एक आंकड़े के वितरण का पता लगाना

Question

एक परीक्षण के लिए अध्ययन। इसका जवाब नहीं दे सका।

चलो आईआईडी हो यादृच्छिक परिवर्तनीय। परिभाषित करें$X_{1,i},X_{2,i},X_{3,i}, i=1,\ldots,n$$\mathcal{N}(0,1)$

$W_i = (X_{1,i} + X_{2,i}X_{3,i})/\sqrt{1 + X_{3,i}^2}, i = 1, \ldots, n$ ,

और ,$\overline{W}_n = n^{-1}\sum_{i=1}^nW_i$

$S_n^2 = (n-1)^{-1}\sum_{i=1}^n(W_i - \overline{W}_n)^2, n \ge 2.$

, का वितरण क्या है ?$\overline{W}_n$$S_n^2$

इस तरह की समस्या शुरू करने पर मुझे सबसे अच्छी विधि का उपयोग कैसे करना है?

Comments

क्या आप निश्चित या एसिम्प्टोटिक वितरण के लिए वितरण चाहते हैं? क्या आप और या उनके संयुक्त वितरण के सीमांत वितरण में रुचि रखते हैं ? $n$$\overline W_n$$S_n^2$

— कार्डिनल

अस्पष्टता के लिए क्षमा करें। नियत रखें , और मुझे केवल उनके मार्जिन में दिलचस्पी है। वे बाद में पूछते हैं कि क्या दोनों आँकड़े स्वतंत्र हैं, इसलिए मैं बसु के प्रमेय के कुछ उपयोग की आशंका कर रहा हूं। $n$

— टेलर

Answer 1

यह एक चाल है।

सशर्त रूप से हमारे पास बराबर यह इस तथ्य से निम्नानुसार है कि निश्चित यह दो स्वतंत्र चर और सरल रेखीय परिवर्तन है । , का सामान्य वितरण है। सशर्त माध्य 0 देखा जाता है और सशर्त विचलन (स्वतंत्रता मान्यताओं द्वारा) $X_{3,i} = x$$W_i$

$$\frac{X_{1,i} + X_{2,i}x}{\sqrt{1 + x^2}} \sim \mathcal{N}(0, 1).$$ $x$$\mathcal{N}(0,1)$$X_{1,i}$$X_{2,i}$$W_i \mid X_{3,i} = x$ $$V(W_i \mid X_{3,i} = x) = \frac{V(X_{1,i}) + V(X_{2,i})x^2}{1 + x^2} = \frac{1 + x^2}{1 + x^2} = 1.$$

की सशर्त वितरण के बाद से पर निर्भर नहीं करता हम निष्कर्ष है कि यह के रूप में अच्छी तरह से अपनी सीमांत वितरण, है कि है,$W_i \mid X_{3,i} = x$$x$$W_i \sim \mathcal{N}(0,1).$

बाकी औसत सामान्य यादृच्छिक चर के लिए औसत और अवशिष्ट पर मानक परिणामों से निम्नानुसार है। बसु की प्रमेय किसी भी चीज़ के लिए आवश्यक नहीं है।

Comments

बहुत प्रभावशाली!

— Cam.Davidson.Pilon

अच्छी तरह से देखा हुआ (+1)। हालाँकि, के संयुक्त वितरण के लिए , बसु की प्रमेय अत्यंत प्रासंगिक है। $(\overline{W}_n,S_n^2)$

— mbe