स्पष्ट उत्तर होगा।

— mpiktas

@ टोमेक टारसिनेस्की, का तीसरा व्युत्पन्न

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ बड़े के लिए काफी जल्दी शून्य हो जाता है

x

$x$ , लेकिन शून्य के पास अनबाउंड है। इसलिए यदि आपने शून्य के करीब समर्थन के साथ समान वितरण उठाया, तो शेष अवधि बड़ी हो सकती है।

— mpiktas

ध्यान दें कि आपके लिंक में समानता अनुमानित है। इस उत्तर में सभी समीकरण सटीक हैं। इसके अलावा विचरण नोट के लिए कि पहले व्युत्पन्न का अनुमान है

E X

$EX$ , नहीं

x

$x$ । इसके अलावा, मैंने कभी नहीं कहा कि यह काम नहीं करेगा

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ , केवल उसी के लिए

\sqrt{x}

$\sqrt{x}$ अनुमानित सूत्र में भारी त्रुटि हो सकती है अगर

X

$X$ डोमेन शून्य के करीब है।

— mpiktas

To know the first two moments of X (mean and variance) is not enough, if the function f(x) is arbitrary (non linear). Not only for computing the variance of the transformed variable Y, but also for its mean. To see this -and perhaps to attack your problem- you can assume that your transformation function has a Taylor expansion around the mean of X and work from there.

— leonbloy
स्रोत