दो-तरफ़ा एनोवा में बातचीत के लिए NULL परिकल्पना क्या है?

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मान लें कि हमारे दो कारक हैं (A और B), प्रत्येक दो स्तरों (A1, A2 और B1, B2) और एक प्रतिक्रिया चर (y) के साथ है।

जब दो तरह का एनोवा प्रदर्शन कर रहा हो:

y~A+B+A*B

हम तीन अशक्त परिकल्पना का परीक्षण कर रहे हैं:

कारक A के साधनों में कोई अंतर नहीं है
कारक B के साधनों में कोई अंतर नहीं है
कारकों ए और बी के बीच कोई बातचीत नहीं है

जब लिखा जाता है, तो पहले दो परिकल्पना तैयार करना आसान होता है (1 के लिए यह ) है $H_0:\; \mu_{A1}=\mu_{A2}$

लेकिन परिकल्पना 3 कैसे बनाई जानी चाहिए?

संपादित करें : और यह तब के दो स्तरों के मामले के लिए कैसे तैयार होगा?

धन्यवाद।

hypothesis-testing anova

— ताल गलिली
स्रोत

3

मेरे पास मुझे संपादित करने की अनुमति देने की प्रतिष्ठा नहीं है, लेकिन मुझे लगता है कि आप

H_{0} = μ_{A 1} = μ_{A 2}

$H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}$ (या

μ_{A_{1}}

$\mu_{A_1}$ चाहते हैं यदि आप एक डबल सबस्क्रिप्ट चाहते हैं) [उफ़, यह स्वतः ही टेक्सास-ified है : H_0 = \mu_{A1}=\mu_{A2}या \mu_{A_1}]

— बेन बोल्कर

1

Oups, यह नहीं देखा कि आप कारक नाम और उनके स्तरों को निरूपित करने के लिए बड़े अक्षरों का उपयोग कर रहे हैं - इसे ठीक करें (@ नोट के बाद)।

— CHL

18

मुझे लगता है कि परिकल्पना और उसके अनुरूप परीक्षण को स्पष्ट रूप से अलग करना महत्वपूर्ण है। निम्नलिखित के लिए, मैं एक संतुलित, बीच के विषयों CRF- डिज़ाइन (समान सेल आकार, किर्क का अंकन: पूरी तरह से यादृच्छिक फैक्टरियल डिज़ाइन) मानता हूं । $pq$

अवलोकन है उपचार में कारक के और उपचार कारक के के साथ , और । मॉडल है $Y_{ijk}$ $i$ $j$ $A$ $k$ $B$ $1 \leq i \leq n$ $1 \leq j \leq p$ $1 \leq k \leq q$ $Y_{ijk} = \mu_{jk} + \epsilon_{i(jk)}, \quad \epsilon_{i(jk)} \sim N(0, \sigma_{\epsilon}^2)$

डिजाइन: $\begin{array}{r|ccccc|l} ~ & B 1 & \ldots & B k & \ldots & B q & ~\\\hline A 1 & \mu_{11} & \ldots & \mu_{1k} & \ldots & \mu_{1q} & \mu_{1.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A j & \mu_{j1} & \ldots & \mu_{jk} & \ldots & \mu_{jq} & \mu_{j.}\\ \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots & \ldots\\ A p & \mu_{p1} & \ldots & \mu_{pk} & \ldots & \mu_{pq} & \mu_{p.}\\\hline ~ & \mu_{.1} & \ldots & \mu_{.k} & \ldots & \mu_{.q} & \mu \end{array}$

सेल में अपेक्षित मान है , व्यक्ति की माप के साथ जुड़े त्रुटि है उस कक्ष में। अंकन इंगित करता है कि सूचकांक किसी भी व्यक्ति के लिए निर्धारित कर रहे हैं क्योंकि उस व्यक्ति केवल एक ही हालत में मनाया जाता है। प्रभावों के लिए कुछ परिभाषाएँ: $\mu_{jk}$ $jk$ $\epsilon_{i(jk)}$ $i$ $()$ $jk$ $i$

(कारकउपचारकेलिए औसत अपेक्षित मान) $\mu_{j.} = \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \mu_{jk}$ $j$ $A$

(उपचार के लिए औसत की उम्मीद मूल्यकारक के) $\mu_{.k} = \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \mu_{jk}$ $k$ $B$

(उपचार के प्रभाव कारक के , ) $\alpha_{j} = \mu_{j.} - \mu$ $j$ $A$ $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j} = 0$

(उपचार के प्रभाव कारक के , ) $\beta_{k} = \mu_{.k} - \mu$ $k$ $B$ $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k} = 0$

(उपचार के संयोजन के लिए बातचीत प्रभाव कारक के उपचार के साथ कारक के , $(\alpha \beta)_{jk} = \mu_{jk} - (\mu + \alpha_{j} + \beta_{k}) = \mu_{jk} - \mu_{j.} - \mu_{.k} + \mu$
$j$ $A$ $k$ $B$ $\sum_{j=1}^{p} (\alpha \beta)_{jk} = 0 \, \wedge \, \sum_{k=1}^{q} (\alpha \beta)_{jk} = 0)$

(उपचार के लिए सशर्त मुख्य प्रभाव कारक की तय उपचार के भीतर कारक के , $\alpha_{j}^{(k)} = \mu_{jk} - \mu_{.k}$
$j$ $A$ $k$ $B$ $\sum_{j=1}^{p} \alpha_{j}^{(k)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{q} \sum_{k=1}^{q} \alpha_{j}^{(k)} = \alpha_{j} \quad \forall \, j, k)$

इलाज के लिए (सशर्त मुख्य प्रभाव कारक के तय उपचार के भीतर कारक के , $\beta_{k}^{(j)} = \mu_{jk} - \mu_{j.}$
$k$ $B$ $j$ $A$ $\sum_{k=1}^{q} \beta_{k}^{(j)} = 0 \, \wedge \, \frac{1}{p} \sum_{j=1}^{p} \beta_{k}^{(j)} = \beta_{k} \quad \forall \, j, k)$

इन परिभाषाओं के साथ, मॉडल भी लिखा जा सकता है के रूप में: $Y_{ijk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} + (\alpha \beta)_{jk} + \epsilon_{i(jk)}$

यह हमें कई समान तरीकों से बिना बातचीत के अशक्त परिकल्पना व्यक्त करने की अनुमति देता है:

(सभी अलग-अलग बातचीत की शर्तें हैं , ऐसी है कि $H_{0_{I}}: \sum_{j}\sum_{k} (\alpha \beta)^{2}_{jk} = 0$
$0$ । इसका मतलब है कि दोनों कारकों के उपचार प्रभाव - जैसा कि ऊपर परिभाषित किया गया है - हर जगह एडिटिव हैं।) $\mu_{jk} = \mu + \alpha_{j} + \beta_{k} \, \forall j, k$
$H_{0_{I}}: \alpha_{j}^{(k)} - \alpha_{j}^{(k')} = 0 \quad \forall \, j \, \wedge \, \forall \, k, k' \quad (k \neq k')$
$j$ $A$ $\alpha_{j}$
$H_{0_{I}}: \beta_{k}^{(j)} - \beta_{k}^{(j')} = 0 \quad \forall \, j, j' \, \wedge \, \forall \, k \quad (j \neq j')$
(all conditional main effects for any treatment $k$ of factor $B$ are the same, and therefore equal $\beta_{k}$ .)
$H_{0_{I}}$ : In a diagramm which shows the expected values $\mu_{jk}$ with the levels of factor $A$ on the $x$ -axis and the levels of factor $B$ drawn as separate lines, the $q$ different lines are parallel.

— caracal
स्रोत

1

A really impressive answer Caracal - thank you.

— Tal Galili

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An interaction tells us that the levels of factor A have different effects based on what level of factor B you're applying. So we can test this through a linear contrast. Let C = (A1B1 - A1B2) - (A2B1 - A2B2) where A1B1 stands for the mean of the group that received A1 and B1 and so on. So here we're looking at A1B1 - A1B2 which is the effect that factor B is having when we're applying A1. If there is no interaction this should be the same as the effect B is having when we apply A2: A2B1 - A2B2. If those are the same then their difference should be 0 so we could use the tests:

$H_0: C = 0\quad\text{vs.}\quad H_A: C \neq 0.$

— Dason
स्रोत

1

Thanks Dason, that helped. Also, after reading your reply, it suddenly became clear to me that I am not fully sure how this generalizes in case we are having more factors. Could you advise? Thanks again. Tal

— ताल गलिली

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You can test multiple contrasts simultaneously. So for example if A had three levels and B had 2 we could use the two contrasts: C1 = (A1B1 - A2B1) - (A2B1 - A2B2) and C2 = (A2B1 - A2B2) - (A3B1 - A3B2) and use a 2 degree of freedom test to simultaneously test if C1 = C2 = 0. It's also interesting to note that C2 could equally have been (A1B1 - A1B2) - (A3B1 - A3B2) and we would come up with the same thing.

— Dason

हाय @ डायसन: आपको लगता है कि कई खाते हैं। क्या आप कृपया आँकड़े .stackexchange.com / contact पर फ़ॉर्म को पूरा कर सकते हैं और अनुरोध कर सकते हैं कि उनका विलय किया जा सकता है? यह इस साइट के आपके उपयोग को सरल करेगा (और आपको दोनों खातों की संयुक्त शुद्ध प्रतिष्ठा देगा)।

— whuber