मिश्रित मॉडल के लिए पुनरावर्तन अधिसूचनाएँ

मैं इस तरह के संकेतन से परिचित हूँ:

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{i} x_{i j} + u_{j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{i} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_i x_{ij} + u_j + e_{ij}\\ &= \beta_{0j} + \beta_i x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ जहां , और

β_{0 j} = β_{0} + u_{j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_j$

\begin{aligned} y_{i j} & = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \\ = β_{0 j} + β_{1 j} x_{i j} + e_{i j} \end{aligned}

$\begin{align} y_{ij} &= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j} + u_{1j} x_{ij} + e_{ij} \\ &= \beta_{0j} + \beta_{1j} x_{ij} + e_{ij} \end{align}$ जहां

β_{0 j} = β_{0} + u_{0 j}

$\beta_{0j}=\beta_{0}+u_{0j}$ और

β_{1 j} = β_{1} + u_{1 j}

$\beta_{1j}=\beta_1+u_{1j}$

एक रैंडम इंटरसेप्ट मॉडल और एक रैंडम स्लोप + रैंडम इंटरसेप्ट मॉडल क्रमशः।

मैं इस मैट्रिक्स / वेक्टर संकेतन पर भी आया हूं, जो मुझे बताया गया है कि "बड़े हो गए लोगों के लिए मिश्रित मॉडल संकेतन" (मेरे बड़े भाई के अनुसार):

y = X β + Z b + e

$\mathbf{y}=\mathbf{X\beta} + \mathbf{Z b} + \mathbf{e}$ जहां

β

$\mathbf{\beta}$ निश्चित प्रभाव हैं और

b

$\mathbf{b}$ यादृच्छिक प्रभाव हैं।

यदि मैं सही ढंग से समझ गया हूं, तो बाद वाली अधिसूचना पूर्व के लिए अधिक सामान्य अंकन है जो बाद के विशिष्ट संस्करण हैं।

मुझे यह देखना पसंद करना चाहिए कि पूर्व को उत्तरार्द्ध से कैसे प्राप्त किया जा सकता है।

mixed-model mathematical-statistics

— जो राजा
स्रोत

क्या आप मैट्रिक्स नोटेशन की व्याख्या के बारे में पूछ रहे हैं? मेरे द्वारा पूछे जाने का कारण यह है कि इस प्रश्न को किसी गणितीय व्युत्पत्ति की आवश्यकता नहीं है: आपके सभी सूत्र बिल्कुल समान बातें कह रहे हैं और उन्हें एक दूसरे से संबंधित करना केवल यह समझने का विषय है कि मैट्रिक्स नोटेशन कैसे काम करता है।

— whuber

@ जब भी मैं कुछ हद तक मैट्रिक्स नोटेशन और मैट्रिक्स बीजगणित को समझता हूं। लेकिन मुझे नहीं पता कि मैट्रिक्स फॉर्म से कैसे शुरू किया जाए और दूसरे रूपों में पहुंचे। शायद मैं एक्स और जेड मैट्रीस के बारे में कुछ नहीं समझता, लेकिन मैं बस उम्मीद कर रहा था कि कोई इसे बाहर निकाल देगा।

— जो किंग

@whuber कुछ ऐसा है जो मैं सवाल को बेहतर बनाने के लिए कर सकता हूं, या आप कह रहे हैं कि यह इतना बुनियादी है कि यह जवाब देने लायक नहीं है?

— जो राजा

@ जोकिंग: मुझे लगता है कि वह कह रहा है कि मैट्रिक्स नोटेशन आपके गैर-मैट्रिक्स नोटेशन के बराबर परिभाषा है। यही है, आपके पास पहले से ही (ixj मैट्रिक्स बार jx1 मैट्रिक्स उपज ix1 मैट्रिक्स ) है जो । (आप रोल कर सकते हैं में में एक 1 शामिल करके ।)

x_{i j} β_{i}

$x_{ij}\beta_i$

y_{i}

$y_i$

y = X β

$y=X\beta$

β_{0}

$\beta_0$

β

$\beta$

X

$X$

— वेन

@Wayne दोनों मॉडलों में यादृच्छिक प्रभाव और निश्चित प्रभाव हैं। पहले में एक यादृच्छिक अवरोधन है, जबकि दूसरे में एक यादृच्छिक अवरोधन और एक यादृच्छिक ढलान है। अगर मैं "यह पता लगा सकता हूँ" तो मैं यहाँ सवाल नहीं पूछूँगा !!!!

— जो राजा

हम यादृच्छिक ढलानों और यादृच्छिक अवधारणाओं के साथ एक मिश्रित मॉडल पर विचार करते हैं। यह देखते हुए कि हमारे पास केवल एक प्रतिगामी है, इस मॉडल को रूप में लिखा जा सकता है जहां प्रतिक्रिया के समूह के अवलोकन को दर्शाता है , और और संबंधित भविष्यवक्ता और त्रुटि शब्द।

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

y_{i j}

$y_{ij}$

i

$i$

j

$j$

x_{i j}

$x_{ij}$

ϵ_{i j}

$\epsilon_{ij}$

इस मॉडल को मैट्रिक्स नोटेशन में इस प्रकार व्यक्त किया जा सकता है:

Y = X β + Zb + ϵ,

$\mathbf{Y}=\mathbf{X}\beta + \textbf{Zb} + \epsilon,$ जो इसके बराबर है

Y = [\begin{matrix} X & Z \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b \end{matrix}] + ϵ

$\mathbf{Y}= \begin{bmatrix} \mathbf{X} & \textbf{Z} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta\\ \mathbf{b} \end{bmatrix}+ \epsilon$

हमें लगता है कि हम करते हैं समूहों, यानी और जाने में टिप्पणियों की संख्या को निरूपित वें समूह। प्रत्येक समूह के लिए विभाजन, हम उपरोक्त सूत्र के रूप में लिख सकते हैं $J$ $j=1,\dots,J$ $n_j$ $j$

[\begin{matrix} Y_{1} \\ Y_{2} \\ ⋮ \\ Y_{J} \end{matrix}] = [\begin{matrix} X_{1} & Z_{1} & 0 & 0 & 0 \\ X_{2} & 0 & Z_{2} & 0 & 0 \\ ⋮ & \dots \\ X_{J} & 0 & 0 & 0 & Z_{J} \end{matrix}] [\begin{matrix} β \\ b_{1} \\ b_{2} \\ ⋮ \\ b_{J} \end{matrix}] + [\begin{matrix} ϵ_{1} \\ ϵ_{2} \\ ⋮ \\ ϵ_{J} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} \mathbf{Y_1} \\ \mathbf{Y_2} \\ \vdots \\ \mathbf{Y_J} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \mathbf{X_1} & \mathbf{Z_1} & 0 & 0 & 0 \\ \mathbf{X_2} & 0 & \mathbf{Z_2} & 0 & 0 \\ \vdots & & & \dots & \\ \mathbf{X_J} & 0 & 0 & 0 & \mathbf{Z_J} \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \beta \\ b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_J \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} \epsilon_1 \\ \epsilon_2 \\ \vdots \\ \epsilon_J \end{bmatrix}$

जहां एक है समूह के लिए प्रतिक्रिया के सभी प्रेक्षणों युक्त मैट्रिक्स , और हैं इस मामले में डिजाइन मैट्रिक्स और फिर से एक है मैट्रिक्स। $\mathbf{Y_j}$ $n_j \times 1$ $j$ $\mathbf{X_j}$ $\mathbf{Z_j}$ $n_j \times 2$ $\epsilon_j$ $n_j \times 1$

उन्हें लिखना, हमारे पास है:

$\mathbf{Y_j} = \begin{bmatrix} y_{1j}\\ y_{2j}\\ \vdots \\ y_{n_jj} \end{bmatrix}, \mathbf{X_j}=\mathbf{Z_j}=\begin{bmatrix} 1 & x_{1j} \\ 1 & x_{2j} \\ \vdots & \vdots \\ 1 & x_{n_jj} \end{bmatrix}$ और $\epsilon_j = \begin{bmatrix} \epsilon_{1j}\\ \epsilon_{2j}\\ \vdots \\ \epsilon_{n_jj} \end{bmatrix}.$

प्रतिगमन गुणांक वैक्टर तो हैं

$\beta = \begin{pmatrix} \beta_0 \\ \beta_1 \end{pmatrix}$ , $b_j=\begin{pmatrix} u_{0j}\\ u_{1j} \end{pmatrix}$

यह देखने के लिए कि दो मॉडल फॉर्मूलेशन वास्तव में समतुल्य हैं, आइए हम किसी भी समूह पर नज़र डालते हैं (आइए -th one कहते हैं )। $j$

Y_{j} = X_{j} β + Z_{j} b_{j} + ϵ_{j}

$\mathbf{Y_j} = \mathbf{X_j} \beta + \mathbf{Z_j}b_j + \epsilon_j$

परिभाषाओं के ऊपर लागू होने पर, कोई यह दिखा सकता है कि परिणामी वेक्टर की पंक्ति सिर्फ जहां से लेकर को । $i$

y_{i j} = β_{0} + β_{1} x_{i j} + u_{0 j} + u_{1 j} x_{i j} + ϵ_{i j},

$y_{ij}= \beta_0 + \beta_1 x_{ij} + u_{0j}+u_{1j}x_{ij}+\epsilon_{ij},$

i

$i$

1

$1$

n_{j}

$n_j$

— फिलिप बर्कहार्ट
स्रोत

+1, मैं केवल यह कि पूर्ण मैट्रिक्स के बजाय का उपयोग करने से बड़े कम्प्यूटेशनल फायदे हैं । मूल रूप से एक विरल मैट्रिक्स भंडारण संस्करण हैं

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

Z_{j}

$Z_j$

Z

$Z$

— probabilityislogic