घातीय यादृच्छिक चर की सशर्त अपेक्षा

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रैंडम वेरिएबल ( ) के लिए मुझे सहज ही लगता है कि के बराबर होना चाहिए के बाद से memoryless संपत्ति द्वारा के वितरण की तरह ही है लेकिन द्वारा सही करने के लिए स्थानांतरित कर दिया । $X\sim \text{Exp}(\lambda)$ $\mathbb{E}[X] = \frac{1}{\lambda}$ $\mathbb{E}[X|X > x]$ $x + \mathbb{E}[X]$ $X|X > x$ $X$ $x$

हालांकि, मैं ठोस सबूत देने के लिए मेमोरीलेस संपत्ति का उपयोग करने के लिए संघर्ष कर रहा हूं। किसी भी प्रकार की मदद की बेहद सराहना की जाती है।

धन्यवाद।

random-variable exponential conditional-expectation

— mchen
स्रोत

संकेत: गणितीय अभिव्यक्ति है , " द्वारा दाईं ओर स्थानांतरित करने के लिए " है, और इसलिएअब दाईं ओर के इंटीग्रल पर वेरिएबल्स का बदलाव करें।

f_{X | X > a} (x) = f_{X} (x - a)

$f_{X|X > a}(x) = f_X(x-a)$

a

$a$

E [X ∣ X > a] = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X ∣ X > a} (x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} x f_{X} (x - a) d x .

$E[X\mid X>a] = \int_{-\infty}^\infty xf_{X\mid X>a}(x)\,\mathrm dx= \int_{-\infty}^\infty xf_X(x-a)\,\mathrm dx.$

— दिलीप सरवत

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ध्यान दें कि , " " से नीचे एक छोटा वितरण है जिसे छोटा किया गया है। सामान्य रूप से इसे घातीय वितरण स्थानांतरित कर दिया गया है और शिफ्ट किए गए घातांक में मेमोरी रहित संपत्ति नहीं है ।

X | X > x

$X|X>x$

x

$x$

— ई

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$\ldots$ memoryless संपत्ति द्वारा के वितरण की तरह ही है लेकिन द्वारा सही करने के लिए स्थानांतरित कर दिया । $X|X > x$ $X$ $x$

चलो को निरूपित की प्रायिकता घनत्व समारोह (पीडीएफ) । फिर, क्या आप सही तरीके से राज्य के लिए गणितीय निर्माण अर्थात्, सशर्त की पीडीएफ यह देखते हुए कि की तरह ही है लेकिन द्वारा सही करने के लिए स्थानांतरित कर दिया यह है कि । इसलिए, , उम्मीद मूल्य की यह देखते हुए कि है $f_X(t)$ $X$ $-$ $X$ $\{X > x\}$ $X$ $x$ $-$ $f_{X \mid X > x}(t) = f_X(t-x)$ $E[X\mid X > x]$ $X$ $\{X > x\}$

\begin{aligned} E [X ∣ X > x] & = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X ∣ X > x} (t) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} t f_{X} (t - x) d t \\ = \int_{- \infty}^{\infty} (x + u) f_{X} (u) d u & on substituting u = t - x \\ = x + E [X] . \end{aligned}

$\begin{align} E[X\mid X > x] &= \int_{-\infty}^\infty t f_{X \mid X > x}(t)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty t f_X(t-x)\,\mathrm dt\\ &= \int_{-\infty}^\infty (x+u) f_X(u)\,\mathrm du &\scriptstyle{\text{on substituting}~u = t-x}\\ &= x + E[X]. \end{align}$ ध्यान दें कि हमने गणना में के घनत्व का स्पष्ट रूप से उपयोग नहीं किया है , और अगर हमें बस यह याद है कि मुझे स्पष्ट रूप से एकीकृत करने की आवश्यकता नहीं है (i) एक पीडीएफ के तहत क्षेत्र और (ii) परिभाषा अपने पीडीएफ के संदर्भ में एक सतत यादृच्छिक चर के अपेक्षित मूल्य।

X

$X$

1

$1$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

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के लिए , घटना संभावना है । इसलिए, लेकिन (फेनमैन की चाल का उपयोग करके, हावी कन्वर्सेशन प्रमेय द्वारा , क्योंकि यह मजेदार है) $x>0$ $\{X>x\}$ $P\{X>x\}=1-F_X(x)=e^{-\lambda x} > 0$

E [X ∣ X > x] = \frac{E [X I_{{X > x}}]}{P {X > x}},

$\newcommand{\E}{\mathbb{E}} \E[X\mid X> x] = \frac{\E[X\,I_{\{X>x\}}]}{P\{X>x\}} \, ,$

E [X I_{{X > x}}] = \int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = (*)

$\E[X\,I_{\{X>x\}}] = \int_x^\infty t\,\lambda\,e^{-\lambda t}\,dt = (*)$

(*) = - λ \int_{x}^{\infty} \frac{d}{d λ} (e^{- λ t}) d t = - λ \frac{d}{d λ} \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t

$(*) = -\lambda \int_x^\infty \frac{d}{d\lambda}(e^{-\lambda t}) \,dt = -\lambda \frac{d}{d\lambda} \int_x^\infty e^{-\lambda t} \,dt$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} \int_{x}^{\infty} λ e^{- λ t} d t) = - λ \frac{d}{d λ} (\frac{1}{λ} (1 - F_{X} (x)))

$= -\lambda \frac{d}{d\lambda} \left(\frac{1}{\lambda} \int_x^\infty \lambda\,e^{-\lambda t} \,dt\right) = -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{1}{\lambda}\left(1 - F_X(x)\right)\right)$

= - λ \frac{d}{d λ} (\frac{e^{- λ x}}{λ}) = (\frac{1}{λ} + x) e^{- λ x},

$= -\lambda\frac{d}{d\lambda}\left(\frac{e^{-\lambda x}}{\lambda}\right) = \left(\frac{1}{\lambda}+x\right)e^{-\lambda x} \, ,$ जो वांछित परिणाम देता है

E [X ∣ X > x] = \frac{1}{λ} + x = E [X] + x .

$\E[X\mid X>x] = \frac{1}{\lambda}+x = \E[X] + x \, .$

— जेन
स्रोत

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हालांकि फेनमैन की चाल का उपयोग दिलचस्प है, क्यों न केवल प्राप्त करने के लिए भागों द्वारा एकीकृत किया

\int_{x}^{\infty} t λ e^{- λ t} d t = - t e^{- λ t} |_{x}^{\infty} + \int_{x}^{\infty} e^{- λ t} d t = (x + \frac{1}{λ}) e^{- λ x} ?

$\int_x^\infty t\lambda e^{-\lambda t}\,dt = -t e^{-\lambda t}\biggr |_x^\infty + \int_x^\infty e^{-\lambda t}\,dt = \left(x + \frac{1}{\lambda}\right)e^{-\lambda x}?$

— दिलीप सरवटे