गामा यादृच्छिक चर का अंतर

दो स्वतंत्र यादृच्छिक चर और , अंतर का वितरण क्या है, अर्थात ? $X\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_X,\beta_X)$ $Y\sim \mathrm{Gamma}(\alpha_Y,\beta_Y)$ $D=X-Y$

यदि परिणाम अच्छी तरह से ज्ञात नहीं है, तो मैं परिणाम प्राप्त करने के बारे में कैसे पता लगाऊंगा?

distributions gamma-distribution

— FBC
स्रोत

मुझे लगता है कि प्रासंगिक हो सकता है: आंकड़े

— .stackexchange.com/q/2035/7071

दुर्भाग्य से प्रासंगिक नहीं है, वह पोस्ट गामा यादृच्छिक चर का भारित योग मानती है जहां भार सख्ती से सकारात्मक होते हैं। मेरे मामले में भार क्रमशः +1 और -1 होगा।

— एफबीसी

मोशोपुलोस पेपर का दावा है कि विधि को रैखिक संयोजनों तक बढ़ाया जा सकता है, लेकिन आप सही हैं कि पुनर्विकास 0. वज़न से अधिक वजन तक सीमित लगता है, मैं सही करता हूं।

— दिमित्री वी। मास्टरोव

जब तक कि दो पैमाने के कारक समान न हों, कुछ भी सरल या बंद रूप में प्राप्त करने की बहुत कम उम्मीद है।

— whuber

बस एक छोटी सी टिप्पणी: एक ही पैरामीटर के साथ घातीय रूप से वितरित आरवी के विशेष मामले के लिए परिणाम लाप्लास ( en.wikipedia.org/wiki/Laplace_distribution ) है।

— रिक

जवाबों:

मैं इस बात की रूपरेखा तैयार करूंगा कि समस्या को किस तरह से समझा जा सकता है और बता सकता हूं कि मुझे लगता है कि अंतिम परिणाम उस विशेष मामले के लिए होगा जब आकृति पैरामीटर पूर्णांक होते हैं, लेकिन विवरण में नहीं भरे जाते हैं।

सबसे पहले, ध्यान दें कि मूल्यों पर में ले जाता है और इतने समर्थन हासिल है । $X-Y$ $(-\infty,\infty)$ $f_{X-Y}(z)$ $(-\infty,\infty)$
दूसरा, मानक परिणामों से दो स्वतंत्र निरंतर यादृच्छिक परिवर्तनीय की राशि का घनत्व उनके घनत्व की घुमाव, कि है, यह है कि और कहा कि यादृच्छिक चर का घनत्व है , अनुमान है कि
$f_{X + Y} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (z - x) d x$ $f_{X+Y}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(z-x)\,\mathrm dx$ $-Y$ $f_{-Y}(\alpha) = f_Y(-\alpha)$ $f_{X - Y} (z) = f_{X + (- Y)} (z) = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{- Y} (z - x) d x = \int_{- \infty}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x .$ $f_{X-Y}(z) = f_{X+(-Y)}(z) = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_{-Y}(z-x)\,\mathrm dx = \int_{-\infty}^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx.$
तीसरा, के लिए गैर नकारात्मक यादृच्छिक परिवर्तनीय और , ध्यान दें कि ऊपर अभिव्यक्ति सरल करने के लिए $X$ $Y$
$f_{X - Y} (z) = {\begin{cases} \int_{0}^{\infty} f_{X} (x) f_{Y} (x - z) d x, & z < 0, \\ \int_{0}^{\infty} f_{X} (y + z) f_{Y} (y) d y, & z > 0. \end{cases}$ $f_{X-Y}(z) = \begin{cases} \int_0^\infty f_X(x)f_Y(x-z)\,\mathrm dx, & z < 0,\\ \int_{0}^\infty f_X(y+z)f_Y(y)\,\mathrm dy, & z > 0. \end{cases}$
अंत में, parametrization का उपयोग कर घनत्व के साथ एक यादृच्छिक चर मतलब करने के लिए $\Gamma(s,\lambda)$ $\lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x)\mathbf 1_{x>0}(x)$ $X \sim \Gamma(s,\lambda)$ $Y \sim \Gamma(t,\mu)$ $z > 0$
$\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ (y + z))^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ (y + z)) μ \frac{(μ y)^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ y) d y \\ (1) & = \exp (- λ z) \int_{0}^{\infty} p (y, z) \exp (- (λ + μ) y) d y . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda (y+z))^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda (y+z)) \mu\frac{(\mu y)^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu y)\,\mathrm dy\\ &= \exp(-\lambda z) \int_0^\infty p(y,z)\exp(-(\lambda+\mu)y)\,\mathrm dy.\tag{1} \end{align*}$ $z < 0$ $\begin{aligned} f_{X - Y} (z) & = \int_{0}^{\infty} λ \frac{(λ x)^{s - 1}}{Γ (s)} \exp (- λ x) μ \frac{(μ (x - z))^{t - 1}}{Γ (t)} \exp (- μ (x - z)) d x \\ (2) & = \exp (μ z) \int_{0}^{\infty} q (x, z) \exp (- (λ + μ) x) d x . \end{aligned}$ $\begin{align*}f_{X-Y}(z) &= \int_{0}^\infty \lambda\frac{(\lambda x)^{s-1}}{\Gamma(s)}\exp(-\lambda x) \mu\frac{(\mu (x-z))^{t-1}}{\Gamma(t)}\exp(-\mu (x-z))\,\mathrm dx\\ &= \exp(\mu z) \int_0^\infty q(x,z)\exp(-(\lambda+\mu)x)\,\mathrm dx.\tag{2} \end{align*}$

$s = t$

\int_{0}^{\infty} x^{s - 1} (x + β)^{s - 1} \exp (- ν x) d x

$\int_0^\infty x^{s-1}(x+\beta)^{s-1}\exp(-\nu x)\,\mathrm dx$

β

$\beta$

f_{X - Y} (z)

$f_{X-Y}(z)$

$s$ $t$ $p(y,z)$ $y$ $z$ $(s+t-2, s-1)$ $q(x,z)$ $x$ $z$ $(s+t-2,t-1)$

$z > 0$ $(1)$ $s$ $y$ $1, z, z^2, \ldots z^{s-1}$ $X-Y$ $\Gamma(1,\lambda), \Gamma(2,\lambda), \cdots, \Gamma(s,\lambda)$ $z > 0$ $t$
$z < 0$ $X-Y$ $\Gamma(1,\mu), \Gamma(2,\mu), \cdots, \Gamma(t,\mu)$ $(\mu|z|)^{k-1}\exp(\mu z)$ $(\mu z)^{k-1}\exp(-\mu z)$ $s$

— दिलीप सरवटे
स्रोत

+1: इस समस्या को देखने से पहले, मुझे यह उत्तर आकर्षक लगता है।

— नील जी

मैं इस जवाब को स्वीकार करने जा रहा हूं, भले ही कोई बंद फॉर्म समाधान न दिखाई दे। यह जितना करीब होता है, धन्यवाद!

— FBC

f_{- Y} (α) \neq f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) ≠ f_{Y}(-\alpha)$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (- α)

$f_{-Y}(\alpha) = f_{Y}(-\alpha)$

P {Y > 0} = 1

$P\{Y > 0\} = 1$

- Y

$-Y$

0

$0$

1

$1$

Y

$Y$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

α < 0

$\alpha<0$

f_{Y} (α)

$f_Y(\alpha)$

0

$0$

α < 0

$\alpha<0$

f_{- Y} (α) = f_{Y} (α) = 0

$f_{-Y}(\alpha)=f_Y(\alpha)=0$

α

$\alpha$

Y

$Y$

Y

$Y$

-

$-$

-

$-$

f_{Y}

$f_Y$

R^{+}

$\mathbb R^+$

मेरे ज्ञान के लिए दो स्वतंत्र गामा आरवी के अंतर का वितरण पहली बार 1993 में मथाई द्वारा किया गया था। उन्होंने एक बंद फार्म समाधान निकाला। मैं यहां उनके काम को पुन: पेश नहीं करूंगा। इसके बजाय मैं आपको मूल स्रोत की ओर संकेत करूंगा। बंद किए गए फॉर्म समाधान को पृष्ठ 241 पर उनके पेपर में प्रमेय 2.1 के रूप में पाया जा सकता है । सामान्य चर में गैर-केंद्रीय सामान्यीकृत लैपेलसियनेस के द्विघात रूपों में ।

— नाथन क्रॉक
स्रोत