आप की अपेक्षा की गणना कैसे करते हैं ?

यदि घातीय रूप से वितरित की जाती है , पैरामीटर और के पारस्परिक रूप से स्वतंत्र हैं, तो उम्मीद क्या है $X_i$ $(i=1,...,n)$ $\lambda$ $X_i$

{(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2}

$\left(\sum_{i=1}^n {X_i} \right)^2$

और और संभवतः अन्य स्थिरांक के संदर्भ में ? $n$ $\lambda$

नोट: इस सवाल ने /math//q/12068/4051 पर गणितीय उत्तर दिया है । पाठक इस पर भी नज़र डालेंगे।

expected-value exponential gamma-distribution

— इसहाक
स्रोत

इस प्रश्न की दो प्रतियां एक-दूसरे का संदर्भ देती हैं और उचित रूप से, सांख्यिकी साइट (यहां) का एक सांख्यिकीय उत्तर होता है और गणित साइट का गणितीय उत्तर होता है। यह एक अच्छे विभाजन की तरह लगता है: इसे खड़े रहने दो!

— whuber

जवाबों:

यदि , तो (स्वतंत्रता के तहत), , इसलिए गामा वितरित किया गया है ( विकिपीडिया देखें )। तो, हमें सिर्फ । चूंकि , हम जानते हैं कि । इसलिए, ( गामा वितरण की उम्मीद और विचरण के लिए विकिपीडिया देखें )। $x_i \sim Exp(\lambda)$ $y = \sum x_i \sim Gamma(n, 1/\lambda)$ $y$ $E[y^2]$ $Var[y] = E[y^2] - E[y]^2$ $E[y^2] = Var[y] + E[y]^2$ $E[y^2] = n/\lambda^2 + n^2/\lambda^2 = n(1+n)/\lambda^2$

— वोल्फगैंग
स्रोत

धन्यवाद। प्रश्न का उत्तर देने का एक बहुत ही साफ-सुथरा तरीका (उसी उत्तर की ओर ले जाना) भी कुछ मिनट पहले math.stackexchange (प्रश्न में ऊपर लिंक) पर प्रदान किया गया था।

— वोल्फगैंग

गणित उत्तर अपेक्षा की रैखिकता का उपयोग कर अभिन्न गणना करता है। कुछ मायनों में यह सरल है। लेकिन मुझे आपका समाधान पसंद है क्योंकि यह सांख्यिकीय ज्ञान का शोषण करता है: क्योंकि आप जानते हैं कि स्वतंत्र एक्सपोनेंशियल चर की राशि में गामा वितरण होता है, आप कर रहे हैं।

— whuber

मुझे इसमें काफी मजा आया और मैं किसी भी तरह से एक सांख्यिकीविद् या गणितज्ञ नहीं हूं।

— कोरटुक

बहुत ही सुंदर जवाब।

— साइरस एस

@Dipip गणितज्ञ इस सवाल को एक अभिन्न के लिए पूछते हुए देखते हैं और इसे एकीकृत करने के लिए सीधे आगे बढ़ते हैं। सांख्यिकीविद इसे परिचित सांख्यिकीय मात्रा, जैसे कि विचरण, और परिचित सांख्यिकीय संबंधों के संदर्भ में फिर से व्यक्त करता है, जैसे कि घातांक गामा है और गामा परिवार सजा के तहत बंद है। उत्तर समान हैं लेकिन दृष्टिकोण पूरी तरह से अलग हैं। फिर सवाल यह है कि वास्तव में "एकीकरण" करने का क्या मतलब है। उदाहरण के लिए, यह जटिल अभिन्न विशुद्ध रूप से बीजगणितीय रूप से किया जाता है।

— 18

ऊपर दिया गया उत्तर बहुत अच्छा है और पूरी तरह से प्रश्न का उत्तर देता है, लेकिन मैं इसके बजाय, एक योग के अपेक्षित वर्ग के लिए एक सामान्य सूत्र प्रदान करूंगा और इसे यहां बताए गए विशिष्ट उदाहरण पर लागू करूंगा।

स्थिरांक के किसी भी सेट के लिए यह एक तथ्य है $a_1, ..., a_n$

{(\sum_{i = 1}^{n} a_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} a_{i} a_{j}

$\left( \sum_{i=1}^{n} a_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} a_{i} a_{j}$

यह डिस्ट्रिब्यूटिव प्रॉपर्टी के हिसाब से सही है और जब आप गणना करते हैं कि आप क्या कर रहे हैं, तो यह स्पष्ट हो जाता है जब आप गणना करते हैं । $(a_1 + ... + a_n) \cdot (a_1 + ... + a_n)$

इसलिए, यादृच्छिक चर , वितरण की परवाह किए बिना, $X_1, ..., X_n$

E ({[\sum_{i = 1}^{n} X_{i}]}^{2}) = E (\sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} X_{i} X_{j}) = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j})

$E \left( \left[ \sum_{i=1}^{n} X_i \right]^2 \right) = E \left( \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} X_i X_j \right) = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j)$

बशर्ते ये उम्मीदें मौजूद हों।

समस्या से उदाहरण में, iid यादृच्छिक चर हैं, जो हमें बताता है कि और प्रत्येक के लिए । स्वतंत्रता से, , हमारे पास है $X_1, ..., X_n$ ${\rm exponential}(\lambda)$ $E(X_{i}) = 1/\lambda$ ${\rm var}(X_i) = 1/\lambda^2$ $i$ $i \neq j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}) \cdot E (X_{j}) = \frac{1}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_i) \cdot E(X_j) = \frac{1}{\lambda^2}$

हैं राशि में इन शब्दों की। जब , हमारे पास है $n^2 - n$ $i = j$

E (X_{i} X_{j}) = E (X_{i}^{2}) = v a r (X_{i}) + E (X_{i})^{2} = \frac{2}{λ^{2}}

$E(X_i X_j) = E(X_{i}^{2}) = {\rm var}(X_{i}) + E(X_{i})^2 = \frac{2}{\lambda^2}$

और इस राशि के शब्द हैं। इसलिए, उपरोक्त सूत्र का उपयोग करते हुए, $n$

E {(\sum_{i = 1}^{n} X_{i})}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} E (X_{i} X_{j}) = (n^{2} - n) \cdot \frac{1}{λ^{2}} + n \cdot \frac{2}{λ^{2}} = \frac{n^{2} + n}{λ^{2}}

$E \left( \sum_{i=1}^{n} X_i \right)^2 = \sum_{i=1}^{n} \sum_{j=1}^{n} E(X_i X_j) = (n^2 - n)\cdot\frac{1}{\lambda^2} + n \cdot \frac{2}{\lambda^2} = \frac{n^2 + n}{\lambda^2}$

आपका जवाब है

— मैक्रो
स्रोत

यह समस्या 'क्षणों के क्षणों' की बहुत अधिक सामान्य समस्या का एक विशेष मामला है, जिसे आमतौर पर पावर योग संकेतन के रूप में परिभाषित किया जाता है। विशेष रूप से, पावर योग संकेतन में:

s_{1} = \sum_{i = 1}^{n} X_{i}

$s_1 = \sum_{i=1}^{n} X_i$

फिर, चाहे जो भी वितरण हो , मूल पोस्टर प्रदान करता है (बशर्ते कि क्षण मौजूद हों)। चूंकि उम्मीदों का ऑपरेटर सिर्फ 1 रॉ मोमेंट है, इसलिए इसका समाधान mathStatica सॉफ्टवेयर द्वारा दिया गया है: $E[s_1^2]$

['___ToRaw' का अर्थ है कि हम चाहते हैं कि आबादी के कच्चे पलों के संदर्भ में समाधान प्रस्तुत किया जाए (बजाय केंद्रीय क्षणों या सहकारों के)। ]

अंत में, अगर ~ घातांक ( ) pdf : $X$ $\lambda$ $f(x)$

f = Exp[-x/λ]/λ;      domain[f] = {x, 0, ∞} && {λ > 0};

फिर हम क्षणों की जगह ले सकता सामान्य समाधान में एक घातीय यादृच्छिक चर, इसलिए तरह के लिए वास्तविक मूल्यों के साथ: $\mu_i$ sol

सब कुछ कर दिया।

पुनश्च इसका कारण यह है कि अन्य समाधान यहां पोस्ट किए गए साथ एक उत्तर के बजाय हर में अंश के बजाय, क्योंकि वे घातांक वितरण के एक अलग मापदंडों का उपयोग कर रहे हैं। चूंकि ओपी ने यह नहीं बताया कि वह किस संस्करण का उपयोग कर रहा था, इसलिए मैंने मानक वितरण सिद्धांत की पाठ्यपुस्तक की परिभाषा का उपयोग करने का फैसला किया। $\lambda^2$

— wolfies
स्रोत