यदि रैखिक मॉडल में ढलान एक निश्चित मूल्य के बराबर है तो परीक्षण कैसे करें?

Question

मान लीजिए कि हमारे पास एक साधारण रैखिक प्रतिगमन मॉडल और सामान्य विकल्प के खिलाफ परिकल्पना का परीक्षण करना चाहते हैं ।$Z = aX + bY$$H_0: a=b=\frac{1}{2}$

मुझे लगता है कि एक के अनुमान का उपयोग कर सकते और और आगे एक लागू -Test विश्वास अंतराल के आसपास पाने के लिए । यह ठीक है?$\hat{a}$$SE(\hat{a})$$Z$$\frac{1}{2}$

अन्य प्रश्न दृढ़ता से इस एक से संबंधित है। मान लीजिए कि हमारे पास एक नमूना है और हम आँकड़ों की गणना करते हैं$\{(x_1,y_1,z_1),\ldots ,(x_n,y_n,z_n) \}$$\chi^2$

$$\begin{equation} \sum_{i=1}^n \frac{(z_i-\frac{x_i+y_i}{2})^2}{\frac{x_i+y_i}{2}}. \end{equation}$$ क्या इन आंकड़ों का उपयोग उसी अशक्त परिकल्पना का परीक्षण करने के लिए किया जा सकता है?

Answer 1

रैखिक प्रतिगमन में धारणा यह है कि और यादृच्छिक चर नहीं हैं। इसलिए, मॉडल$X$$Y$

$$Z = a X + b Y + \epsilon$$

बीजगणित के रूप में ही है

$$Z - \frac{1}{2} X - \frac{1}{2} Y = (a - \frac{1}{2})X + (b - \frac{1}{2})Y + \epsilon = \alpha X + \beta Y + \epsilon.$$

यहाँ, और । त्रुटि शब्द अप्रभावित है। इस मॉडल को फ़िट करें, गुणांक का अनुमान लगाते हुए क्रमशः और , और सामान्य तरीके से परिकल्पना का परीक्षण करें ।$\alpha = a - \frac{1}{2}$$\beta =b - \frac{1}{2}$$\epsilon$$\hat{\alpha}$$\hat{\beta}$$\alpha = \beta = 0$

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प्रश्न के अंत में लिखा गया आँकड़ा एक चि-वर्गीय आँकड़ा नहीं है, इसके बावजूद इसकी औपचारिक समानता है। ची-स्क्वैयर स्टैटिस्टिक में काउंट शामिल होते हैं , न कि डेटा वैल्यूज़, और इसके डिनोमिनेटर में अपेक्षित वैल्यूज़ होनी चाहिए, कोवरिएट्स नहीं। यह एक या एक से अधिक भाजक के लिए संभव है शून्य (या इसके करीब) होना, यह दर्शाता है कि इस फॉर्मूलेशन के साथ कुछ गंभीर है। यहां तक ​​कि अगर यह आश्वस्त नहीं है, तो विचार करें कि , , और की माप की इकाइयाँ कुछ भी हो सकती हैं (जैसे , ), ताकि जैसे रैखिक संयोजन (सामान्य रूप में) अर्थहीन है। यह कुछ भी परीक्षण नहीं करता है।$\frac{x_i+y_i}{2}$$Z$$X$$Y$$z_i - (x_i+y_i)/2$

Comments

आपके उत्तर के लिए धन्यवाद। यह बहुत उपयोगी था। वास्तव में, मैं प्रश्न के दूसरे भाग के निर्माण में बहुत सटीक नहीं था। कल्पना करें, कि x और y पॉज़िटिव नंबर हैं, जिन्हें एक ही यूनिट में मापा जाता है। Zs (देखे गए परिणाम) किसी भी तरह से "इंटरैक्शन" को इस अर्थ में मापते हैं कि अगर कोई इंटरैक्शन न हो तो zs (x + y) / 2 (अपेक्षित परिणाम) होना चाहिए। तो मेरे दृष्टिकोण से यह अशक्त परिकल्पना के साथ प्रतिगमन का उपयोग करने के लिए एक ही था = बी = 1/2 या पियरसन के ची ^ 2 आंकड़ों का उपयोग करके फिट की अच्छाई की तुलना करने के लिए। क्या इसका कोई मतलब है? धन्यवाद!

— Lan

@ मुझे लगता है कि वोल्फगैंग का जवाब अच्छी तरह से दिखाता है कि आप जिस परीक्षा का प्रस्ताव कर रहे हैं उसे कैसे बनाया जाए। यह एक परिकल्पना का परीक्षण करने का एक उदाहरण है "सामान्य तरीके से।"

— whuber

Answer 2

आप इस परिकल्पना को पूर्ण बनाम कम किए गए मॉडल परीक्षण के साथ परीक्षण कर सकते हैं। यहां बताया गया है कि आप यह कैसे करते हैं। सबसे पहले, मॉडल को फिट करें और उस मॉडल से अवशिष्ट प्राप्त करें। अवशिष्टों को स्क्वायर करें और उन्हें योग करें। यह पूर्ण मॉडल के लिए वर्ग त्रुटि का योग है। चलिए इसे कहते हैं । अगला, गणना जहां । ये अशक्त परिकल्पना के तहत आपके अवशेष हैं। उन्हें वर्ग और उन्हें योग। यह कम हुए मॉडल के लिए वर्गाकार त्रुटि का योग है। चलिए इस कॉल करते हैं ।$Z = aX + bY$$SSE_f$$Z - \hat{Z}$$\hat{Z} = 1/2*X + 1/2*Y$$SSE_r$

अब गणना करें:

F = ,$((SSE_r - SSE_f)/2) / (SSE_f / (n-2))$

जहां नमूना आकार है। तहत , यह F-आंकड़े और डिग्री की स्वतंत्रता के साथ एक F- वितरण का अनुसरण करता है ।$n$$H_0$$2$$n-2$

यहाँ R का उपयोग करके एक उदाहरण दिया गया है:

x <- rnorm(n)
y <- rnorm(n)
z <- 1/2*x + 1/2*y + rnorm(n) ### note I am simulating under H0 here

res <- lm(z ~ x + y - 1)
summary(res)
SSE.f <- sum(resid(res)^2)

zhat  <- 1/2*x + 1/2*y
SSE.r <- sum((z-zhat)^2)

F <- ((SSE.r - SSE.f) / 2) / (SSE.f / (n-2))
pf(F, 2, n-2, lower.tail=FALSE) ### this is the p-value

यदि पी-मान .05 से कम है (यदि आपका वास्तव में .05 है) तो शून्य को अस्वीकार कर दें ।$\alpha$

मुझे लगता है कि आप वास्तव में अपने मॉडल के लिए एक अवरोधन शामिल नहीं थे। दूसरे शब्दों में, मुझे लगता है कि आप वास्तव में मॉडल के साथ काम कर रहे हैं न कि ।$Z = aX + bY$$Z = c + aX + bY$