गॉस-मार्कोव प्रमेय: BLUE और OLS

Question

मैं विकिपीडिया पर गुआस-मार्कोव प्रमेय पर पढ़ रहा हूं , और मुझे उम्मीद थी कि कोई मुझे प्रमेय के मुख्य बिंदु का पता लगाने में मदद कर सकता है।

हम एक रैखिक मॉडल मानते हैं, मैट्रिक्स रूप में, इसके द्वारा दिया गया है:

$$y = X\beta +\eta$$ और हम BLUE की तलाश कर रहे हैं, $\widehat\beta$।

के अनुसार इस , मैं लेबल होगा$\eta = y - X\beta$ "अवशिष्ट" और $\varepsilon = \widehat\beta - \beta$त्रुटि"। (यानी गॉस-मार्कोव पृष्ठ पर उपयोग के विपरीत)।

OLS (साधारण न्यूनतम वर्ग) के अनुमानक के रूप में व्युत्पन्न किया जा सकता है $||\text{residual}||_2^2 = ||\eta||_2^2$।

अब छोडो $\mathbb{E}$अपेक्षा ऑपरेटर को निरूपित करें। मेरी समझ में, गॉस-मार्कोव प्रमेय हमें जो बताता है, वह है, यदि$\mathbb{E}(\eta) = 0$ तथा $\text{Var}(\eta) = \sigma^2 I$, फिर, सभी रेखीय, निष्पक्ष अनुमानकर्ताओं पर, argmin, का $\mathbb{E}(||\text{error}||_2^2) = \mathbb{E} (||\varepsilon||_2^2)$ OLS आकलनकर्ता के समान अभिव्यक्ति द्वारा दिया गया है।

अर्थात

$$\text{argmin}_{\text{} \widehat\beta(y)} \, ||\eta||_2^2 \;=\; (X'X)^{-1}X'y \;=\; \text{argmin}_{\text{linear, unbiased } \widehat\beta(y)} \, \mathbb{E}(||\varepsilon||_2^2)$$

क्या मेरी समझ सही है? और यदि हां, तो क्या आप कहेंगे कि यह लेख में अधिक प्रमुख जोर देने योग्य है?

Answer 1

मुझे यकीन नहीं है कि अगर मैंने आपको सही तरीके से समझा, लेकिन अगर आप यह साबित करना चाहते हैं कि इसके लिए ओएलएस है $\hat{\beta}$ BLUE है (सबसे अच्छा रैखिक निष्पक्ष अनुमानक) आपको निम्नलिखित दो चीजें साबित करनी होंगी: पहली बात $\hat{\beta}$ निष्पक्ष है और वह दूसरा है $Var(\hat{\beta})$ सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानकर्ताओं में सबसे छोटा है।

प्रमाण कि OLS अनुमानक निष्पक्ष है, यहाँ पाया जा सकता है http://economictheoryblog.com/2015/02/19/ols_estimator/

और सबूत है कि $Var(\hat{\beta})$सभी रैखिक निष्पक्ष अनुमानकर्ताओं में सबसे छोटा यहाँ पाया जा सकता है http://economictheoryblog.com/2015/02/26/markov_theorem/

Comments

सबूत मददगार हैं, हाँ।

— पैट्रिक

Answer 2

ऐसा लगता है कि मेरा कूबड़ वास्तव में सही था, जैसा कि पुष्टिकरण इकोनोमेट्रिक्स की किताब के पेज 375 पर दिया गया है । प्रासंगिक अंश:

Comments

कृपया कुछ और लिखें क्योंकि आपका उत्तर भविष्य में दूसरों के लिए मददगार हो सकता है।

— टिम

आपका लिंक टूट गया है।

— Glen_b -Reinstate मोनिका