अमीबा का साक्षात्कार प्रश्न

Question

एक मालिकाना ट्रेडिंग फर्म के साथ एक व्यापारिक स्थिति के लिए एक साक्षात्कार के दौरान मुझसे यह सवाल पूछा गया था। मैं इस प्रश्न का उत्तर और इसके पीछे के अंतर्ज्ञान को जानना चाहूंगा।

अमीबा प्रश्न: अमीबाओं की जनसंख्या 1 से शुरू होती है। 1 अवधि के बाद अमीबा 1, 2, 3 या 0 में विभाजित हो सकता है (यह मर सकता है) समान संभावना के साथ। क्या संभावना है कि पूरी आबादी अंततः मर जाती है?

Comments

क्या हम मान सकते हैं कि यह इनमें से प्रत्येक के साथ संभावना ? $1/4$

— shabbychef

जैविक दृष्टिकोण से, वह मौका है 1. पर्यावरण एक ऐसे बिंदु में परिवर्तित होने के लिए बाध्य है जिसे कोई भी आबादी जीवित नहीं रख सकती है, यह देखते हुए कि x अरब वर्षों में सूर्य को विस्फोट करना है। लेकिन मुझे लगता है कि वास्तव में वह जवाब नहीं है जिसकी उसे तलाश थी। ;-) सवाल का कोई मतलब नहीं है। एक अमीबा केवल 2 या 0. नैतिक में विभाजित हो सकता है: व्यापारियों को जीव विज्ञान के बारे में सवाल नहीं पूछना चाहिए।

— जोरिस मेव्स

ऐसी स्थिति के लिए साक्षात्कार पर ऐसा सवाल? शायद यह dilbert.com/strips/comic/2003-11-27 जैसा कुछ है ?

माइक के रूप में यह एक प्यारा सवाल है। यहाँ अंतर्ज्ञान यह है कि अंतिम अस्तित्व / विलुप्त होने की संभावना दो पीढ़ियों के बीच समान है। एक और अधिक रचनात्मक संस्करण के बारे में सोचा जा सकता है जब अस्तित्व की संभावना ही अमीबा की संख्या के एक समारोह के रूप में भिन्न होती है। मैंने इसे अपनी साइट ब्लॉग पर जोड़ लिया है।

— ब्रोकली

1) अमीबा बाइनरी मिटोस द्वारा प्रजनन करता है। 2) अमीबा असामान्य माइटोटिक आकृतियों में प्रजनन नहीं करता है, उदाहरण के लिए 3, अगर ऐसा देखा गया तो यह घातक होगा। 4) एक साक्षात्कार के दौरान प्रश्न पूछना कि एलिकिट पुष्टिकरण पूर्वाग्रह को आमतौर पर निम्न गुणवत्ता माना जाता है। सलाह; आप उस नौकरी को नहीं चाह सकते हैं।

— कार्ल

Answer 1

प्यारी समस्या। यह उस तरह का सामान है जिसे प्रोबेबिलिस्ट मनोरंजन के लिए अपने सिर में करते हैं।

तकनीक को यह मान लेना है कि विलुप्त होने की ऐसी संभावना है, इसे कहें । फिर, हम संभावित परिणामों के लिए एक गहन निर्णय वृक्ष को देखते हुए - कुल संभावना के कानून का उपयोग करते हुए - कि$P$

$P=\frac{1}{4} + \frac{1}{4}P + \frac{1}{4}P^2 + \frac{1}{4}P^3$

यह मानते हुए कि 2 या 3 "संतान" के मामलों में उनकी विलुप्त होने की संभावनाएं IID हैं। इस समीकरण की दो संभव जड़ें हैं, और $1$। मुझसे ज्यादा होशियार कोई समझा सकता है कि क्यों$\sqrt{2}-1$$1$ प्रशंसनीय नहीं है।

जॉब्स को तंग होना चाहिए - आपके सिर में क्यूबिक समीकरणों को हल करने के लिए साक्षात्कारकर्ता किस तरह की उम्मीद करता है?

Comments

कारण 1 नहीं है एक रूट आसानी से कदमों के बाद अमीबा की अपेक्षित संख्या पर विचार करके इसे ई k कहा जाता है । कोई आसानी से दिखा सकता है कि ई k = E k १ । क्योंकि प्रत्येक परिणाम की संभावना है 1 / 4 , हमारे पास ई 1 = 3 / 2 , और इसलिए ई कश्मीर के बिना में बंधे बढ़ता है कश्मीर । यह स्पष्ट रूप से P = 1 के साथ गिब नहीं करता है । $k$$E_k$$E_k = E_1^k$$1/4,$$E_1 = 3/2$$E_k$$k$$P = 1$

— 18b पर shabbychef

@shabbychef यह मेरे लिए इतना स्पष्ट नहीं है। आपके पास उम्मीद तेजी से (या उससे भी तेज) बढ़ सकती है जबकि मरने की संभावना अभी भी एकता के पास है। (उदाहरण के लिए, एक स्टोकेस्टिक प्रक्रिया पर विचार करें जिसमें आबादी या तो प्रत्येक पीढ़ी में चौगुनी हो जाती है या पूरी तरह से बाहर निकल जाती है, प्रत्येक समान अवसरों के साथ होती है। पीढ़ी n पर उम्मीद 2 ^ n है, लेकिन विलुप्त होने की संभावना 1. है। इस प्रकार कोई अंतर्निहित नहीं है। अंतर्विरोध; आपके तर्क को कुछ अतिरिक्त चाहिए।

— whuber

@ शब्बीशेफ - संपादन के लिए धन्यवाद। मुझे नहीं पता था कि हम गणित के लिए एम्बेडेड TeX का उपयोग कर सकते हैं! @whuber - shabbychef का कथन , विलुप्त होने की संभावना के बारे में मेरे कथन पर एक भिन्नता है, बस संभावनाओं को गुणा करने के बजाय अपेक्षाएं जोड़ें। अच्छा काम, शाब। $E_k = E_1^k$

— माइक एंडरसन

यह स्पष्ट है, माइक, लेकिन आपकी बात क्या है? क्या हम इस बारे में बात नहीं कर रहे हैं कि समाधान के रूप में 1 को कैसे नियंत्रित किया जाए? वैसे, यह स्पष्ट है (निरीक्षण और / या समस्या को समझकर) कि 1 एक समाधान होगा। यह एक द्विघात समीकरण को कम करता है जिसे कोई भी आसानी से मौके पर हल कर सकता है। यह आमतौर पर एक साक्षात्कार प्रश्न का बिंदु नहीं है, हालांकि। यह पूछने वाला शायद यह देखने की कोशिश कर रहा है कि आवेदक स्टोकेस्टिक प्रक्रियाओं, ब्राउनियन गति, इतो पथरी, आदि के बारे में सक्रिय रूप से जानता है, और वे समस्याओं को हल करने के बारे में जानते हैं, न कि क्या वे इस विशेष प्रश्न को हल कर सकते हैं।

— whuber

@ शब्बीचेफ: पी = 1 को नियमबद्ध करने का एक तरीका संभावना उत्पन्न करने वाले कार्य के विकास का अध्ययन करना है। Pgf को t (1 की प्रारंभिक जनसंख्या का प्रतिनिधित्व करते हुए) के साथ शुरू करने और iteratively की जगह t (1 + t + t ^ 2 + t ^ 3) / 4 से प्राप्त किया जाता है। 1 से कम टी के किसी भी शुरुआती मूल्य के लिए, एक ग्राफिक आसानी से पुनरावृत्त को Sqrt (2) -1 में परिवर्तित दिखाता है। विशेष रूप से, pgf 1 से दूर रह रहा है, यह दर्शाता है कि यह हर जगह 1 में परिवर्तित नहीं हो सकता है, जो पूर्ण विलुप्त होने का प्रतिनिधित्व करेगा। यही कारण है कि "1 प्रशंसनीय नहीं है।"

— whuber

Answer 2

लिफ़ाफ़े की गणना के कुछ हिस्से (संक्षेप में - मेरे पास मेरी मेज पर एक लिफाफा पड़ा हुआ था) मुझे 3 की आबादी तक कभी नहीं पहुंचने की 42/111 (38%) की संभावना देता है।

मैंने एक त्वरित पायथन सिमुलेशन चलाया, यह देखते हुए कि 20 पीढ़ियों द्वारा कितनी आबादी मर गई (जिस बिंदु पर वे आमतौर पर या तो मर गए या हजारों में हैं), और 10000 रन में से 4164 मृत मिले।

तो जवाब है 42%।

Comments

0.4142 है, इसलिए यह माइक के विश्लेषणात्मक परिणाम के साथ समझौता है। और +1, क्योंकि मुझे सिमुलेशन पसंद है ;-)$\sqrt{2}-1$

इसके अलावा +1 क्योंकि मुझे सिमुलेशन पसंद है। जो मेरा जवाब होगा;)।

— फोमाइट

Answer 3

यह गैल्टन वाटसन प्रक्रिया से संबंधित लगता है, मूल रूप से उपनामों के अस्तित्व का अध्ययन करने के लिए तैयार किया गया था। संभावना एक विभाजन के बाद उप-अमीबा की अपेक्षित संख्या पर निर्भर करती है। इस मामले पर अपेक्षित संख्या में है कि में जिनमें से महत्वपूर्ण मूल्य से अधिक है 1 , और इस तरह विलुप्त होने की संभावना से भी कम है $3/2,$$1$$1$ ।

डिवीजनों के बाद अमीबा की अपेक्षित संख्या पर विचार करके , कोई भी आसानी से दिखा सकता है कि यदि एक विभाजन के बाद अपेक्षित संख्या 1 से कम है , तो विलुप्त होने की संभावना 1 है । समस्या का दूसरा आधा हिस्सा, मुझे इतना यकीन नहीं है।$k$$1$$1$

Answer 4

माइक एंडरसन के जवाब की तरह आप कहते हैं कि आप अमीबा के वंश के लिए संभावना की बराबरी कर सकते हैं, जो विलुप्त होने के लिए बच्चों के वंश की संभावनाओं की राशि तक विलुप्त हो सकता है।

$$p_{parent} = \frac{1}{4} p_{child}^3 + \frac{1}{4} p_{child}^2 + \frac{1}{4} p_{child} + \frac{1}{4}$$

फिर जब आप माता-पिता और बच्चों को उनके वंश के विलुप्त होने की संभावना के बराबर सेट करते हैं, तो आपको समीकरण मिलता है:

$$p = \frac{1}{4} p^3 + \frac{1}{4} p^2 + \frac{1}{4} p + \frac{1}{4}$$

which has roots $p=1$, $p=\sqrt{2}-1$, and $p=-\sqrt{2}-1$.

The question that remains is why the answer should be $p=\sqrt{2}-1$ and not $p=1$. This is for instance asked in this duplicate Amoeba Interview Question: Is the P(N=0) 1 or 1/2? . In the answer from shabbychef it is explained that one can look at, $E_k$, the expectation value of the size of the population after the $k$-th devision, and see whether it is either shrinking or growing.

To me there is some indirectness in the argumentation behind that and it feels like it is not completely proven.

• For instance in one of the comments Whuber notes that you can have a growing expectation value $E_k$ and also have the probability for extinction in the $k$-th step approach 1. As an example you could introduce a catastrophic event that wipes out the entire amoeba population and it occurs with some probability $x$ in each step. Then the amoeba lineage is almost certain to die. Yet, the expectation of the population size in step $k$ is growing.
• Furthermore, the answer leaves open what we have to think of the situation when $E_k = 1$ (e.g. when an amoeba splits or does not split with equal, 50%, probability, then the lineage of an amoeba becomes extinct with probability almost $1$ eventhough $E_k= 1$)

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Alternative derivation.

Note that the solution $p=1$ can be a vacuous truth. We equate the probability for the parent's lineage to become extinct to the child's lineage to become extinct.

• If 'the probability for the child's lineage to become extinct is equal to $1$'.
  Then 'the probability for the parent's lineage to become extinct is equal to $1$'.

But this does not mean that it is true that 'the probability for the child's lineage to become extinct is $1$'. This is especially clear when there would always be nonzero number of offspring. E.g. imagine the equation:

$$p = \frac{1}{3} p^3 + \frac{1}{3} p^2 + \frac{1}{3} p$$

Could we arive to a solution in a slightly different way?

Let's call $p_k$ the probability for the lineage to get extinct before the $k$-th devision. Then we have:

$$p_1 = \frac{1}{4}$$

and the recurrence relation

$$p_{k+1} = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 + \frac{1}{4} p_k + p_1$$

or

$$\delta_k = p_{k+1} - p_k = \frac{1}{4} p_{k}^3 + \frac{1}{4} p_k^2 - \frac{3}{4} p_k + p_1 = f(p_k)$$

So wherever $f(p_k)>1$ the probability to get extinct before the $k$-th devision will increase with increasing $k$.

Convergence to the root and the relation with the expectation value

If the step is smaller than the distance to the root $f(p_k) < p_{\infty}-p_k$ then this increase of the $p_k$ as $k$ grows will not surpass the point where $f(p_\infty) = 0$.

You could verify that this (not surpassing the root) is always the case when the slope/derivative of $f(p_k)$ is above or equal to $-1$, and this in it's turn is always the case for $0\leq p \leq 1$ and polynomials like $f(p) = -p + \sum_{k=0}^{\infty} a_k p^k$ with $a_k \geq 0$.

With the derivative

$$f^\prime(p) = -1 + \sum_{k=1}^{\infty} a_k k p^{k-1}$$ being in the extreme points equal to $f^\prime(0) = -1$ and $f^\prime(1) = -1 + E_1$ you can see that there must be a minimum between $p=0$ and $p=1$ if $E_1>1$ (and related there must be a root between $0$ and $1$, thus no certain extinction). And opposite when $E_1 \leq 1$ there will be no root between $0$ and $1$, thus certain extinction (except the case when $f(p) = 0$ which occurs when $a_1 = 1$).