सममित वितरण के केंद्रीय क्षण

Question

मैं यह दिखाने की कोशिश कर रहा हूं कि सममित वितरण का केंद्रीय क्षण: विषम संख्याओं के लिए शून्य है। उदाहरण के लिए तीसरे केंद्रीय क्षणमैंने यह दिखाने की कोशिश की किमुझे यकीन नहीं है कि यहाँ से कहाँ जाना है, कोई सुझाव? क्या इसे साबित करने के लिए बेहतर तरीका है?

$${\bf f}_x{\bf (a+x)} = {\bf f}_x{\bf(a-x)}$$ $${\bf E[(X-u)^3] = 0}.$$ $${\bf E[(X-u)^3] = E[X^3] -3uE[X^2] + 3u^2E[X] - u^3}.$$

Comments

संकेत: सरलता के लिए, यह मान लें$f$ सममित है $0$। फिर आप इसे दिखा सकते हैं$E[X]=u=0$ के बीच अभिन्न विभाजन करके $(-\infty,0)$ तथा $[0,\infty)$और समरूपता धारणा का उपयोग करना। फिर आपको बस वो दिखाना है$E[X^k]=0$के लिए । अभिन्न को विभाजित करके और समान तर्क का उपयोग करके इसे फिर से किया जा सकता है। $k=3,5,7,9,...$

लेकिन, संकेत करें , @ प्रोक्रास्टिनेटर के सुझाव (+1) से सावधान रहें! अन्यथा आप कुछ गलत साबित कर सकते हैं! आपको यह दिखाने की जरूरत है कि विभाजन का प्रत्येक टुकड़ा परिमित है। (यदि एक है, तो दूसरा भी होना चाहिए।)

— कार्डिनल

बीच क्या अंतर है और ? $a$$u$

— हेनरी

@DilipSarwate आप टिप्पणियों में minutiae की तलाश करने के बजाय उन सभी विचारों को एक उत्तर में क्यों नहीं पकड़ते हैं जो व्यापक उत्तर देने का इरादा नहीं रखते हैं?

@ मकारो: वास्तव में शर्म की बात है। Procrastinator अब कई बहुत मूल्यवान योगदानकर्ताओं की सूची में शामिल हो गया है (मेरे विचार में) जिसे हमने पिछले कुछ महीनों में खो दिया है (या जिन्होंने अपनी गतिविधि को गंभीर रूप से कम कर दिया है)। प्लस साइड पर, अपनी हाल की अपटिक्स को भागीदारी में देखना बहुत अच्छा है! मुझे उम्मीद है कि यह जारी रहेगा।

— कार्डिनल

Answer 1

इस उत्तर का उद्देश्य एक प्रदर्शन करना है जो जितना संभव हो उतना प्राथमिक हो, क्योंकि ऐसी चीजें अक्सर आवश्यक विचार के लिए मिलती हैं। केवल तथ्यों की जरूरत (बीजीय जोड़तोड़ का सरलतम प्रकार से परे) एकीकरण के linearity (या, समतुल्य रूप, उम्मीद की), अभिन्न के लिए चर सूत्र के परिवर्तन, और स्वयंसिद्ध नतीजा यह है कि एकता के लिए एक पीडीएफ जुड़ता है।

इस प्रदर्शन को प्रेरित करना अंतर्ज्ञान है कि कब $f_X$ सममित है $a$, फिर किसी भी मात्रा का योगदान $G(x)$ उम्मीद के मुताबिक $\mathbb{E}_X(G(X))$ की मात्रा के बराबर वजन होगा $G(2a-x)$, चूंकि $x$ तथा $2a-x$ के विपरीत दिशा में हैं $a$और उतनी ही दूर है। बशर्ते, फिर, वह$G(x) = -G(2a-x)$ सबके लिए $x$, सब कुछ रद्द हो जाता है और उम्मीद शून्य होनी चाहिए। बीच के रिश्ते$x$ तथा $2a-x$, तो, हमारे प्रस्थान का बिंदु है।

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नोटिस, लिखकर $y = x + a$, कि समरूपता बस रिश्ते द्वारा व्यक्त की जा सकती है

$$f_X(y) = f_X(2a-y)$$

सबके लिए $y$। किसी भी औसत दर्जे के कार्य के लिए$G$, चर का एक-से-एक परिवर्तन $x$ सेवा $2a-x$ परिवर्तन $dx$ सेवा $-dx$, जबकि एकीकरण की दिशा को उलट, आसन्न

$$\mathbb{E}_X(G(X)) = \int G(x) f_X(x)dx = \int G(x) f_X(2a - x)dx = \int G(2a-x)f_X(x)dx.$$

मान लें कि यह अपेक्षा मौजूद है (जो अभिन्न अभिसरण है), अभिन्न का रैखिकता है

$$\int \left(G(x) - G(2a - x)\right)f_X(x)dx = 0.$$

के बारे में अजीब क्षणों पर विचार करें $a$, जिसे की अपेक्षाओं के रूप में परिभाषित किया गया है $G_{k,a}(X) = (X-a)^k$, $k = 1, 3, 5, \ldots$। ऐसे मामलों में

$$\eqalign{ G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a-x) &= (x-a)^k - (2a-x-a)^k \\&= (x-a)^k - (a-x)^k \\ &= (1^k - (-1)^k)(x-a)^k \\&= 2(x-a)^k,}$$

ठीक है क्योंकि $k$अजीब है। पूर्ववर्ती परिणाम को लागू करता है

$$0 = \int \left(G_{k,a}(x) - G_{k,a}(2a - x)\right)f_X(x)dx = 2\int (x-a)^k f_X(x)dx.$$

क्योंकि दाहिने हाथ की भुजा दुगुनी है $k$वें पल के बारे में $a$द्वारा विभाजित है $2$ दिखाता है कि जब भी यह मौजूद होता है तो यह क्षण शून्य होता है।

अंत में, इसका मतलब है (यह मौजूद है)

$$\mu_X = \mathbb{E}_X(X) = \int x f_X(x)dx = \int (2a-x)f_X(x)dx.$$

एक बार फिर से रैखिकता का शोषण, और उस को याद करते हुए $\int f_X(x)dx=1$ चूंकि $f_X$ एक संभावना वितरण है, हम पढ़ने के लिए अंतिम समानता को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं

$$2\mu_X = 2\int x f_X(x)dx = 2a\int f_X(x)dx = 2a\times 1 = 2a$$

अद्वितीय समाधान के साथ $\mu_X = a$। इसलिए क्षणों के बारे में हमारी पिछली सभी गणनाएं$a$ वास्तव में केंद्रीय क्षण हैं, QED।

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Postword

द्वारा विभाजित करने की आवश्यकता है $2$कई स्थानों पर इस तथ्य से संबंधित है कि आदेश का एक समूह है$2$ औसत दर्जे का कार्य (अर्थात्, रेखा के चारों ओर प्रतिबिंब द्वारा उत्पन्न समूह $a$)। अधिक आम तौर पर, किसी भी समूह की कार्रवाई के लिए एक समरूपता के विचार को सामान्यीकृत किया जा सकता है। समूह अभ्यावेदन का सिद्धांत तात्पर्य यह है कि जब किसी कार्य पर उस क्रिया का वर्ण तुच्छ नहीं होता है, तो यह तुच्छ वर्ण के लिए ओर्थोगोनल होता है, और इसका अर्थ है कि फ़ंक्शन की उम्मीद शून्य होनी चाहिए। ऑर्थोगोनलिटी संबंधों में समूह के साथ जोड़ना (या एकीकृत करना) शामिल है, समूह के आकार को लगातार हर में दिखाई देता है: इसकी कार्डिनैलिटी जब यह परिमित होती है या इसकी मात्रा जब यह कॉम्पैक्ट होती है।

इस सामान्यीकरण की सुंदरता प्रकट समरूपता के साथ अनुप्रयोगों में स्पष्ट हो जाती है , जैसे कि मैकेनिकल (या क्वांटम मैकेनिकल) में एक बेंजीन अणु (जिसमें 12 तत्व समरूपता समूह होता है) द्वारा अनुकरण किए गए सममित प्रणालियों की गति के समीकरण होते हैं। (क्यूएम एप्लिकेशन यहां सबसे अधिक प्रासंगिक है क्योंकि यह स्पष्ट रूप से अपेक्षाओं की गणना करता है।) भौतिक हितों का मूल्य - जिसमें आमतौर पर दसियों के बहुआयामी अभिन्न शामिल होते हैं - की तुलना में यहां शामिल किए गए कार्यों की तुलना में अधिक काम नहीं किया जा सकता है, बस संबंधित पात्रों को जानकर integrands। उदाहरण के लिए, विभिन्न सममित अणुओं के "रंग" - विभिन्न तरंग दैर्ध्य पर उनका स्पेक्ट्रा - इस दृष्टिकोण के साथ अब इनिटियो निर्धारित किया जा सकता है ।

Comments

(+1) शुरुआत की धारा "के बारे में विषम क्षणों पर विचार करें $a$... ", मेरा मानना ​​है कि तीसरी पंक्ति को पढ़ना चाहिए $=(1^k-(-1)^k)(x-a)^k$।

— assum

@ मोम हां: इतनी सावधानी से पढ़ने के लिए धन्यवाद! (अब यह निश्चित होती है।)

— whuber